© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Metody optymalizacji Energetyka - studia stacjonarne I stopnia Wykład /2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody programowania liniowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Metody programowania liniowego – postać zagadnienia optymalizacyjnego, podstawowe pojęcia, rozwiązania graficzne Postać matematyczna zagadnień programowania liniowego I. Postać mieszana (1) Funkcja celu (2) Warunki ograniczające (3) Warunki nieujemności

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego II. Postać standardowa Warunki nieujemności nie muszą dotyczyć wszystkich zmiennych. Jeżeli, to warunki nieujemności nazywamy pełnymi Przy rozwiązywaniu zadań programowania liniowego (PL) metodą simpleks, najpopularniejszą metodą rozwiązywania zadań PL, należy je zapisać w postaci standardowej (1) zasadnicze warunki ograniczające są dane w postaci równań (2) elementy prawej strony ograniczeń są nieujemne (3) warunki nieujemności są pełne dodamy ponadto (4) funkcja celu jest minimalizowana

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Postać standardowa – Zapis I

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Jeżeli w zadaniu programowania liniowego zastąpimy funkcję celu postaci: Twierdzenie 1: Zadanie programowania liniowego z funkcją celu: jest równoważne zadaniu programowania liniowego z funkcją celu: Spełniona jest przy tym zależność: Twierdzenie 2: funkcją celu postaci: to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie identyczne

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Zasada 1: Jeżeli, to i-te ograniczenie należy pomnożyć przez -1 Zasada 2: Jeżeli zmienna ma być ujemna, to dokonujemy podstawienia: Zasada 3: Jeżeli zmienna nie ma ograniczenia na znak, to dokonujemy podstawienia Nieujemność elementów prawej strony: Nieujemność zmiennych:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Zasada 4: Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: Zasada 5 Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: - zmienne swobodne lub uzupełniające Równościowe warunki ograniczające:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Postać standardowa – Zapis II Postać standardowa – Zapis III gdzie:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Postać standardowa – Zapis IV gdzie:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 1: Sformułowano zadanie optymalizacyjne w postaci Sprowadź podane sformułowanie do postaci standardowej (1) (2) (3) (4) (5)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Dla uzyskania postaci standardowej należy: (1) funkcję celu (1) sprowadzić do formy minimalizacji (2) podstawić (3) przemnożyć ograniczenie (4) przez -1 (4) wprowadzić zmienną swobodną do ograniczenia (2) (5) wprowadzić zmienną swobodną do ograniczenia (3) Wykonamy to kolejno: (1)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego (2) (3) (2) (3) (4) (1) (5) (2) (3) (4) (1) (5)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego (4) (2) (3) (4) (1) (5) (2) (3) (4) (1) (5)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Rozwiązania zagadnienia programowania liniowego są wektorami, kolumny macierzy współczynników ograniczeń są wektorami, współczynniki funkcji celu tworzą wektor, prawa strona ograniczeń tworzy wektor ……

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Przestrzeń liniowa Definicja 1.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 1. – c.d.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Definicja 2. Definicja 3. Geometria i algebra programowania liniowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 4.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 1.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Zbiory wypukłe Definicja 5. Definicja 6

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 7

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 8. Twierdzenie 2.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Rozwiązywanie układu równań liniowych algebraicznych

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 9.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 10.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Właściwości rozwiązań zadania programowwania liniowego (a) (b) (c)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 11. (a) – (c) (b) – (c) Definicja 12. (b) Definicja 13. (c)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 14. Definicja 15.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 3.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 4. (a) maksymalną

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 4. - c.d.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 5. Wnioski

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązywanie graficzne zadań programowania liniowego - studium przypadku Przykład 2: Pewna firma produkuje dwa rodzaje farb: dla prac wewnętrznych (I) i zewnętrznych (E). Wyprodukowane farby kierowane są do sprzedaży hurtowej. Do produkcji farb stosuje się dwa surowce A i B. Maksymalne dostępne dziennie ilości tych surowców wynoszą odpowiednio 6 i 8 t. Zużycie surowców A i B na jedną tonę odpowiedniej farby podaje tabela. Surowiec Zużycie surowca w tonach na tonę farby Maksymalna dostępna dziennie ilość surowca Farba E Farba I A B Badanie rynku pokazało, że dzienny popyt na farbę I nigdy nie przewyższa popytu na farbę E o więcej niż 1 tonę. Poza tym ustalono, że popyt na farbę I nigdy nie przekracza 2 ton na dobę. Ceny hurtowe jednej tony farb są równe: 3j.p. dla farby E, i 2j.p. dla farby I. Jakie ilości farby E i I powinna produkować firma, aby dochód z produkcji był maksymalny?

