1 Badania operacyjne – metody optymalizacji w problemach decyzyjnych

2 Badania Operacyjne (Operations Research, Management Science ) Badania Operacyjne (BO) należą do matematycznych nauk interdyscyplinarnych zajmujących się efektywnym wykorzystaniem środków przez różnego typu organizacje. BO wprowadzają naukowe metody rozwiązywania problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych. Istotne znaczenie w BO ma interakcja pomiędzy człowiekiem a technologią – nacisk na praktyczne zastosowania metod matematycznych.

Model Modelem nazywamy równanie (lub układ równań), za pomocą którego odzwierciedlamy zależności występujące w procesach decyzyjnych w skali mikro (człowiek, przedsiębiorstwo) lub na wyższych szczeblach struktury społeczno-gospodarczej. Model jest zawsze uproszczeniem badanej rzeczywistości – ujmuje tylko najistotniejsze zależności 3

Klasyfikacja modeli 1.Ze względu na złożoność : –Modele jednorównaniowe –Modele wielorównaniowe 2.Ze względu na postać analityczną –Modele liniowe –Modele nieliniowe 3.Ze względu na charakter zmiennych modelu –Modele deterministyczne (zmienne są nielosowe) –Modele stochastyczne (przynajmniej jedna ze zmiennych jest zmienną losową) 4.Ze względu na czynnik czasu –Modele statyczne (konstruowane dla wybranego okresu/momentu czasu) 4

Klasyfikacja modeli c.d. 4.Ze względu na czynnik czasu –Modele statyczne (konstruowane dla wybranego okresu/momentu czasu) –Modele dynamiczne (występuje zmienna czasowa, modele rekurencyjne opisujące zależności w czasie) 5.Ze względu na cel konstrukcji –Modele opisowe –Modele prognostyczne –Modele decyzyjne - optymalizacyjne 5

Warunki podejmowania decyzji Pewność - każdej decyzji odpowiada tylko jeden wynik Niepewność – każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik i nie znamy prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić ani nie możemy go oszacować z powodu braku dostępnej informacji Ryzyko – Każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik i znamy prawdopodobieństwo z jakim może on wystąpić Informacja częściowa - Każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik. Nie znamy prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić, ale możemy je oszacować na podstawie dostępnej informacji 6

7 Badania operacyjne – zakres metod BO korzystają z narzędzi, m.in.: Rachunku prawdopodobieństwa, Statystyki, Ekonometrii, Metod optymalizacji, Teorii podejmowania decyzji i teorii gier, Teorii kolejek (masowej obsługi), Teorii grafów, Symulacji.

8 LINIOWE MODELE DECYZYJNE Programowanie Liniowe (PL)

9 Wstęp do PL Zastosowania modeli PL w różnych dziedzinach: Produkcja Finanse Rolnictwo Marketing i reklama, itd...

10 Podstawowym narzędziem PL jest model matematyczny analizowanego problemu Model PL ma na celu poszukiwanie maksimum bądź minimum funkcji liniowej przy liniowych ograniczeniach Elementy modelu PL: – Zbiór zmiennych decyzyjnych – Funkcja kryterium. – Układ ograniczeń. Wstęp do Programowania Liniowego (PL)

11 Model PL - symbolika x – wektor zmiennych decyzyjnych, nx1 c – wektor parametrów funkcji kryterium, nx1 A – macierz parametrów lewych stron ograniczeń, mxn b – wektor prawych stron ograniczeń, mx1

12 Istotna rola Programowania Liniowego –Efektywne algorytmy obliczeniowe gwarantujące znalezienie rozwiązania optymalnego –Możliwa analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego – co by było, gdyby...?. Wstęp do PL

13 Wstęp do PL Założenia modelu PL: – Znane wartości parametrów, –Funkcja kryterium i ograniczenia mają własność stałych przyrostów ( constant returns to scale) – ten sam co do wielkości przyrost zmiennej, bez względu na początkowy poziom, powoduje zawsze taki sam przyrost wartości funkcji –Addytywność efektów, –Zmienne decyzyjne mają charakter ciągły – mogą przyjąć każdą wartość z określonego przedziału liczbowego (inne modelowanie dla zmiennych całkowitoliczbowych czy też binarnych), –Zakłada się nieujemność zmiennych decyzyjnych.

