Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH ID grupy: 97/53_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Semestr/rok szkolny: SEMESTR II/2011/2012

3 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Cele jakie postawiliśmy sobie w tym temacie: Znalezienie i zaprezentowanie podstawowych informacji o równaniach diofantycznych i sposobach ich rozwiązywania. Stworzenie prezentacji multimedialnej prezentującej wyniki projektu.

4 WSTĘP Równaniem diofantycznym nazywamy równanie, z reguły o kilku niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w liczbach całkowitych. Przykłady:

5 WSTĘP Nazwa równań diofantycznych pochodzi od imienia greckiego matematyka Diofantosa (III w. n. e.). Znany jest epigram o długości jego zycia: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant - a dzieki przedziwnej sztuce zmarłego i wiek Jego zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część życia minęła, A znowu żywota gdy przebył część siódma, Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg. Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka. Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał sie z życiem.

6 WSTĘP Tłumacząc na język bardziej przystępny mamy: 1/6 życia zajęła mu młodość, potem po 1/12 życia wyrosła mu broda, następnie po 1/7 życia ożenił się, po 5 latach urodził mu sie syn, syn żył połowę krócej od ojca, ojciec zmarł 4 lata po synu. Oblicz ile lat żył Diofantos!

7 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Twierdzenie 1. Równanie diofantyczne posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

8 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Twierdzenie 1. Ponadto jeśli para liczb całkowitych x 0, y 0 jest rozwiązaniem równania to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

9 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 1. Znajdź rozwiązania równania Do znalezienia NWD liczb 309 i 186 zastosujemy algorytm Euklidesa, zatem: Zatem

10 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 1. Znajdź rozwiązania równania Ponadto Zatem

11 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 1. Znajdź rozwiązania równania Stąd rozwiązaniem naszego równania diofantycznego jest para liczb: Aby znaleźć pozostałe rozwiązania, zastosujemy dalszą część twierdzenia 1, mianowicie:

12 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 1. Znajdź rozwiązania równania W konsekwencji mamy: gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

13 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 2. Ile biletów po 3 zł i po 5 zł mozna kupic za 149 zł, jesli nalezy wydac wszystkie pieniadze? Niech: x – ilość biletów po 3 zł y – ilość biletów po 5 zł Zatem musimy rozwiązać następujące równanie diofantyczne: Postępujemy podobnie jak w rozwiązaniu poprzedniego równania.

14 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 2. Ile biletów po 3 zł i po 5 zł mozna kupic za 149 zł, jesli nalezy wydac wszystkie pieniadze? Zatem Mnożąc obustronnie przez 149 otrzymujemy:

15 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 2. Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? No tak. Ale przecież nie można kupić -149 biletów, zatem szukamy teraz pozostałych rozwiązań. Rozwiązania muszą być liczbami nieujemnymi, czyli:

16 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 2. Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Zatem bilety można kupić na następujące sposoby: t x y

17 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Twierdzenie 2. Równanie diofantyczne posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

18 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 3. Znajdź rozwiązania równania Niech Otrzymujemy zatem układ równań: Rozwiązując drugie równanie metodą z poprzednich przykładów mamy:

19 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 3. Znajdź rozwiązania równania Łatwo zauważyć, że w pierwszym równaniu zachodzi zależność: czyli

20 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Przykład 3. Znajdź rozwiązania równania Podstawiając rozwiązanie do rozwiązań z pierwszego równania, otrzymujemy następujące równania końcowe: gdzie u i t są dowolnymi liczbami całkowitymi.

21 BIBLIOGRAFIA Wykaz najważniejszych źródeł, z których korzystaliśmy tworząc niniejszą prezentację: 1) W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, PZWS, Warszawa ) Wykład dr Andrzeja Sładka z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, listopad 2005

22 PREZENTACJĘ DLA PAŃSTWA PRZYGOTOWALI: 1. Oliwia Grudziecka 2. Martyna Jakubowska 3. Joanna Opałka 4. Agata Pawłowska 5. Magdalena Socha 6. Daniela Świadek 7. Monika Wałkiewicz 8. Małgorzata Wyciślak 9. Magdalena Żurawska 10. Denis Özer

23 Dziękujemy za uwagę!

24 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google