Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 DANE INFORMACYJNE Nazwy szkół: ZESPÓŁ SZKÓŁ IM. KAROLA MARCINKOWSKIEGO PUBLICZNE GIMNAZJUM W CZŁOPIE ID grup: 98_33_MF_G1 98_7_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNA Temat projektowy: HISTORIA LICZBY. Semestr/rok szkolny: 3/ 2010/2011

3 SPIS TREŚCI 1. WSTĘP TEORETYCZNY. 2. PIERWOTNE SYSTEMY LICZENIA. 3. QUIPU. 4. SYSTEM KARBOWY. 5. WYNALEZIENIE CYFR. 6. SYSTEM RZYMSKI. 7. SYSTEM BABILOŃSKI. 8. SYSTEM GRECKI. 9. SYSTEM EGIPSKI. 10. WYNALEZIENIE ZERA. 11. SYSTEM MAJÓW. 12. SYSTEM INDYJSKI. 13. POJAWIENIE SIĘ SYSTEMU DZIESIĘTNEGO. 14. WYKONYWANIE PROSTYCH RACHUNKÓW W DAWNYCH SYSTEMACH. 15. TECHNIKA LICZENIA NA JAPOŃSKIM SOROBANIE. 16. BIBLIOGRAFIA.

4 1. WSTĘP TEORETYCZNY Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji. System liczbowy – to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb.

5 1. WSTĘP TEORETYCZNY – C.D. Najstarszy znany zapis liczby ma 30 tysięcy lat. W 1937 roku na Morawach znaleziono kość wilka, na której widać 55 rowków ułożonych w grupach po pięć. A więc najstarsza zapisana liczba to 55. Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie około 3300 p.n.e. Od tego odkrycia zaczęła się historia pisma: najpierw wymyślono sposób zapisywania liczb, a dopiero potem sposób zapisywania słów. Każdy lud wymyślał swój system liczbowy, wykorzystując specjalne znaki albo litery alfabetu. Do dziś zachowały się tylko cyfry rzymskie. Georges Ifrah pierwszy opowiedział historię liczb w sposób kompletny w swoim monumentalnym dwutomowym dziele Historia powszechna liczb. My spróbujemy zrobić to samo w nieco skróconej wersji.

6 2. PIERWOTNE SYSTEMY LICZENIA Pierwsza metoda liczenia wykorzystywała metodę odpowiedniości jeden - jeden, która pozwala w bardzo prosty sposób porównywać dwa zbiory istot, czy przedmiotów tej samej lub różnej natury bez pomocy liczenia abstrakcyjnego. Dzięki tej metodzie człowiek prehistoryczny mógł przez wiele tysiącleci uprawiać arytmetykę sam tego nieświadomy i nie wiedzący, co to jest liczba pojęta abstrakcyjnie. W tym celu ludzie z różnych stron świata używali muszli, paciorków, twardych owoców, kości, patyków, zębów słonia, orzechów kokosowych, kulek glinianych, ziaren kakao. Układali te przedmioty w stosy lub rzędy w ilości odpowiedniej ilości istot lub przedmiotów, które chcieli policzyć. Znaczyli też kreski na piasku lub robili węzełki na sznurkach, przesuwali muszle lub paciorki nawleczone na wzór różańca.

7 2. PIERWOTNE SYSTEMY LICZENIA – C.D. Ręka ludzka - jest najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym środkiem pomocniczym do liczenia i rachowania używanym przez rodzaj ludzki w ciągu wieków. Polega on na przypisaniu każdemu palcowi liczby całkowitej według naturalnego porządku tych liczb poczynając od jedności. To przypisanie odbywa się czasem przez podnoszenie kolejnych palców, jeśli zaczyna się od pozycji zgiętej, czasami przez opuszczanie jednego po drugim, jeśli na początku są wyciągnięte. Istnieją na świecie różne warianty tej techniki palcowej. Ale ręka, pierwszy konkretny przyrząd do liczenia i rachunku, daje tylko chwilowe sposoby rejestracji liczb. Umie zadowolić potrzebę wzrokowego przedstawienia liczby, ale nie potrafi jej utrwalić w pamięci.