14 Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji Firma produkuje dwa rodzaje zabawek plastikowych - samochodzików - dla dzieci powyżej 1 roku: ciężarówki i traktory. Występują ograniczone zasoby dwóch środków produkcji: –1000 kg specjalnego plastiku. –Tygodniowy czas produkcji ograniczony jest do 40 godzin.

15 Wymagania rynkowe –Wielkość produkcji nie może przekroczyć 7000 szt. –Liczba ciężarówek nie może przekroczyć liczby traktorów o więcej niż 3500 szt. Informacja technologiczna –Ciężarówka wymaga 20 dkg plastiku i 3 minut czasu produkcji, –Traktor wymaga 10 dkg plastiku i 4 minut czasu pracy. Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji

16 Obecna strategia planowania produkcji: –Produkować jak najwięcej produktu bardziej zyskownego (Ciężarówka – zysk jedn. 8 zł za dziesięć sztuk), –Pozostałe środki przeznaczyć na produkt mniej zyskowny (Traktor – zysk jedn. 5 zł za dziesięć sztuk), pamiętając o zaleceniach działu marketingu. Obecny tygodniowy plan produkcji: Ciężarówka = 4500 sztuk Traktor = 1000 sztuk Szacowany zysk = 4100 zł tygodniowo Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji 8(450) + 5(100)

17 Firma szuka rozwiązania, które może przynieść zwiększenie zysku

18 :Zmienne decyzyjne: –X 1 = tygodniowa wielkość produkcji ciężarówek (w 10 szt.) –X 2 = tygodniowa wielkość produkcji traktorów (w 10 szt.) Funkcja kryterium: – maksymalizacja zysku tygodniowego Model PL dla firmy „Puchatek”

19 Max z (x) = 8X 1 + 5X 2 (zysk tygodniowy w zł) przy ograniczeniach : 2X 1 + 1X 2  1000 (plastik w kg) 3X 1 + 4X 2  2400 (czas produkcji w minutach) X 1 + X 2  700 (wielkość produkcji w 10 szt.) X 1 - X 2  350 (Mix) X j  0, j = 1,2 (nieujemność zmiennych decyzyjnych) Model PL dla firmy „Puchatek”

20 Analiza graficzna zadania PL Zbiór punktów, o współrzędnych ( X 1,X 2 ) które spełniają wszystkie ograniczenia to ZBIÓR ROZWIĄZAŃ DOPUSZCZALNYCH

21 Ograniczenia na nieujemność zmiennych X2X2 X1X1 Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Dopuszczalne X2X2 Niedopuszczalne Czas produkcji 3X 1 +4X 2  2400 Produkcja całkowita: X 1 +X 2  700 (nieistotne) Plastik 2X 1 +X 2  1000 X1X1 700 Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Dopuszczalne X2X2 Niedopuszczalne Czas produkcji 3X 1 +4X 2  2400 Produkcja całkowita: X 1 +X 2  700 (nieistotne) Mix X 1 -X 2  350 Plastik 2X 1 +X 2  1000 X1X1 700 Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych Trzy rodzaje rozwiązań dopuszczalnych Punkty wewnętrzne. Punkty brzegowePunkty wierzchołkowe

