Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

II. Równania, nierówności, układy równań Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości (=), w których występuje jedna lub więcej niewiadomych,

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "II. Równania, nierówności, układy równań Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości (=), w których występuje jedna lub więcej niewiadomych,"— Zapis prezentacji:

1

2 II. Równania, nierówności, układy równań

3 Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości (=), w których występuje jedna lub więcej niewiadomych, nazywamy równaniem. Równania mogą zawierać: -Jedną niewiadomą, np. -Dwie niewiadome, np. - Większą liczbę niewiadomych, np.

4

5 Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np. Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( ). Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba, która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość prawdziwą. Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta spełnia to równanie. Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2. Równania równoważne do danego otrzymamy: - Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron równania, -mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera

6 Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym. Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej. Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem tożsamościowym. Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4. Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po prawej. RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA NIEWIADOMĄ NAZWA LICZBA ROZWIĄZAŃ PRZYKŁADROZWIĄZANIE Oznaczone Jedno3x-2=2x-4x=-2 Sprzeczne Zero3(x+1)=3x+5Brak rozwiązań Tożsamość Nieskończenie wiele 4(x-1)+2(x-2)+2xKażda liczba rzeczywista

7 Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia, które można przedstawić w postaci: - nierówności ostre - nierówności nieostre Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym. Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3 Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa. Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.

8 Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki sam zbiór rozwiązań. Nierówność możemy przekształcić w nierówność równoważną, jeśli: - do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np. x>9 | -2 x>9 | +3x-6 x-2>7 4x-6>3x+3 - obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna nierówność 3x<27. - obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny, np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27

9 Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie jak podczas rozwiązywania równań. Przekształcamy ją w nierówność równoważną, tak aby po jednej stronie nierówności zostały tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba. Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np. Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej: Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.

10 Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi są na przykład równania: Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami liczbowymi, przy czym lub. Równania: ax+by=c możemy przedstawić w postaci równania:. Chcąc znaleźć parę liczb spełniających dane równanie, przyjmujemy za x dowolną wartość i obliczamy odpowiadająca mu wartość y. Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można przedstawić graficznie w układzie współrzędnych. Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami całkowitymi).

11 Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą mieć postać: (nierówności ostre) (nierówności nieostre) Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).

12 Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć: -Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba równania – wtedy jest to układ oznaczony. -Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba równania – wtedy jest to układ nieoznaczony. - żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny. Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań. Układy równoważne możemy otrzymać: -Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne, -Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub wyrażenie algebraiczne różne od zera, -Dodając (lub odejmując stronami) oba równania. Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i metodami algebraicznymi.

13 METODA GRAFICZNA -Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych, - Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie. POŁOŻENIE PROSTYCH W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH Proste przecinają sięProste pokrywają sięProste są równoległe PARY LICZB SPEŁNIAJĄCYCH UKŁAD RÓWNAŃ Jedna para Nieskończenie wiele par Zero par NAZWA UKŁADU oznaczonynieoznaczonysprzeczny

14 METODA PODSTAWIANIA -Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y) -Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną niewiadomą. - Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej. METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y. W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną. Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań. Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań. METODA MIESZANA Polega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za pomocą metody podstawiania. -W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki. -Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki. Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma. -Wyliczamy wartość tej niewiadomej. - Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.

15 Koniec części II


Pobierz ppt "II. Równania, nierówności, układy równań Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości (=), w których występuje jedna lub więcej niewiadomych,"

Podobne prezentacje


Reklamy Google