Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Optymalizacja liniowa Andrzej Torój, Ekonometria.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Optymalizacja liniowa Andrzej Torój, Ekonometria."— Zapis prezentacji:

1 Optymalizacja liniowa Andrzej Torój, Ekonometria

2 Problem decyzyjny Która decyzja (z tych możliwych do podjęcia) jest najlepsza? co to znaczy decyzja? kiedy decyzja jest możliwa do podjęcia? co to znaczy najlepsza? zmienne decyzyjne X 1, X 2,..., X n decyzja: x*=(x 1 *, x 2 *,..., x n *) warunki ograniczające zbiór decyzji dopuszczalnych funkcja celu maxmin kryterium optymalizacji

3 Przykład Kubuś Puchatek lubi miód i chce go jeść jak najwięcej. Niestety, musi sobie na tę przyjemność zapracować. Są dwie możliwości: hodowanie pszczółek w ulu w ogródku lub zakup miodu w sklepie za pieniądze otrzymane za brawurową rolę w kreskówce. Za każdą godzinę opieki dziennie pszczoły odwdzięczają mu się 0,2 l miodu. Praca pozwala Kubusiowi zarobić 5 zł za godzinę, a miód w sklepie kosztuje 10 zł za litr. Kubuś jest leniwym misiem i nie może pracować (czy to zarobkowo, czy przy ulu) dłużej niż 8 godzin dziennie. Kubuś nie spędzi jednak na planie dłużej niż 5 godzin dziennie, bo będzie tęsknił za Prosiaczkiem i zechce wrócić do domu. Pszczoły po 7 godzinach z Kubusiem mają go dość i zaczynają go atakować. Jak zachowa się Kubuś, by mieć jak najwięcej miodu do dyspozycji? Andrzej Torój, Ekonometria

4 Zmienne decyzyjne x 1 – czas pracy w serialu x 2 – czas pracy przy ulu Andrzej Torój, Ekonometria Decyzja x*=(x 1 *,x 2 *)

5 Funkcja celu cel: maksymalizacja konsumpcji miodu f(x)=f(x 1,x 2 ) max Jak czas pracy przekłada się na ilość miodu do dyspozycji? – 1 h z pszczołami to 0,2 l miodu – 1 h na planie serialu to 5 zł, a 1 l miodu kosztuje 10 zł – stąd ilość miodu do dyspozycji Kubusia (w litrach) zależy od jego decyzji w następujący sposób: 5/10 *x 1 + 0,2*x 2 funkcja celu: f(x 1,x 2 )=0,5x 1 +0,2x 2 Andrzej Torój, Ekonometria

6 Warunki ograniczające (1)x 1 + x 2 8 (2)x 1 5 (3)x 2 7 (4)x 1 0 (5)x 2 0 Andrzej Torój, Ekonometria warunki nieujemności

7 Ilustracja graficzna (1)x 1 + x 2 8 (2)x 1 5 (3)x 2 7 (4)x 1 0 (5)x 2 0 Andrzej Torój, Ekonometria x1x1 x2x zbiór decyzji dopuszczalnych (D)

8 Gdzie jest decyzja optymalna? f(x 1,x 2 ) = 0,5 x 1 + 0,2 x 2 Andrzej Torój, Ekonometria x1x1 x2x Warstwica funkcji celu: f(x 1,x 2 ) = 1 f(x 1,x 2 ) = 2 itd f(x 1,x 2 ) = 1 f(x 1,x 2 ) = 2 decyzja optymalna! Gradient funkcji celu: kierunek najszybszego wzrostu jej wartości; pochodna funkcji celu względem zmiennych decyzyjnych 4

9 Warunki luźne i napięte (1)x 1 + x 2 8 (2)x 1 5 (3)x 2 7 (4)x 1 0 (5)x 2 0 Andrzej Torój, Ekonometria x1x1 x2x warunki napięte (spełnione dla rozwiązania optymalnego jako równość) warunki luźne (spełnione dla rozwiązania optymalnego jako nierówność ostra)

10 Decyzja optymalna Decyzja x* jest optymalna, jeżeli: jest decyzją dopuszczalną, tzn. f(x*) f(x) dla dowolnej decyzji przy maksymalizacji funkcji celu ALBO f(x*) f(x) dla dowolnej decyzji przy minimalizacji funkcji celu Andrzej Torój, Ekonometria

