Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych im. gen. Władysława Andersa w Złocieńcu ID grupy: 97/37_mf_g1 Opiekun: Andrzej Pokrzywnicki Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: Semestr III 2010/2011

3 KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Najważniejszym jej zadaniem jest konstruowanie spełniających pewne określone warunki odwzorowań jednego zbioru skończonego w drugi oraz znajdowanie wzorów na liczbę tych odwzorowań. Metody kombinatoryki wykorzystywane są w wielu różnych działach matematyki, głównie w rachunku prawdopodobieństwa oraz teorii liczb.

4 PODSTAWOWE POJĘCIA : Silnia Symbol Newtona Permutacje Kombinacje Wariacje

5 Silnia (n!) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. n! = 1 · 2 · 3 ·... · n 0! = 1

6 Symbol Newtona dla n, k N i 0 k n oznacza liczbę określoną wzorem:

7 Permutacja zbioru skończonego jest to ustawienie wszystkich elementów tego zbioru w określonym porządku, czyli jest to wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru skończonego na siebie. PERMUTACJA

8 Permutacje dzielimy na: a)Permutacje bez powtórzeń b)Permutacje z powtórzeniami

9 Permutacja bez powtórze Ń ( P n ) k-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru n- elementowego jest to każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

10 Permutacje z powtórzeniami P n (k 1,k 2,…,k s ) Jeżeli zbiór Z składa się z n przedmiotów podzielonych na s grup, gdzie liczby elementów w poszczególnych grupach wynoszą odpowiednio k 1,k 2,…,k s i k 1 +k 2 +…+k s =n to liczba permutacji zbioru Z jest równa :

11 WARIANCJE DZIELIMY NA: a)Wariacje bez powtórzeń b)Wariacje z powtórzeniami

12 k- wyrazowa wariacja bez powtórzeń ze zbioru n- elementowego A, gdzie k n, jest to każdy k- wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów zbioru A (elementy nie mogą się powtarzać) WARIANCJE BEZ POWTÓRZEŃ

13 WARIANCJE Z POWTÓRZENIAMI Wariacja k- wyrazowa z powtórzeniami ze zbioru n- elementowego A, to każdy k- wyrazowy ciąg utworzony z elementów zbioru A (elementy mogą się powtarzać)

14 KOMBINACJE Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (0 k n).

15 Dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp. Pierwsze znane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa dotyczyły gier hazardowych, w szczególności gry w kości. Mimo, że gra znana była już w starożytności, pierwsze teoretyczne zainteresowanie tą grą przejawiali dopiero matematycy francuscy z XVII w. Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Podstawowymi pojęciami rachunku prawdopodobieństwa są: przestrzeń zdarzeń elementarnych, z jej elementami, doświadczenie oraz zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo zajścia określonego zdarzenia. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

16 LOTERIE

17 Loterie fantowe, w których uczestniczy się przez nabycie losu lub innego dowodu udziału w grze, a podmiot urządzający loterię oferuje wyłącznie wygrane rzeczowe. Podmiot urządzający loterię fantową jest obowiązany zgłaszać pisemnie właściwemu naczelnikowi urzędu celnego zamiar zniszczenia losów, kartonów lub innych dowodów udziału w takiej grze co najmniej na 7 dni przed planowanym terminem przeprowadzenia tych czynności. Czynność zniszczenia podlega kontroli. LOTERIA FANTOWA

18 Na kuponie Lotto zaznaczamy 6( k ) liczb z 49( n ). Za taki zakład płacimy 3 zł. Ile trzeba wypełnić kuponów, aby być pewnym wygranej i ile to będzie kosztowało? Wybierając sześć elementów ze zbioru 49 liczb tworzymy sześcioelementowe kombinacje zbioru 49 elementów. Liczbę zakładów obliczamy ze wzoru Za każdy zakład musimy zapłacić 3 zł, więc za zakładów zapłacimy zł, czyli prawie 42 mln złotych. LOTTO

19 Poker - gra karciana, rozgrywana talią składającą się z 52 kart, której celem jest wygranie pieniędzy od pozostałych uczestników lub żetonów (CHIPS) w wersji sportowej dzięki skompletowaniu najlepszego układu lub za pomocą tzw. blefu. Liczba graczy przy jednym stole ograniczona jest jedynie liczbą kart w talii, jednakże nie może być mniejsza niż dwóch. W praktyce nie gra się więcej niż w dziesięć osób. POKER

20 ZADANIE: Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania pokera królewskiego (Dziesiątka, Walet, Dama, Król i As w jednym kolorze) przy losowaniu pięciu kart bez zwracania z talii 52 kart? Rozwiązanie: 5 kart z talii można wylosować na =52!/(5!*(52-5)!)= sposobów. Dziesiątka, Walet, Dama, Król i As w jednym kolorze można wybrać na A=4 sposoby. Prawdopodobieństwo wylosowania pokera królewskiego wynosi P(A)=4/ = 1, *10 -6 Około 0, Dość trudno być jak Mel Gibson w filmie MAVERICK POKER

21 ZADANIA

22 ZADANIE Na ile sposobów można posadzić 7 osób na 7-miu numerowanych miejscach? Losujemy 7 elementów ze zbioru 7-mio elementowego, wylosowane osoby nie mogą się powtarzać (nie można dwa razy wylosować tej samej osoby), kolejność losowania jest istotna (miejsca są ponumerowane), mamy zatem 7-mio elementowe permutacje bez powtórzeń ze zbioru 7-mio elementowego. Permutacje bez powtórzeń są to takie wariacje bez powtórzeń, w których ilość losowanych elementów jest taka sama jak ilość elementów zbioru z którego losujemy. Czyli V77 = P7 = 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = Możliwych uporządkowań w zbiorze 7-mio elementowym jest Zadanie możemy także rozwiązać rozumując w następujący sposób: Losujemy 7 osób: pierwszą osobę możemy wylosować na 7 sposobów, drugą osobę możemy wylosować na 6 sposobów, ponieważ jedna osoba już została wylosowana i jedno miejsce zostało zajęte, 5-tą osobę losujemy na 5 sposobów, 4-tą na 4 sposoby, trzecią na 3, drugą na 2 sposoby i ostatnią osobę możemy wylosować na 1 sposób. Mnożąc możliwości wylosowania wszystkich 7-miu osób mamy 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 7! = sposobów. Odpowiedź: 7 osób na 7-miu ponumerowanych miejscach można posadzić na sposobów

23 ZADANIE Na ile sposobów można kupić 6 produktów w piekarni oferującej rogaliki, pączki, bajaderki i napoleonki? ROZWIĄZANIE Na pierwszy rzut oka powinniśmy zastosować kombinacje. Niestety po podstawieniu do wzoru okaże się, że mamy do obliczenia silnię z liczby ujemnej (!!!) Problem należy rozwiązać przez zastosowanie znaczników rozdzielających wybór rodzaju produktu. 1 2 Wariant 1 oznacz wybranie 2 rogalików, 1 pączka, 2 bajaderek i 1 napoleonki. Wariant 2 oznacza wybranie 6 pączków. RRPBBN PPPPPP

24 Pozostaje więc Nam obliczyć na ile sposobów można wstawić znaczniki. Jest ich 3 – do tego dochodzi 6 produktów z cukierni – więc losujemy 3 miejsca z 9. ODPOWIEDZ: Takiego zakupu można dokonać na 84 sposoby. KOMBINATORYKA JEST ŁATWA!!! …chyba!?!?!

25 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google