8 3. QUIPU Jedną z metod zapamiętania liczb, wynalezioną w epoce cywilizacji Inków było posługiwanie się sznureczkami z węzełkami. Przyrząd ten, zwany quipo albo quipu (od słowa znaczącego w języku Inków "węzeł"), składał się ze sznurka około dwóch stóp długości i z przywiązanych do niego cieńszych sznureczków barwnych, połączonych w kilka grup i umieszczonych w równych odstępach za pomocą różnego rodzaju węzłów. Te quipa spełniały wielorakie funkcje dzięki temu, że kolory cieńszych sznurków, ilość węzełków i ich położenie względem siebie, wielkość i rozkład ich skupień miały dokładnie określone znaczenie.

9 3. QUIPU – C.D. Np. liczbę 3643 wyrażano następująco: Te sznureczki z węzełkami starannie przechowywano, żeby można było pamiętać rezultaty przeliczeń. Służyły do spisów różnych warstw społecznych, do rejestrowania urodzeń, ślubów, zgonów, do spisywania mężczyzn zdolnych do noszenia broni. Były używane jako archiwa budżetowe lub rejestry dochodów dla różnych jednostek administracyjnych.

10 4. SYSTEM KARBOWY Uważa się, że pewien prosty sposób liczenia pojawił się ok lat p.n.e. Był to system karbowy. Polegał on na żłobieniu w kościach karbów, których ilość oznaczała określoną liczbę. System ten stosowany jest w ograniczonej formie do dnia dzisiejszego, więc można go nazwać najdłużej używanym wynalazkiem człowieka. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce.

11 4. SYSTEM KARBOWY – C.D. Początkowo dla wyrażenia jednostek stosowano pojedyncze kreski. Np. liczbę 18 zapisywano tak: \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jednak zapis ten jest mało czytelny. Aby zwiększyć czytelność zapisu liczb, co piątą kreskę stawiano pod innym katem od pozostałych. Teraz liczbę 18 zapisywano tak: \ \ \ \/ \ \ \ \/ \ \ \ \/ \ \ \ Ilość kresek (karbów) jest taka sama, ale dzięki zaburzeniom łatwiej jest się zorientować w wartości liczby - są to trzy pełne piątki i trzy jednostki.

12 4. SYSTEM KARBOWY – C.D. Człowiek pierwotny, jeśli miał nazwy dla liczb, mógł to przeczytać jako trzy razy po pięć i trzy. Jeśli w liczbie tak zapisanej występowało dużo piątek, to co drugą piątkę zapisywano jeszcze inaczej, mianowicie tak: \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ W ten sposób otrzymaliśmy liczbę 23. Liczbę 38 zapiszemy więc: \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \

13 5. WYNALEZIENIE CYFR Dzięki wynalezieniu pisma oraz cyfr można było w sposób zupełnie ujednolicony pisać dowolne liczby oraz umożliwiało to każdemu wykonywanie rachunków bez takich środków pomocniczych jak ręka, liczydło, czy tabliczka do liczenia. Jak pismo, tak zero i wszystkie nasze współczesne cyfry zaliczyć trzeba do najpotężniejszych narzędzi umysłowych, którymi rozporządza dzisiejszy człowiek. Ale to odkrycie nie pojawiło się nagle. Ma ono swój początek i bardzo długą historię. Najstarsze w dziejach ludzkości cyfry - cyfry sumeryjskie - narodziły się około roku 3200 p.n.e. Ludzie bardzo oddaleni od siebie w czasie i przestrzeni obierali w swoich poszukiwaniach i próbach te same drogi i dochodzili do podobnych wyników.

14 6. SYSTEM RZYMSKI System karbowy wyewoluował w znany nam dzisiaj system rzymski. Rzymianie, jako ludzie praktyczni, uprościli zapis karbowy odrzucając niepotrzebne kreski po lewej stronie. W systemie rzymskim do zapisu liczb używanych jest siedem znaków cyfrowych (liter): Znak I V X L C D M Wartość Ale to nie są pierwotne postacie rzymskich znaków liczbowych. Dawne ich formy nie miały nic wspólnego z literami.