11 Zadanie programowania liniowego (PL) szczególny przypadek zadania programowania matematycznego 1.wszystkie zmienne decyzyjne ciągłe 2.wszystkie warunki ograniczające w postaci równań lub słabych nierówności liniowych 3.funkcja celu liniową funkcją zmiennych decyzyjnych Andrzej Torój, Ekonometria

12 Możliwe wyniki – rozwiązanie optymalne istnieje Andrzej Torój, Ekonometria x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 jedno rozwiązanie optymalne alternatywne rozwiązania optymalne

13 Możliwe wyniki – rozwiązanie optymalne nie istnieje Andrzej Torój, Ekonometria x1x1 x2x2 zadanie sprzeczne x1x1 x2x2 funkcja celu nieograniczona z góry (z dołu)

14 Własności zadań PL (1) Andrzej Torój, Ekonometria 1.Jeżeli zbiór D jest niepusty i ograniczony, to istnieje rozwiązanie optymalne. 2.W zadaniu PL o nieujemnych zmiennych decyzyjnych i niepustym zbiorze rozwiązań optymalnych przynajmniej jeden wierzchołek zbioru D jest rozwiązaniem optymalnym. 3.Zbiór rozwiązań dopuszczalnych i rozwiązań optymalnych zadania PL są zbiorami wypukłymi. 4.Wynik procesu rozwiązywania zadania PL nie ulega zmianie przy zastąpieniu funkcji celu f(x) funkcją af(x) (gdy a jest dowolną liczbą dodatnią) lub f(x)+b (gdy b jest ustaloną liczbą rzeczywistą).

15 Własności zadań PL (2) Andrzej Torój, Ekonometria 5.Wynik procesu rozwiązywania zadania PL nie ulega zmianie przy zastąpieniu funkcji celu f(x) funkcją -f(x) i jednoczesnej zmianie kryterium optymalizacji na przeciwne. 6.Wierzchołek x* niepustego zbioru rozwiązań dopuszczalnych D jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL z maksymalizacją funkcji celu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego rozwiązania dopuszczalnego x na prostej warunku napiętego w x* zachodzi f(x*) f(x). 7.Wierzchołek x* niepustego i ograniczonego zbioru rozwiązań dopuszczalnych D jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL z maksymalizacją funkcji celu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego sąsiedniego wierzchołka zachodzi f(x*) f(x).

16 2007/2008 ZAndrzej Torój, Ekonometria Narzędzia/Dodatki... Solver

17 2007/2008 ZAndrzej Torój, Ekonometria tutaj wpisujemy adres zakresu zmiennych decyzyjnych wybieramy kryterium optymalizacji funkcji celu: maksimum, minimum lub osiągnięcie konkretnej wartości tutaj wpisujemy adres komórki zawierającej formułę funkcji celu; formuła powinna zawierać zmienne decyzyjne zdefiniowane w innych, zmienianych przez program komórkach naciskając Dodaj, przechodzimy do okna definiowania warunku ograniczającego po lewej stronie wpisujemy adres komórki zawierającej funkcję zmiennych decyzyjnych; w środku – charakter ograniczenia; po prawej – wyraz wolny warunku ograniczającego

18 2007/2008 ZAndrzej Torój, Ekonometria Opcje… ustawiamy parametry dla algorytmu poszukującego rozwiązania (kiedy ma uznać, że je już znalazł) ustalamy, jaki dokładnie algorytm ma szukać rozwiązania zaznaczenie w tym miejscu zwalnia nas z konieczności dodawania wszystkich warunków nieujemności do zbioru warunków ograniczających jeżeli model jest liniowy, zaznaczenie tego pola upraszcza proces obliczeniowy (UWAGA! model liniowy, ale zapisany w sposób nieliniowy, np. ograniczenie x 1 /x 2 = 1, zostanie odrzucone, należy zapisać x 1 =x 2 )

19 Zadanie programowania liniowego – pytania... Andrzej Torój, Ekonometria czy po zmianie współczynnika funkcji celu obecne rozwiązanie optymalne nadal będzie optymalne? czy zmiana wyrazu wolnego sprawi, że zestaw warunków napiętych zmieni się? jak zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego wpłynie na optymalną wartość funkcji celu (cena dualna)? jak wpłynie na rozwiązanie optymalne usunięcie/dodanie jednego warunku ograniczającego?