24 Poszukiwanie rozwiązania optymalnego

25 Poszukiwanie rozwiązania optymalnego Ustalamy dowolną wielkość zysku, np. = 2000 zł, i rysujemy odpowiadającą izokwantę funkcji kryterium. (Izokwanta liniowej funkcji kryterium to prosta mająca tę własność, że dla wszystkich punktów tej prostej wartość funkcji jest jednakowa). Zwiększamy zysk tak dalece jak to możliwe......i kontynuujemy, dopóki jest to dopuszczalne Zysk =4360 zł X2X2 X1X1

26 Podsumowanie rozwiązania optymalnego Podsumowanie rozwiązania optymalnego Ciężarówki = 3200 szt. Traktory= 3600 szt. Zysk maksymalny = 4360 zł –Rozwiązanie optymalne wykorzystuje cały zasób surowca – plastik oraz czasu produkcji – ograniczenia wiążące. –Produkcja całkowita to 6800 szt. (a nie max 7000szt.) –Ograniczenie na Mix produktów spełnione jako nierówność : = -40 < 350

27 –Jeżeli problem PL posiada rozwiązanie optymalne, to jest nim punkt wierzchołkowy, przynajmniej jeden. Punkty wierzchołkowe a rozwiązanie optymalne

28 Punkty wierzchołkowe a rozwiązanie optymalne  Jeżeli dokonany zostanie wybór rozwiązania optymalnego, to proste przecinające się w punkcie wierzchołkowym, będącym rozwiązaniem optymalnym, odpowiadają ograniczeniom wiążącym, tj. spełnionym jako równania.  W problemie firmy „Puchatek” ograniczeniami wiążącymi są: zapas plastiku oraz czas produkcji. Oznacza to, że cały zapas surowca jest wykorzystany. Również czas produkcji wykorzystany jest w 100%  Pozostałe ograniczenia są niewiążące – obserwujemy zapas w ograniczeniu na wielkość produkcji oraz mix produktów. Zapas – różnica między wartością prawej i lewej strony ograniczenia

29 W przypadku niejednoznaczności rozwiązania optymalnego, izokwanta funkcji kryterium jest równoległa do jednego z ograniczeń. Niejednoznaczne rozwiązanie optymalne W przypadku niejednoznacznosci każda liniowa kombinacja (średnia ważona) optymalnych rozwiązań wierzchołkowych jest również optymalna

30 Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Jak wrażliwe jest rozwiązanie optymalne na zmiany parametrów modelu? Powody przeprowadzania analizy wrażliwości: –Założenie o znanych wartościach parametrów nie jest prawdziwe – znamy tylko wartości ocen statystycznych lub eksperckich parametrów – możliwy błąd szacunku, –Wartości parametrów mogą zmieniać się w czasie, –Analiza wrażliwości dostarcza cennej informacji dla celów zarządzania.

31 Przedział optymalności –Rozwiązanie optymalne pozostaje niezmienne tak długo jak Parametr funkcji kryterium należy do przedziału optymalności Nie obserwujemy zmian innych parametrów modelu. –Wartość funkcji kryterium ulegnie zmianie, jeżeli analizowany parametr dotyczy zmiennej, której wartość jest większa od zera. Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium.

X2X2 X1X1 Max 8X 1 + 5X 2 Max 4X 1 + 5X 2 Max 3.75X 1 + 5X 2 Max 2X 1 + 5X 2 Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium.

X2X2 X1X1 Max8X 1 + 5X 2 Max 3.75X 1 + 5X 2 Max 10 X 1 + 5X 2 Przedział optymalności: [3.75, 10] Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium.