15 6. SYSTEM RZYMSKI – C.D. Cyfry wypisujemy od strony lewej do prawej poczynając od największej. Np XII, 29 - XXVIIII, MDCCCCLXXXXVIIII Jeśli przed cyfrą starszą stoi cyfra młodsza, to należy ją odjąć od starszej. Rzymianom nie podobało się, iż muszą zapisywać liczbę 4 jako IIII, liczbę 9 jako VIIII itd. Wprowadzili więc pozorne uproszczenie systemu, czyli regułę 3. Teraz prościej można przedstawiać powyższe liczby: 4 - IV 9 - IX MCMXCIX

16 6. SYSTEM RZYMSKI – C.D. O ile przedtem dodawanie można było wykonywać przez wspólne zapisanie cyfr obu dodawanych liczb, a następnie zastąpienie cyfr niższych wyższymi: MMCCCXXVI + MDCCXXVII = MMMDCCCCCXXXXVVIII= = MMMDDXXXXXIII = MMMMLIII to po zastosowaniu reguły 3 należało szalenie uważać, aby nie popełnić pomyłki. W rezultacie uproszczenie zapisu spowodowało skomplikowanie rachunków. Jeśli nad cyfrą umieszczono kreskę, to cyfra ta oznaczała liczbę tysięcy. Np.: XXXVICMLXXXIV oznacza liczbę 36984

17 6. SYSTEM RZYMSKI – C.D. Rzymianie do zapisywania liczb poza siedmioma, które przetrwały do dziś, używali dodatkowo ligatur oznaczający 5000, oraz oznaczający Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki | oznaczało liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznaczało mnożenie przez System rzymski przetrwał w ograniczonej formie nawet do dzisiaj przy zapisie dat lub numeracji rozdziałów, klas, sal, pięter, godzin itp. Jednak pomimo tych usprawnień system rzymski był ograniczony. Jak bowiem zapisać w tym systemie na przykład taką liczbę: ?

18 7. SYSTEM BABILOŃSKI Matematyka obszaru starożytnej Mezopotamii jest zazwyczaj nazywana babilońską, ze względu na to, że najliczniejsze źródła (około 400 glinianych tabliczek) pochodzą z wykopalisk babilońskich. Tabliczki te były zapisywane wówczas, gdy glina była jeszcze miękka, po czym były wypalane w piecu lub na słońcu. Większość wykopanych tabliczek jest datowana na okres r. p. n. e. Babilończycy rozwinęli jako pierwsi system pozycyjny o podstawie 60 (do dzisiaj dzielimy godziny na sześćdziesiąt minut, minuty na sześćdziesiąt sekund). Cechą systemu pozycyjnego jest ograniczona ilość cyfr.

19 7. SYSTEM BABILOŃSKI – C.D. Cyfry od 1 do 9 wyglądały następująco: Cyfry 10, 20, 30, 40 i 50 wyglądały tak: Brakujące cyfry pomiędzy 10 a 59 otrzymywano przez kombinację powyższych.

20 7. SYSTEM BABILOŃSKI – C.D. Na przykład 11 otrzymywano przez połączenie jedynki z dziesiątką: Natomiast liczby większe od 59 były otrzymywane przez układanie cyfr w kolejnych kolumnach. Przykładowo, liczba 70 była zapisywana jako:

21 7. SYSTEM BABILOŃSKI – C.D. W systemie babilońskim podstawa wynosi 60, więc cyfry będą mnożone przez kolejne potęgi liczby 60. Aby lepiej to zrozumieć, rozważmy następujący przykład liczby babilońskiej: Poszczególne cyfry tej liczby to 3, 25 i 57. Zatem liczbę tę możemy zapisać: 3 × × × 60 0 = 3 × × × 1 = = 12357

22 8. SYSTEM GRECKI Grecy byli jedną z pierwszych kultur, która zastosowała w praktyce system zapisu słów oparty na alfabecie (słowo alfabet pochodzi przecież od greckich liter - alfa i beta). Liczebniki greckie oznaczane były kolejnymi literkami alfabetu. A wyglądało to tak:

23 8. SYSTEM GRECKI – C.D. Kolejne liczby tworzone były przez dodawanie odpowiednich liczebników. Na przykład: Taki system pozwala bezproblemowo zapisywać liczby od 1 do 999. Z większymi wartościami Grecy poradzili sobie podobnie jak później Rzymianie, stosując cyfry młodsze od 1 do 9 z dodatkowym znakiem "iota", który umieszczano przed liczebnikiem jako indeks górny lub dolny.

24 9. SYSTEM EGIPSKI Egipski system zapisywania liczb opierał się na liczbie 10 jako na podstawie, lecz nie był to system pozycyjny. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 istniały specjalne znaki - hieroglify.