20 Problem Kubusia Puchatka - przypomnienie (1)x 1 + x 2 8 (2)x 1 5 (3)x 2 7 (4)x 1 0 (5)x 2 0 Andrzej Torój, Ekonometria x1x1 x2x f(x 1,x 2 )=0,5x 1 +0,2x 2

21 w naszym przypadku: 0,2 – zmiana wydajności pszczół (0,2 l miodu na godzinę pracy Kubusia) 0,5 – zmiana płacy realnej w serialu (0,5 l miodu za godzinę) Andrzej Torój, Ekonometria Zmiana współczynnika funkcji celu (1)

22 Zmiana współczynnika funkcji celu (2) Andrzej Torój, Ekonometria dla rozwiązania optymalnego (x 1,x 2 )=(5,3): dla sąsiednich wierzchołków: (x 1,x 2 )=(5,0): (x 1,x 2 )=(1,7): Decyzja (x 1,x 2 )=(5,3) pozostanie optymalna tak długo, jak spełnione będą warunki: – przedział stabilności c2

23 Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (1) Andrzej Torój, Ekonometria w naszym przypadku: zmiana poziomu pracowitości Kubusia (mało prawdopodobna ) zmiana odporności Prosiaczka na tęsknotę za Kubusiem (jeszcze mniej prawdopodobna ) zmiana odporności pszczół na obecność Kubusia

24 Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (2) jeżeli prostą 0*x 1 +1*x 2 =7 przesuniemy dowolnie wysoko (0*x 1 +1*x 2 =7+ b 1, b 1 >0), rozwiązanie optymalne nie zmieni się jeżeli przesuniemy ją tak, by przechodziła przez dotychczasową decyzję optymalną (0*x 1 +1*x 2 =7+ b 1 dla x 1 =5, x 2 =3, stąd b 1 =-4), decyzja optymalna nie zmieni się, ale warunek tej prostej stanie się napięty gdy b 1 <-4, zmieni się decyzja optymalna i zbiór warunków napiętych (przestanie być napięty warunek oznaczony zieloną linią) Andrzej Torój, Ekonometria

25 Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (3) struktura bazowa rozwiązania optymalnego struktura bazowa rozwiązania optymalnego – zbiór napiętych warunków ograniczających przedział stabilności przedział stabilności struktury bazowej rozwiązania optymalnego względem wyrazu wolnego b i – przedział zmienności b i, w którym nie nastąpi zmiana zestawu warunków napiętych – dla warunku luźnego – pytanie podobne do tego, jakie stawialiśmy sobie przy zmianie współczynnika funkcji celu (jak wielka zmiana możliwa bez zmiany decyzji optymalnej?) – dla warunku napiętego takie pytanie nie miałoby w gruncie rzeczy sensu (każde przesunięcie linii ograniczenia powodowałoby zmianę decyzji optymalnej) Andrzej Torój, Ekonometria

26 Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (4) (1)x 1 + x 2 8 (2)x 1 5 (3)x 2 7 Andrzej Torój, Ekonometria (1) 5 b 1 12 (2) 1 b 2 8 (3) 3 b 3 3 przedziały stabilności struktury bazowej rozwiązania optymalnego

27 Cena dualna (1) jak wpływa zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego na wartość funkcji celu? Andrzej Torój, Ekonometria warunek luźnywarunek napięty ZAŁOŻENIE: struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie ulegnie modyfikacji założenie pozwala nam uznać, że te same warunki pozostaną napięte (np. warunek (1) i (2) ); zapisujemy warunki spełniane przez nową decyzję optymalną: rozwiązujemy ze względu na x1 i x2 (obie zmienne decyzyjne będą funkcją b 2 ), a następnie podstawiamy do funkcji celu: d jest ceną dualną cena dualna wynosi 0 cena dualna to przyrost (spadek) optymalnej wartości funkcji celu spowodowany jednostkowym przyrostem (spadkiem) wyrazu wolnego jednego z warunków ograniczających przy założeniu, że struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie zostanie zmieniona

28 Cena dualna (2) w przypadku problemu Kubusia Puchatka: Andrzej Torój, Ekonometria (1) x 1 + x 2 8 (2) x 1 5 (3) x 2 7 warunek (1) jest napiętywarunek (2) jest napiętywarunek (3) jest luźny cena dualna dla warunku (3) = 0 cena dualna dla warunku (1) = 0,2cena dualna dla warunku (2) = 0,3

29 Co się stanie, gdy dodamy nowy warunek? jeżeli dotychczasowa decyzja optymalna spełnia ten warunek, pozostanie ona optymalna; w przeciwnym razie szukamy nowego rozwiązania (o ile zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie stał się pusty!) Andrzej Torój, Ekonometria Co się stanie, gdy usuniemy warunek? jeżeli warunek był luźny, dotychczasowe rozwiązanie pozostaje optymalne; jeżeli był napięty, musimy rozwiązać zadanie ponownie