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Opcje decyzyjne: - dzienna produkcja farby E w tonach - dzienna produkcja farby I w tonach Funkcja celu: Zasoby dzienne surowca A: Różnica popytu na farbę I i E: zmaksymalizować: Ograniczenia: Zasoby dzienne surowca B: Popyt na farbę I: Warunki nieujemności:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązywanie graficzne dla zadania maksymalizacji i malenia dla minimalizacji

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Obszar rozwiązań dopuszczalnych i linia stałej wartości funkcji celu:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego 6 Znajdowanie rozwiązania optymalnego:.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązanie optymalne:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązanie optymalne jest punktem wierzchołkowym; punkt wierzchołkowy jest rozwiązaniem bazowym 6 Punkt optymalny: oraz: Ponadto (nietrudno policzyć):

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Inne przypadki Przykład 3: 2 3 5

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 4: 2 3 4

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 5:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 6: 1 3 2

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 7:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 8:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Elementy algorytmu simpleksowego Postać standardowa przykładu Początkowa tablica simpleksowa

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozpoczęcie obliczeń

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Elementy jednego kroku algorytmu simpleksowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Drugie rozwiązanie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Tablica optymalnego rozwiązania

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Podsumowanie rozwiązywania - Tablice kolejnych kroków

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Podsumowanie rozwiązywania - Interpretacja geometryczna kolejnych kroków

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązanie optymalne

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Pierwsze zadanie analizy wrażliwości Wpływ zmiany ilości poszczególnych zasobów na aktualne rozwiązanie optymalne Formalna nazwa: analiza wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń Ograniczenia: aktywne i nieaktywne Ograniczenie jest aktywne dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli  przechodzi przez punkt tego rozwiązania  spełnione jest równościowo w punkcie tego rozwiązania W przeciwnym przypadku ograniczenie jest nieaktywne Analizy postoptymalizacyjne

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Składnik: deficytowe i niedeficytowe Składnik jest deficytowy dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli odpowiadające mu ograniczenie jest aktywne W przeciwnym przypadku składnik jest niedeficytowy Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń  graniczne dopuszczalne zwiększenie zasobu składnika deficytowego pozwalające poprawić aktualne rozwiązanie optymalne (nie zmieniające aktualnych zmiennych bazowych rozwiązania bazowego)  granicznie dopuszczalne zmniejszenie zasobu składnika niedeficytowego nie zmieniające aktualnych zmiennych bazowych rozwiązania optymalnego Analizy postoptymalizacyjne

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 61 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Zwiększanie zasobów deficytowych

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 62 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Zmniejszanie zasobów niedeficytowych

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Podsumowanie Składnik Rodzaj składnika Maksymalna zmiana zasobu składnika Wartość zmieniona – wartość aktualna Deficytowy 7 – 6 = 1 12 – 8 = 4 13 – = Deficytowy Niedeficytowy Maksymalna zmiana dochodu Wartość zmieniona – wartość aktualna 18 – = – 1 = = = 0

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Drugie zadanie analizy wrażliwości Zasoby którego ze składników deficytowych należałoby powiększać w pierwszej kolejności Charakterystyka cenności dodatkowej jednostki zasobu składnika deficytowego Składnik Rodzaj składnika Cenność dodatkowej jednostki zasobu składnika Deficytowy Niedeficytowy  1 = 1 3 ÷ 1 = 1 3  2 = ÷ 4 = 4 3  3 = 0  4 = 0

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Trzecie zadanie analizy wrażliwości Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany współczynników funkcji celu  przedział zmian (zmniejszenia lub zwiększenia) danego współczynnika funkcji celu, dla którego nie dochodzi do zmiany rozwiązania optymalnego?  o ile należy zmienić dany współczynnik funkcji celu, aby uczynić określony składnik niedeficytowy deficytowym i na odwrót? Wpływ wartości współczynników f.c. na rozwiązanie optymalne

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Pierwszy aspekt – c 1 = var, c 2 = const = 2; c 1 = const = 3, c 2 = var

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu