DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły:

Prezentacja na temat: "DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły:"— Zapis prezentacji:

1

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły:
GIMNAZJUM NR 2 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WOLSZTYNIE ID grupy: 98/4_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: ŚREDNIE LICZB DODATNICH Semestr/rok szkolny: VI SEMESTR 2011/2012

3 REALIZATORZY PROJEKTU
COMBIDATA Poland Sp. z o.o. Uniwersytet Szczeciński

4 PATRONI PROJEKTU Zachodniopomorski Kurator Oświaty
Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty

5 AGENDA 1. Dane informacyjne. 2. Średnia arytmetyczna.
3. Średnia geometryczna. 4. Średnia harmoniczna. 5. Nierówność Cauchy’ego. 6. Inne średnie.

6 ŚREDNIE LICZB

7 ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

8 DEFINICJA Średnia arytmetyczna n liczb- to suma tych liczb podzielona przez ilość n liczb.

9 WZÓR

10 PRZYKŁAD Średnia arytmetyczna tych liczb to 4,1. Wybieramy liczby:
5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4 i obliczamy ich średnią arytmetyczną. Obliczenia: ( ): 10= 4,1 Średnia arytmetyczna tych liczb to 4,1.

11 DEFINICJA GEOMETRYCZNA ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ
Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka przechodzącego przez punkty C i D, które są środkami ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw.

12 ZASTOSOWANIE ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ
Średnia arytmetyczna jest najbardziej intuicyjną miarą oceny populacji stosowaną w codziennym życiu. Możemy mówić o średniej ocen z przedmiotu, średniej płacy w firmie, średnim wzroście pewnej grupy ludzi itd.

13 PRACA W EXCELU

14 PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 1.
Na lekcji matematyki nauczycielka oddała klasówki. Średnia arytmetyczna punktów uzyskanych przez klasę z tego sprawdzianu wynosiła 3,6. Dwóch uczniów otrzymało po 2 pkt., siedmiu po 3 pkt., ośmiu po 4 pkt. Pozostali uczniowie dostali po 5 pkt. Ilu uczniów pisało klasówkę?

15 ROZWIĄZANIE Odp. : Klasówkę pisało 20 uczniów.

16 PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 2.
W prywatnej hurtowni artykułów „Stalowych i Żeliwnych” łącznie z dyrektorem pracuje 13 osób . Jest ośmiu pracowników fizycznych, dwóch kasjerów, jeden księgowy i jeden zaopatrzeniowiec. Pracownicy fizyczni otrzymują po 1700 zł wynagrodzenia miesięcznie, kasjerzy po 1900zł, księgowy i zaopatrzeniowiec po 3200 zł, a dyrektor tyle co dwóch kasjerów. Oblicz jaka jest średnia miesięczna płaca w tej firmie.

17 ROZWIĄZANIE Odp. : Średnie wynagrodzenie miesięczne wynosi 2123 zł.

18 ODPOWIEDNIK WAŻONY ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ
Czasem przy obliczaniu średniej niektóre z danych wejściowych mają większe znaczenie (większą wagę) niż inne. Tu z pomocą przychodzi średnia ważona.

19 PRZYKŁAD NA ŚREDNIĄ WAŻONĄ
Zadanie 1. Oceny: sprawdziany 2, 5; kartkówki 4, 1, 2; zadanie domowe 3. Sprawdziany mają wagę 3, kartkówki wagę 2, zadania domowe 1. Średnia ważona ocen wynosi 2,9. 3∗2+3∗5+2 ∗4+2∗1+2∗2+1∗ 38 13 𝑎 = = ≈2,9

20 PRZYKŁAD NA ŚREDNIĄ WAŻONĄ
Zadanie 2. Oblicz średnią ważoną liczb 3,8,8,8,32,34,35 jeżeli liczby parzyste mają wagę 0,4 a nieparzyste 0,6. Odp. : Średnia ważona wynosi 18,375.

21 ŚREDNIA GEOMETRYCZNA

22 DEFINICJA Średnia geometryczna jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n wartości zmiennej: Gdy wartości zmiennej występują z różną częstością, wówczas stosuje się wzór ważony na średnią geometryczną:

23 MÓWIĄC PROŚCIEJ…

24 DEFINICJA GEOMETRYCZNA ŚREDNIEJ GEOMETRYCZNEJ
Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne jest równa średniej geometrycznej.

25 ZASTOSOWANIE Za pomocą średniej geometrycznej można wyliczyć oprocentowanie odsetek. Średnia geometryczna znajduje również zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk, których rozwój przedstawiony jest w postaci szeregów dynamicznych.

26 ZADANIE Podczas sezonowej pracy na plantacji truskawek Kasia zebrała 40 kobiałek, Tomek 72 kobiałki, a Zosia 75 kobiałek truskawek. Dziwnym trafem średnia liczba kobiałek truskawek zebranych przez pozostałe osoby stanowiła średnią geometryczną liczb kobiałek Kasi, Tomka i Zosi. Oblicz, ile wszystkich osób pracowało na tej plantacji, wiedząc, że średnia liczba zebranych przez nich kobiałek truskawek była równa 61.

27 ROZWIĄZANIE

28 ZADANIA W EXCELU Zadanie polega na obliczeniu średniej geometrycznej z liczb: 1,2,7,5,4. Wpisujemy je w pierwszej kolumnie w arkuszu Excela.