30 Uwagi końcowe zasada ceteris paribus: przedziałów stabilności współczynników funkcji celu nie można rozpatrywać łącznie analiza pooptymalizacyjna dotyczy zagadnień ze zmiennymi ciągłymi Andrzej Torój, Ekonometria

31 Zadania – podstawowe typy

32 Andrzej Torój, Ekonometria 1. Dieta

33 Andrzej Torój, Ekonometria 1. Dieta (c.d.) wyróżnione są składniki (m) diety oraz ich maksymalne i minimalne dawki składniki dostępne są w produktach (n), dla każdego produktu znana jest jego cena (c) i zawartość składnika (b) należy znaleźć najtańszą mieszankę produktów zawierającą odpowiednie ilości składników klasyczne zagadnienie diety – jedynie dawki minimalne, nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych, ale przy dodatnich cenach i kryterium minimalizacji – istnieje rozw. opt.

34 Andrzej Torój, Ekonometria 2. Portfel inwestycyjny

35 Andrzej Torój, Ekonometria 2. Portfel inwestycyjny poszukujemy optymalnej struktury portfela inwestycyjnego: jak najmniejsze ryzyko przy zadanej oczekiwanej stopie zwrotu jak najwyższa oczekiwana stopa zwrotu przy zadanym oczekiwanym poziomie ryzyka zmienne decyzyjne: udział poszczególnych rodzajów aktywów w portfelu (%); ograniczenie budżetowe: ich suma równa 1 limity prawne dla udziału poszczególnych aktywów (np. max. udział akcji, aktywów zagranicznych itp.) założenie o doskonałej podzielności aktywów i płynności rynku oczekiwana stopa zwrotu z portfela: średnia ważona z oczekiwanych stóp zwrotu poszczególnych jego elementów założenie o NIEZALEŻNOŚCI stóp zwrotu poszczególnych aktywów (?)

36 Andrzej Torój, Ekonometria 3. Harmonogram

37 Andrzej Torój, Ekonometria 3. Harmonogram decydujemy o liczbie pracowników rozpoczynających pracę o różnych porach zadanie ze zmiennymi dyskretnymi (np. liczby naturalne) – trudniejsze do rozwiązania

38 Andrzej Torój, Ekonometria 4. Mieszanka

39 Andrzej Torój, Ekonometria 4. Mieszanka mieszamy składniki; każdy z nich ma swoją cenę mieszanka musi być jak najtańsza i spełnić jednocześnie określone wymagania

40 Andrzej Torój, Ekonometria 5. Zagadnienie transportowe

41 Andrzej Torój, Ekonometria 5. Zagadnienie transportowe produkt zmagazynowany u m dostawców należy dostarczyć do n odbiorców; ile jednostek produktu przewieźć od i-tego dostawcy (i=1,...,m) do j-tego odbiorcy (j=1,...,n) by spełnić wymagania odbiorców n*m zmiennych decyzyjnych należy tak ustalić plan transportu, by zminimalizować jego łączny koszt (znany jednostkowy koszt transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy) zagadnienie jest zbilansowane, gdy początkowy zasób u dostawców równy zapotrzebowaniu odbiorców (warunki ograniczające: równości) niezbilansowane, gdy podaż lub popyt mniejsze (nierówności wśród warunków ograniczających) gdy towar jest niepodzielny, nie ma konieczności uwzględniania całkowitoliczbowości zmiennych

42 Andrzej Torój, Ekonometria 6. Przydział

43 Andrzej Torój, Ekonometria 6. Przydział m zadań do wykonania i m pracowników, którzy mogą je wykonać; każdy pracownik otrzymuje dokładnie jedno zadanie zadań może być więcej niż pracowników (wtedy wśród warunków ograniczających nierówności) minimalizujemy koszt realizacji zadań lub łączną efektywność wszystkie zmienne decyzyjne są binarne; warunek ten można zastąpić warunkiem x ij 0 (na podstawie analogicznej własności zagadnienia transportowego)

44 Praca domowa Przykłady i zadania do rozdziałów – 11 – 12 – 13 Andrzej Torój, Ekonometria


Pobierz ppt "Optymalizacja liniowa Andrzej Torój, Ekonometria."

Podobne prezentacje


Reklamy Google