Literowe oznaczenia dla wielkości niewiadomych stosował już starożytny myśliciel Diofantos. Za ojca współczesnej algebry uważany jest matematyk francuski Francois Viete. On jako pierwszy wprowadził oznaczenia literowe nie tylko dla niewiadomych, ale i dla współczynników. Viete (1540 – 1603) w czasie wojny Francji z Hiszpanią, stosując metody matematyczne, znalazł klucz do szyfru używanego przez Hiszpanów. Król Hiszpanii nie mógł uwierzyć, że człowiek potrafi złamać szyfr składający się z ponad 500 symboli. Wniósł nawet skargę do papieża o używanie przez Francuz ów czarnej magii.

Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w starożytności. Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (IX wiek) Hisab al-dżabr wa'l- mukabala (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu) i dotyczy przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami. Początkowo, jak wskazuje pochodzenie jej nazwy, algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych. Wraz z opublikowaniem przez matematyka włoskiego Girolamo Cardano wzorów odkrytych przez innego Włocha Nicolo Tartaglię, nazwanych później wzorami Cardana, do zakresu algebry weszły równania trzeciego i czwartego stopnia. Nieudane próby znalezienia wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni zahamowały na pewien czas rozwój algebry w tym kierunku. Dopiero odkrycie w 1832 roku przez matematyka francuskiego Evariste Galois warunków koniecznych i dostatecznych na istnienie takich wzorów zapoczątkowało nowy kierunek badań noszący nazwę teorii Galois (kilka lat wcześniej matematyk norweski Niels Abel wykazał, że nie istnieją ogólne wzory na pierwiastki równań stopnia wyższego niż czwarty). W roku 1591 matematyk francuski François Viète zastąpił współczynniki liczbowe występujące w równaniach literami i wykrył pewne zależności między pierwiastkami równania (bez znajdowania dla nich wzorów) a jego współczynnikami (tak zwane wzory Viète'a). Odtąd symbole literowe, występujące dotychczas tylko w geometrii, pojawiły się w arytmetyce.

Wyrażenie za pomocą liter podstawowych własności działań arytmetycznych zapoczątkowało tak zwany rachunek literowy i wpłynęło na zmianę poglądu na algebrę: z nauki o rozwiązywaniu równań przekształciła się ona w naukę o działaniach na literach (tak właśnie rozumie się obecnie algebrę w nauczaniu szkolnym). Nie jest to jeszcze całkowite oderwanie się algebry od arytmetyki, gdyż działania w tak rozumianej algebry mają wszystkie własności działań arytmetycznych, a litery zastępują liczby. Z chwilą jednak, gdy określono w matematyce działania na obiektach nieliczbowych, na przykład na wektorach, macierzach czy zbiorach, pojawiły się: algebra wektorów, algebra macierzy, algebra zbiorów i inne struktury tego typu. Badanie własności działań w całkowitym oderwaniu od rodzaju obiektów, na których są one określone, stanowi dalszy etap w rozwoju algebry. Klasyfikacja zbiorów ze względu na własności określonych na nich działań wyłoniła wiele działów współczesnej matematyki. Wymowny jest fakt, że jedna z tych teorii nosi nazwę teorii algebr liniowych (lub teorii algebr); oznacza to, że algebrą został tu nazwany nie dział matematyki, lecz pewien obiekt matematyczny (przykładem algebry liniowej jest zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem wielomianów oraz mnożeniem wielomianów przez liczby). Dalszym krokiem w rozwoju algebry jest wprowadzenie pojęcia algebry ogólnej. Jest to para (A, D), gdzie A jest dowolnym zbiorem, a D zbiorem dowolnych operacji określonych na zbiorze A. Dział matematyki zajmujący się algebrami ogólnymi nosi nazwę algebry uniwersalnej.

