Jak majtek Kowalski wielokąty poznawał Opracowanie: Piotr Niemczyk kl. 1e Katarzyna Romanowska 1e Gimnazjum Nr 2 w Otwocku

Spis treści 1.Trójkąt Trójkąt różnoboczny. 2.Trójkąt Trójkąt prostokątny. 3.Trójkąt Trójkąt równoramienny. 4.ProstokątProstokąt 5.Trapez Trapez równoramienny. 6.Okrąg Okrąg wpisany w trójkąt. 7.Okrąg Okrąg opisany na trójkącie.

Hej, wilki morskie, wyruszamy w morze! Stawiać żagle! Panie kapitanie, tu nie ma żadnych żagli. Jak to nie ma? Czyżby się wyłopotały na wietrze po ostatniej burzy? Zaraz mi tu uszyć nowe, ruszać się szczury lądowe! Tak jest panie kapitanie! Kowalski, ty zrobisz kiwerl w kształcie trójkąta różnobocznego. Panie kapitanie ale jak narysować taki żagiel, przecież to nie zeszyt w kratkę. Tego się nie da zrobić.

Trójkąt różnoboczny 1. Rysujesz na prostej k odcinek AB o długości podstawy trójkąta. 2. Rysujesz okrąg o środku w punkcie A i promieniu długości drugiego boku trójkąta. 3. Rysujesz okrąg o środku w punkcie B i promieniu długości trzeciego boku. Miejsce przecięcia się okręgów nazywasz C. 4. Łączysz punkty ABC 5. Trójkąt ABC jest trójkątem różnobocznym.

Panie kapitanie już zrobiłem. Super, teraz tylko przygotuj sznurek, aby obszyć żagiel i wpisz mi do dziennika ile zużyłeś płótna. A jak obliczyć pole i obwód żagla?

Obwód trójkąta różnobocznego Obwód: U =a+ b+ c Przykład: a = 24m b = 18m c = 8m U = 24m + 18m + 8 m U = 50m

Pole trójkąta różnobocznego Sposób I Aby obliczyć pole trójkąta należy zmierzyć jego wysokość. h = 12m c = 8m Pole: S = 1 / 2 ∙ h ∙ c Przykład: P = 1 / 2 ∙ 12 ∙ 8 P = 48m 2

Pole trójkąta różnobocznego Sposób II (dla ciekawych) Jeżeli nie możemy zmierzyć wysokości stosujemy wzór Herona: p – połowa obwodu trójkąta Spis treści

Panie kapitanie, melduje, że na obszycie żagla potrzebowałem 50 m sznurka i zużyłem 48 m 2 płótna. Jeden żagiel to za mało, zrób jeszcze grotżagiel o wymiarach 12 i 16 m w kształcie trójkąta prostokątnego.

Trójkąt prostokątny 1. Rysujesz okrąg o środku w punkcie B i dowolnym promieniu. Punkty przecięcia okręgu z prostą nazywamy A i X. 2. Rysujesz okrąg o środku w punkcie X i promieniu większym niż długość odcinka AB. 4. Punkt przecięcia okręgów nazywasz D. 5. Rysujesz półprostą l z punktu B przechodzącą przy punkt D. 6. Na półprostej l wyznaczasz odcinek długość drugiego boku, którego koniec nazywasz C. 7. Łączysz punkty: ABC. 8. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. 3. Rysujesz okrąg o środku w punkcie A i promieniu okręgu poprzedniego.

Pamiętaj o wpisaniu do dziennika, ile zużyłeś materiału. Ale jak mam obliczyć obwód skoro podał pan tylko dwa boki. Do jakiej szkoły ty chodziłeś? Nie słyszałeś o twierdzeniu Pitagorasa?

Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Z a s t o s o w a n i e Znając długość dwóch boków w trójkącie prostokątnym można obliczyć długość trzeciego boku. W tym celu rozwiązujemy powyższe równanie. a 2 + b 2 = c 2 c 2 = c 2 = c 2 = 400 c = 20

Obwód i pole trójkąta prostokątnego Obwód: U = a + b + c U = U = 48 Pole: S = 1 / 2 ∙ a ∙ h h = b S = 1 / 2 ∙ a ∙ b S = 1 / 2 ∙ 12 ∙ 16 S = 96 Spis treści

Panie kapitanie, ale ten Pitagoras to miał głowę. To może jeszcze jakiś żagielek wyciąć? Nie żagielek tylko foktrumsel w kształcie trójkąta równoramiennego o bokach 10 m i podstawie 16 m.

Trójkąt równoramienny 1. Rysujesz na prostej k odcinek AB o długości podstawy trójkąta. 2. Rysujesz okrąg o środku w punkcie A i promieniu długości jednego z boku trójkąta. 3. Rysujesz okrąg o środku punkcie B i długości promienia takim jak poprzednio. Miejsce przecięcia się okręgów nazywasz C. 4. Łączysz punkty ABC. 5. Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym.