Interpretacja przedziału optymalności dla parametru c 1 Interpretacja przedziału optymalności dla parametru c 1 : Zakładając, że inne elementy modelu (parametry, ograniczenia) nie ulegną zmianie, to zmiana zysku jednostkowego (w 10 szt.) dla ciężarówek w przedziale [3,75 ;10] zł nie spowoduje utraty optymalności przez uzyskane rozwiązanie. Maksymalny zysk odpowiada produkcji 3200 ciężarówek i 3600 szt. traktorów. Oczywiście, zmiana zysku jednostkowego dla ciężarówek spowoduje zmianę wartości maksymalnego zysku, np. dla c 1 =9zł/10szt. maksymalny zysk wyniesie 320*9+360*5= 4680 zł. 34

35 Jak zmieni się optymalna wartość funkcji kryterium (np. maksymalny zysk), jeżeli prawa strona wybranego ograniczenia wzrośnie o jednostkę? Dla jak dużych przyrostów bądź spadków wartości prawej strony ograniczenia, wyznaczona wartość przyrostu funkcji kryterium pozostanie niezmieniona? Analiza wrażliwości rozwiązania na zmianę prawych stron ograniczeń

36 Każda zmiana wartości prawej strony ograniczenia wiążącego spowoduje zmianę rozwiązania optymalnego. Dowolna zmiana prawej strony ograniczenia niewiążącego, mniejsza od wielkości zapasu, nie spowoduje zmiany rozwiązania optymalnego, Analiza wrażliwości rozwiązania na zmianę prawych stron ograniczeń

37 Wyceny dualne (Shadow Prices) Zakładając, że nie występują zmiany żadnych innych parametrów wejściowych modelu, zmiana wartości funkcji kryterium na jednostkę przyrostu wartości prawej strony ograniczenia nazywana jest wyceną dualną (najczęściej, wyceną dualną zasobu)

X2X2 X1X1 2X 1 + 1x 2 <=1000 Jeżeli dostępna jest większa ilość plastiku (ograniczenie na zasób plastiku będzie rozluźnione), wzrasta wartość prawej strony ograniczenia Czas produkcji Max zysk = 4360 zł 2X 1 + 1x 2 <=1001 Max zysk = zł Wycena dualna = – = 3.40 Wyceny dualne – ilustracja graficzna Plastik

39 Przedział dopuszczalności Zakładając brak zmian wartości innych parametrów wejściowych modelu, przedziałem dopuszczalności nazywamy: –Przedział wartości prawej strony ograniczenia, w zakresie którego nie ulegają zmianie wyceny dualne. W obrębie przedziału dopuszczalności, zmianę optymalnej wartości funkcji kryterium możemy wyznaczyć następująco: Zmiana wartości f. kryterium = [wycena dualna]x[zmiana wartości prawej strony ograniczenia]

40 Przedział dopuszczalności X2X2 X1X1 2X 1 + 1x 2 <=1000 Zwiększanie zasobu plastiku przynosi efekt tylko do czasu, aż pojawi się nowe ograniczenie wiążące. Plastik To jest rozwiązanie niedopuszczalne Czas produkcji Produkcja całkowita X 1 + X 2  700 Nowe ograniczenie wiążące

41 Przedział dopuszczalności X2X2 X1X1 Plastik Czas produkcji Zauważmy, jak zmienia się zysk, gdy rośnie zasób plastiku. 2X 1 + 1x 2 <=1000

42 Przedział dopuszczalności X2X2 X1X1 2X 1 + 1X 2 <= 1100 Zasób plastiku zmniejsza się (ograniczenie jest bardziej restrykcyjne). Zysk zmniejsza się Nowe ograniczenie wiążące Rozwiązanie niedopuszczalne

43 „Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM

44 „Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM

45 „Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM

46 GALAXY – STORM solution

47 „Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM

48 „Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM

49 Sprzeczność zadania : Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest pusty. Powodem są zbyt restrykcyjne ograniczenia. Nieograniczoność: Funkcja kryterium może być dowolnie duża. Powodem jest brak istotnego ograniczenia w modelu. Rozwiązanie niejednoznaczne: Więcej niż jeden punkt odpowiada optymalnej wartości funkcji kryterium Możliwe, inne niż jednoznaczne, wyniki optymalizacji

Zadanie PL jest sprzeczne 1

51 Rozwiązanie nieograniczone Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Maksymalizacja funkcji kryterium