Wyrażenia algebraiczne są to liczby i litery połączone znakami działań nawiasami. Wyrażeniami algebraicznymi są: - każda litera i każda liczba, Np.: 4, a, x - każde połączenie liczb i liter znakiem dowolnego działania (oprócz dzielenia przez 0), Np. a · a, a + 2b, x 2 – 2xy, 4a(x + y) Litery występujące w wyrażeniach algebraicznych nazywamy zmiennymi. Podstawowe wyrażenia algebraiczne zapisujemy: - a + b suma - a – b różnica - a · b iloczyn - a : b, b ≠ 0 iloraz Wyrażenia algebraiczne zapisane za pomocą cyfr, liter, znaków i nawiasów możemy odczytywać.

Przykład 1 - 4a iloczyn liczby 4 przez liczbę a y suma liczby 2 i liczby y - x – 5 różnica liczby x i liczby 5 - x : b iloraz liczb x i b - c 2 kwadrat liczby c - 2ab podwojony iloczyn liczb a i b - iloraz sumy liczb a i b przez liczbę c Przykład 2 - a 2 – b 2 różnica kwadratów liczb a i b - x 2 + 2y suma kwadratu liczby x i iloczynu liczby 2 przez liczbę y - (2 + a) · b 2 iloczyn sumy liczb 2 i a przez kwadrat liczby b - (3 + x) · (x + 2) iloczyn sumy liczb 3 i x przez sumę liczb x i 2 - (3 + x)·(3 – x) iloczyn sumy liczb 3 i x przez ich różnicę

Litery w wyrażeniu algebraicznym możemy zastąpić liczbami i wykonać wszystkie wskazane działania. Obliczamy wtedy wartość liczbową wyrażenia algebraicznego. a) 2 · x dla x = 2 2 · 4 = 8 b) x 2 + x – 4 dla x = – 4 = – 4 = 2 c) 2 + x · y – y 2 dla x = 2, y = · 1 – 1 2 = – 1 = 3 d) a · b – 2 · c dla a = 2, b = –2, c = · (–2) – 2 · 4 = 4 – 10 – 8 = – 14 Przykład 3 Nie zawsze w miejsce litery w wyrażeniu algebraicznym można wstawić dowolną liczbę. Przykład 4 W wyrażeniu kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Aby dzielenie było wykonalne, dzielnik nie może być równy 0, a więc: a – 2 ≠ 0, a ≠ 2 W miejsce litery a nie możemy wstawić liczby 2, gdyż wtedy wyrażenie nie ma sensu liczbowego. W zadaniach tekstowych zamiast liczb mogą występować litery (zmienne). Wtedy rozwiązaniem zadania jest wyrażenie algebraiczne.

Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest iloczynem liczb i liter. Przykładami jednomianów są: 4, a, 2x, –0,5ab, 2abc, –1,2x 2, ale nie są wyrażenia: 2(x + y) i –3(a + b), ponieważ jeden z czynników jest sumą lub różnicą.

Uporządkowanie jednomianu to zapisanie go w takiej postaci, aby: – na początku był współczynnik liczbowy, – potem kolejne zmienne w kolejności alfabetycznej i w potędze od najniższej do najwyższej. jednomian 2 · x · x · 3 · y po uporządkowaniu 6x 2 y jednomian (–2) · x · y · (– y) · x po uporządkowaniu 2x 2 y 2 jednomian 0,25 · a · b · c · (–2) · a po uporządkowaniu – 0,5a 2 bc Przykład 1 Jednomiany są podobne wówczas, gdy po ich uporządkowaniu różnią się tylko współczynnikiem liczbowym. Przykład 2 Jednomianami podobnymi są na przykład: 2x 2 i –3x 2 – 0,5ab i 15ab 12 a 2 b i a 2 b

Jednomiany podobne możemy redukować, czyli dodawać je i odejmować. Przykład 3 3x 2 + 2x 2 = 5x 2 4y – 5y + 3y = 2y 2x 2 – xy + 3xy + x 2 = 2x 2 + x 2 – xy + 3xy = 3x 2 + 2xy Jednomiany możemy mnożyć. Działanie to polega na uporządkowaniu nowego jednomianu. Przykład 4 Jednomiany możemy dzielić przez liczbę całkowitą różną od zera. Wówczas dzielimy przez tę liczbę współczynnik liczbowy. Przykład 5 6ab 2 : 2 = 3ab 2 – 14xy : (– 2) = 7xy