Obwód i pole trójkąta równoramiennego Obwód: U = a + b + c a = b U = 2a + c Pole: S = 1/ 2 ∙ a ∙ h Panie kapitanie, a jak wysoki na być ten żagiel. Tego to nie wiem, ale przypomnij sobie twierdzenie Pitagorasa. h 2 = a 2 – ( 1\ 2 c) 2 h 2 = 10 2 – 8 2 h 2 = 100 – 64 h 2 = 36 h = 6 S = 1/ 2 ∙ 16 ∙ 6 S= 48 Spis treści

Czy to już wszystko, panie kapitanie? Wszystko, jeśli chodzi o trójkąty. Zrobisz mi teraz marsżagiel w kształcie prostokąta o wymiarach 24 m i 6m. A jak zrobić prostokąt, żeby wyszedł prosty?

Prostokąt 1. Rysujesz prostą k i wyznaczasz na niej odcinek AB równy długości podstawy prostokąta. 2. Rysujesz półprostą prostopadłą l z punktu B. 3. Rysujesz okrąg w punkcie B o promieniu równym szerokości prostokąta. Punkt przecięcia półprostej z okręgiem oznaczasz C. 4. Rysujesz okrąg w punkcie C o promieniu równym długości prostokąta. 5. Rysujesz okrąg w punkcie A o promieniu szerokości prostokąta. Miejsce przecięcia się okręgów nazywasz D. 6. Łączysz punkty ABCD. 7. Czworokąt ABCD jest prostokątem.

Obwód i pole prostokąta Obwód: U = a + b + c + d a = c b = d U = 2a + 2b U = 2 ∙ ∙ 6 U = 60 Pole: S = a ∙ b S = 24 ∙ 6 S = 144 Spis treści

Panie kapitanie, ale tu coś jeszcze brakuje. Może jeszcze zrobię prostokąt trójkątny? Kowalski, co wy wygadujecie. Brakuje mam żagla w kształcie trapezu równoramiennego o podstawach 17 i 23 m oraz ramieniu 5 m.

Trapez równoramienny 1. Rysujesz na prostej k okrąg o środku w punkcie O i promieniu długości połowy podstawy trapezu Miejsce przecięcia się okręgu z prostą oznaczasz A i B. 2. Rysujesz okrąg o środku w punkcie A i promieniu długości ramienia trapezu. Miejsce przecięcia się okręgów oznaczasz D. 3. Rysujesz okrąg o środku w punkcie B i promieniu długości ramienia trapezu. Miejsce przecięcia się okręgów oznaczasz C. 4. Łączymy punkty ABCD. 5. Czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.

Obwód i pole trapezu Obwód: U = a + b + c + d c = d U = a + b + 2c U = ∙ 5 U = 50 Pole: S = ½ ∙ (a + b) ∙ h Panie kapitanie, jaka jest wysokość trapezu? Hmmm…? Wiedziałem, wiedziałem. Wiem, Pitagoras!

Wysokość trapezu Podzielę go na kawałki. A wysokość w trójkącie równoramiennym potrafię już obliczyć. a 2 + b 2 = c 2 b 2 = c 2 – a 2 b 2 = 5 2 – 3 2 b 2 = 25 – 9 b 2 = 16 b = 4

Obwód i pole trapezu Obwód: U = a + b + c + d c = d U = a + b + 2c U = ∙ 5 U = 50 Pole: S = ½ ∙ (a + b) ∙ h S = ½ ∙ ( ) ∙ 4 S = ½ ∙ 40 ∙ 4 S = 80 Spis treści

Panie kapitanie, ale ta łódka to prawdziwy bajer. Kowalski, to nie wszystko. Brakuje znaku rozpoznawczego. Na foktrumselu wyhaftujesz jak największe słońce. Panie kapitanie, ale jak mam zrobić, żeby to koła było w środku.

Okrąg wpisany w trójkąt 1. Wyznaczasz dwusieczną kąta CAB. a) Rysujesz okrąg o środku w punkcie A i o dowolnym, nie za dużym promieniu. Punkty przecięcia się okręgu z bokami trójkąta oznaczasz X i Y. b) Rysujesz okrąg o środku w punkcie X i promieniu większym niż połowa odcinka XY. c) Rysujesz okrąg o środku w punkcie Y i promieniu okręgu poprzedniego. d) Rysujesz półprostą z punktu A przechodzącą przez przecięcia okręgów. 2. Podobnie postępujesz przy kątach ABC i BCA. Punkt przecięcia się wszystkich półprostych oznaczasz O. 3. Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

Obwód okręgu i pole koła Obwód: U = 2 π r π = 3,14 U = π D Przykład: U = 2 ∙ 3,14 ∙ 2,66 U = 16,7 Pole: S = π r 2 Przykład: S = 3,14 ∙ 2,66 2 S = 3,14 ∙ 7,0756 S = 22,22 Spis treści

Panie kapitanie, ale czy ja też mogę zrobić swój znak? A co to ma być? A ja tak na odwrót. Na trójkącie opisze okrąg.

Okrąg opisany na trójkącie 1. Rysujesz symetralną odcinka AB: a) Rysujesz okrąg o środku w punkcie A i promieniu większym niż połowa odcinka AB b) Rysujesz okrąg o środku w punkcie B i promieniu poprzedniego okręgu. c) Rysujesz prostą przechodzącą przez przecięcia się okręgów. 2. Podobnie postępujesz z pozostałymi bokami trójkąta. Punkt przecięcia się wszystkich prostych oznaczasz O. 3. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego Spis treści

Panie kapitanie, wiatr przestał wiać! No, więc ściągać żagle i do wioseł! Ruszać się szczury lądowe!!!