29 JAKIE KROKI KOLEJNO ROBIMY
W komórce C1 wpisujemy formułę: =ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA(A1:A5) i naciskamy Enter. Spowoduje to obliczenie odpowiedniej średniej.

30 WYNIK MAMY JUŻ GOTOWY

31 ŚREDNIA HARMONICZNA

32 Średnia harmoniczna Średnią harmoniczną
(dla liczb różnych od zera) nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb.

33 Średnia harmoniczna Mówiąc prościej …
Średnia harmoniczna jest to iloraz ilości pomiarów "n", dla których liczymy średnią przez sumę odwrotności tych liczb.

34 Wzór

35 Zadanie Oblicz średnią harmoniczną dla liczb: 9, 4 Obliczenia: = 2 1 × = =5 7 13 = Odp. : Średnia harmoniczna wynosi

36 Definicja geometrycznej średniej harmonicznej
Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej.

37 ZASTOSOWANIE Za pomocą średniej harmonicznej można obliczyć np. :
prędkość pojazdu gęstość zaludnienia

38 Przykładowe zadanie Turysta jechał rowerem przez 2 godziny z prędkością 15 km/h, a przez następne 4 godziny z prędkością 9 km/h. Oblicz średnią prędkość jazdy za pomocą średniej harmonicznej.

39 Rozwiązanie Odp.: Średnia prędkość rowerzysty to 11 km/h.

40 ZADANIA W EXCELU Załóżmy, że chcemy obliczyć średnią harmoniczną następujących liczb: 5,4,5,3,7. Wypełniamy arkusz w Excelu w następujący sposób:                                                                                                                                               

41 Następnie w komórce C1 wpisujemy następującą formułę: =ŚREDNIA
Następnie w komórce C1 wpisujemy następującą formułę:  =ŚREDNIA.HARMONICZNA(A1:A5)  Spowoduje to, że Excel obliczy nam średnią harmoniczną z wpisanych danych: 

42 Obliczanie średniej prędkości za pomocą średniej harmonicznej
Drogę z A do B samochód przebył z prędkością  a z B do A z prędkością  Jaka jest średnia prędkość na trasie A – B – A? v2=40 𝑘𝑚 ℎ

43 ROZWIĄZANIE Oznaczmy przez s odległość od  A do B: czas jazdy z A do B, czas jazdy z B do A. Czas jazdy w obie strony wynosi:  Prędkość średnia równa jest: 

44 Zadanie Średnia harmoniczna dwóch kolejnych liczb nieparzystych wynosi 9,9. Znajdź te liczby.

45 Rozwiązanie 2n+ 1 ; 1 liczba nieparzysta 2n+3 ; 2 liczba nieparzysta

46 Ponieważ nie potrafimy obliczyć tego równania zastosowaliśmy metodę prób i błędów.
Podstawiamy dowolne liczby (te które wydają się nam najbliższe wynikowi) aż do oczekiwanego skutku Doszliśmy do wniosku, że tymi liczbami są 9 i 11.

47 Sprawdzenie

48 Zadanie Średnia harmoniczna dwóch liczb jest równa 60. Wiedząc, że jedną z liczb jest 40, oblicz drugą liczbę.

49 Rozwiązanie 2 = 60 40 + 60 𝑥 2 = 3 2 + 60 𝑥 2- 3 2 = 60 𝑥
Wzór : 𝟐 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒚 2= 𝑥 2 = 𝑥 2 = 𝑥 = 60 𝑥 𝑥 = 60 1 𝜋 1 2 = 60 𝑥 x= 120

50 Odpowiednik ważony średniej harmonicznej
Średnia ważona harmoniczna obliczana jest jak niżej: Gdy wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona harmoniczna równa się średniej harmonicznej. Definicja średniej ważonej odgrywa ważną rolę w statystyce opisowej oraz pojawia się w innych formach w innych obszarach matematyki.

51 Porównanie średnich Zadanie: Wybieramy dwie dowolne liczby dodatnie. Liczymy dla tych liczb średnią: - arytmetyczną, - geometryczną, - harmoniczną. Porównujemy wyniki.

52 Obliczenia dla liczb 5 i 3. arytmetyczna > geometryczna > harmoniczna

53 NIERÓWNOŚĆ CAUCHY’EGO
Nierówność Cauchy'ego o średnich dla liczb dodatnich a1, a2, ..., an stwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, ..., an jest nierosnący. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy'ego.

54 AUGUSTIN LOUIS CAUCHY Augustin Louis Cauchy ( ) – francuski matematyk. Zapoczątkował projekt postulujący i przedkładający dowody twierdzeń analizy matematycznej. Wywarł wielki wpływ na metodologię pracy ówczesnych matematyków oraz ich nowoczesnych następców. Jego publikacje obejmują w pełni ówczesną matematykę oraz fizykę matematyczną.

55 INNE RODZAJE ŚREDNICH Średnia kwadratowa Średnia potęgowa
Średnia procentowa

56 Średnia kwadratowa Średnia kwadratowa n liczb,
jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb. Średnia kwadratowa dwóch liczb a i b wyraża się wzorem : Jeśli liczby a, b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, wówczas długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielącego trapez na dwa trapezy o równych polach powierzchni jest równa średniej kwadratowej.

57 Bibliografia www.wikipedia.pl www.math.edu.pl www.matematyka.pisz.pl
<---wyszukiwarka obrazów oraz sieć

58 DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ Grupa 98/4_mf_g2