Wielomianem nazywamy jednomian lub sumę jednomianów. Oto przykłady wielomianów: 3xy, 2x 2 + 3x – 7, a – 2, 4x – 5y + 1, a 2 – 2ab + b 2 Jednomiany występujące w wielomianie nazywamy wyrazami wielomianu. Aby dodać wielomiany, należy do pierwszego wielomianu dopisać wyrazy drugiego wielomianu i zredukować wyrazy podobne. Przykład 1 Dodajmy wielomiany: a) 2x 2 – 3x + 1 i x 2 – 2 (2x 2 – 3x + 1) + (x 2 – 2) = 2x 2 – 3x x 2 – 2 = 2x 2 + x 2 – 3x + 1 – 2 = = 3x 2 – 3x – 1 b) 4a + 2b – c i a – 3b + 5c (4a + 2b – c) + (a – 3b + 5c) = 4a + 2b – c + a – 3b + 5c = = 4a + a + 2b – 3b – c + 5c = 5a – b + 4c

Aby odjąć wielomiany, należy do pierwszego wielomianu dopisać wyrazy drugiego wielomianu z przeciwnymi znakami i zredukować wyrazy podobne. Przykład 2 Odejmijmy wielomiany: a) 2x 2 – x + 5 i x 2 – 4x + 1 (2x 2 – x + 5) – (x 2 – 4x + 1) = 2x 2 – x + 5 – x 2 + 4x – 1 = = 2x 2 – x 2 – x + 4x + 5 – 1 = x 2 + 3x + 4 b) 4a + b – 2c i a – 2b + 3c (4a + b – 2c) – (a – 2b + 3c) = 4a + b – 2c – a + 2b – 3c = = 4a – a + b + 2b – 2c – 3c = 3a + 3b – 5c Aby pomnożyć dwa wielomiany, należy każdy wyraz jednego wielomianu pomnożyć przez każdy wyraz drugiego wielomianu i w powstałej sumie jednomianów zredukować wyrazy podobne. Przykład 3 Wykonajmy mnożenie wielomianów: a) x + 2 i x – 3 (x + 2) · (x – 3) = x 2 + 2x – 3x – 6 = x 2 – x – 6 b) 2x – y i x + y (2x – y) · (x + y) = 2x 2 – xy + 2xy – y 2 = 2x 2 + xy – y 2

W niektórych wielomianach wskazane jest wyłączanie wspólnego czynnika. W wielomianie ax + ay – axy czynnik a występuje w każdym wyrazie tego wielomianu. Ten czynnik można wyłączyć przed nawias. ax + ay – axy = a(x + y – xy) Przykład 4 Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias : a) 3x 2 + 2x = 3xx + 2x = x (3x + 2) b) 2x 2 y – 2xy = 2xyx – 2xy = 2xy (x – 1) c) a · (x + y) + c · (x + y) = (x + y) · (a + c)

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, łatwiej wykonywać niektóre obliczenia. Kwadrat sumy (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Przykład 1 Wykonajmy potęgowanie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. a) (x + 2) 2 = x · x · = x 2 + 4x + 4 b) (2x + y) 2 = (2x) · 2x · y + y 2 = 4x 2 + 4xy + y 2

Kwadrat różnicy (a – b) 2 = (a – b) 2 = a 2 – ab – ab + b 2 = a 2 – 2ab + b 2 Przykład 2 Wykonajmy potęgowanie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. a) (y – 1) 2 = y 2 – 2y + 1 b) (3x – 2y) 2 = (3x) 2 – 2 · 3x · 2y + (2y) 2 = 9x 2 – 12xy + 4y 2 Różnica kwadratów (a + b) · (a – b) = a 2 – ab + ab + b 2 = a 2 – b 2

Przykład 3 Zamieńmy iloczyn na sumę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. a) (x + 2) · (x – 2) = x 2 – 4 b) (2x + 1) · (2x – 1) = (2x) 2 – 1 = 4x 2 – 1 Znane są jeszcze inne wzory skróconego mnożenia.