25 9. SYSTEM EGIPSKI – C.D. Znak dla jedynki przedstawiał tyczkę do mierzenia, zapisywano zaś go jako pionową kreskę. Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9. Znak dla 10 przypominał podkowę. Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do mierzenia albo - jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską. Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu. Znakiem jest wskazujący palec, a żaba. Liczba stu tysięcy w ich pojęciu była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach. Znak dla przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest to najprawdopodobniej obraz boga podtrzymującego sklepienie niebieskie jako symbol "wszystkiego". Liczbę oznaczano podkreślając koło.

26 9. SYSTEM EGIPSKI – C.D. Dodawanie liczebników hieroglifowych jest dosyć proste. Zliczamy po prostu poszczególne symbole. Gdy zliczymy pełną dziesiątkę jednakowych symboli, to zastępujemy ją hieroglifem wyższego liczebnika. W ten sposób wykonywali swoje rachunki starożytni pisarze przy zliczaniu danin, podatków, stad bydła, płodów rolnych, itp. Taki system zapisu liczb stosowany był powszechnie w Egipcie już 3000 lat p.n.e. Zobaczmy dwa przykłady liczb: 276 i 4622.

27 10. WYNALEZIENIE ZERA Historia ukazuje nam kilka dróg wiodących do odkrycia zera. Patrząc retrospektywnie, widzimy, że w niektórych systemach matematycznych zero było obecne, ale pojawiało się w swoisty sposób – niezależnie od siebie i różnoczasowo. Około IV w. zero dwudziestkowe wynaleźli Majowie zamieszkujący Amerykę Środkową, którzy posługiwali się dwudziestkowym pozycyjnym systemem liczbowym. Niestety, to osiągnięcie miało wyłącznie lokalne znaczenie. Najdonioślejsze natomiast było odkrycie zera, którego dokonali Hindusi ok. V w. W wynalezionym przez nich systemie dziesiątkowym pojawiła się idea zera jako miejsca dziesiętnego, czyli liczby. Ten system liczbowy w XIII w. za pośrednictwem kupców arabskich rozprzestrzenił się w całym ówczesnym cywilizowanym świecie.

28 11. SYSTEM MAJÓW Majowie stworzyli system dwudziestkowy, który opierał się na trzech symbolach: kropka, kreska i muszla. Znak kropki oznaczał jednostkę. Pozioma kreska oznaczała piątkę. Muszla oznaczała zero. Liczby zapisywano w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły podstawowy zestaw cyfr.

29 11. SYSTEM MAJÓW – C.D. Podstawą systemu liczbowego Majów była liczba 20. Dlaczego? Możemy się jedynie domyślać. Otóż w ciepłym klimacie Ameryki Majowie nie mieli potrzeby noszenia obuwia. Każdy człowiek posiada dwadzieścia palców - dziesięć u rąk i dziesięć u nóg. Prawdopodobnie ta własność naszego ciała wpłynęła na wybór podstawy systemu liczenia. Wartość liczby w tym systemie obliczamy mnożąc cyfry przez kolejne potęgi podstawy, czyli 20, i sumując te iloczyny częściowe. Kształt cyfr Majów sugeruje, iż stosowali oni do obliczeń prostą wersję liczydła, gdzie kamyczki (kropki) oznaczały jednostki, a patyczki (kreski) piątki.

30 11. SYSTEM MAJÓW – C.D. Przykład: 12 7 Znając podstawę systemu Majów, 19 możemy przystąpić do obliczeń: 12 × × × 20 0 = 12 × × = = 4959 Zwróćmy uwagę, iż system Majów nie ma żadnego ograniczenia co do wielkości zapisywanych liczb. Przewyższa on więc systemy rzymski, egipski oraz grecki. Kultury antyczne, pomimo posiadania wybitnych matematyków, nie odkryły idei systemu pozycyjnego. Zrobili to Majowie.

31 12. SYSTEM INDYJSKI Matematyka w Indiach była przede wszystkim narzędziem służącym do obserwacji i przewidywań astronomicznych, choć oczywiście stosowano ją również do praktycznego liczenia i mierzenia. Indyjski system liczbowy rozwinął się prawdopodobnie pod wpływem chińskich pałeczek do liczenia (układanych w systemie dziesiętnym) oraz pod wpływem pozycyjnego systemu Mezopotamii. Cyfry indyjskie znane są w kulturze zachodniej jako cyfry arabskie, gdyż Arabowie rozprzestrzenili je w Europie w średniowieczu. Większość dziesiętnych systemów liczbowych na świecie pochodzi z Indii, gdzie narodziła się koncepcja numerologii pozycyjnej.

32 12. SYSTEM INDYJSKI – C.D. Poniżej jest lista cyfr indyjskich i ich nowożytna forma w dewanagari, odpowiednik europejski (arabski) i wymowa w sanskrycie.

33 13. POJAWIENIE SIĘ SYSTEMU DZIESIĘTNEGO Pierwowzór dziesiętnego systemu liczbowego pojawił się w V w. n.e. w Indiach, skąd do Europy dotarł poprzez Arabów (dlatego cyfry nazywamy arabskimi). Zapis 1995 oznacza liczbę równą 1· · · ·10 0. Dziesiętny system liczbowy to najbardziej rozpowszechniony pozycyjny system zapisu liczb oparty o potęgi liczby 10 i tyleż znaków graficznych (cyfr: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) wykorzystywanych do zapisu liczb. Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach.

34 14. WYKONYWANIE PROSTYCH RACHUNKÓW W DAWNYCH SYSTEMACH System rzymski: np = 33 to XXI + XII = XXXIII System Majów: np = 15 to + = System babiloński: np = 13 to + =

35 15. TECHNIKA LICZENIA NA JAPOŃSKIM SOROBANIE Soroban pochodzi z Dalekiego Wschodu, a dokładnie z Japonii. Jednak jego początków należy szukać (jak większości ważnych odkryć) w Chinach. Około roku 1200, chińczycy zaczęli używać liczydła zbudowanego na systemie 2/5. W górnej części liczydła, znajdowały się 2 koraliki, każdy o wartości 5. W dolnej części liczydła, znajdowało się 5 koralików, każdy o wartości 1. Liczenie odbywało się w systemie dziesiętnym. Górna "5" upraszczała obliczenia. W XVII wieku liczydło rozpowszechniło się w Korei i Japonii. Przy czym pojawiła się jego nowa wersja 1/5, w której na górze był 1 koralik o wartości 5, a na dole 5 koralików każdy o wartości 1.

36 15. TECHNIKA LICZENIA NA JAPOŃSKIM SOROBANIE – C.D. Stąd już tylko krok do dzisiejszej postaci 1/4, czyli takiego, w którym w góry znajduje się jeden koralik o wartości 5, a dole 4 koraliki, każdy o wartości 1. Dokonano tego około roku 1930 w Japonii. Soroban stał się tam tak popularny, że jeszcze w połowie lat dziewięćdziesiątych, był obowiązkowym wyposażeniem wszystkich japońskich urzędników, a dawniej biznesmeni sprawdzali na nim poprawność obliczeń komputerowych.

37 15. TECHNIKA LICZENIA NA JAPOŃSKIM SOROBANIE – C.D. Wyzerowanie liczydła polega na maksymalnym rozsunięcie koralików od siebie. Japończycy nazywają dolne koraliki ziemią, górne niebem, zatem zerowanie polega na oddzieleniu ziemi od nieba.

38 15. TECHNIKA LICZENIA NA JAPOŃSKIM SOROBANIE – C.D. Na każdej kolumnie jest 5 koralików: 4 na dole i 1 na górze. Każdy dolny koralik ma wartość 1. Każdy górny koralik ma natomiast wartość 5. Przesuniecie tego koralika w dół to dodanie pięciu, a przesunięcie w górę to odjęcie pięciu. Przykłady: 6=5+1, 7=5+2, 8=5+3, 9=5+4.

39 15. TECHNIKA LICZENIA NA JAPOŃSKIM SOROBANIE – C.D. Zapisywanie liczb na sorobanie, jest zgodne z dziesiątkowym, pozycyjnym zapisywaniem liczb, jakim się posługujemy. Kolejno od lewej strony mamy kolumnę jedności, dziesiątek, setek, tysięcy, itd.

40 15. TECHNIKA LICZENIA NA JAPOŃSKIM SOROBANIE – C.D. - PRZYKŁADY

41 16. BIBLIOGRAFIA Strony internetowe: olesno.pl/index.php?option=com_content&view=article&id=99 :jak-powstaway-liczby&catid=55:projekty- zrealizowane&Itemid=77 olesno.pl/index.php?option=com_content&view=article&id=99 :jak-powstaway-liczby&catid=55:projekty- zrealizowane&Itemid=77

42 16. BIBLIOGRAFIA Strony internetowe: 2-tomy/ 2-tomy/

43 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google