Inżynieria Wiedzy Część 2

Prezentacja na temat: "Inżynieria Wiedzy Część 2"— Zapis prezentacji:

1 Inżynieria Wiedzy Część 2
Prof. dr hab. Wiesław Traczyk Konsultacje – środa, 15:00..16:00, p.523 Lato 2007

2 3. WNIOSKOWANIE NA PODSTAWIE REGUŁ
Ogólne zasady wnioskowania Reguły wnioskowania Reguła wnioskowania (dowodzenia) to sposób uzyskiwania wniosku  z przesłanek . Typowe przykłady to - modus ponens - modus tollens rezolucja - sylogizm hipotetyczny IW

3 A. Ogólne zasady wnioskowania
b. Warianty „modus ponens” 1. Rozbudowane składniki czyli oraz 2. Uzgadnianie zmiennych Elementy przesłanki (poprzedniki i fakty) można sprowadzić do identycznej postaci przez podstawienie termu w miejsce zmiennej:  = x|t,  = [x1|t1, x2|t2,…] = [1, 2,…] Wynik podstawienia  w  to konkretyzacja . Podstawienie  uzgadnia (unifikuje) 1 i 2 jeśli 1 = 2 ( to unifikator) IW

4 A. Ogólne zasady wnioskowania
Podstawiać w miejsce zmiennych można tylko termy, więc P(x) = P(A) przy  = x|A, ale P(A) i P(B) nie mają unifikatora. Dla {P(A,x,y), P(v,w,C)} unifikatorem jest np. P(A,B,C) ale najbardziej ogólny unifikator to P(A,x,C). Prosta metoda poszukiwania unifikatora polega na kolejnym uzgadnianiu argumentów stwierdzenia, więc dla Q(x,f(x),A) i Q(u,w,w) unifikatorem będzie - ? Nowa postać modus ponens: 3. Podobieństwo warunków i faktów IW

5 A. Ogólne zasady wnioskowania
4. Współczynniki oceny ,, - prawdopodobieństwo, - pewność, - ufność, - ważność, - adekwatność, … Np.  - „przetrwam 1-szy rok”,  - „skończę studia”,  = 0,8,  = 0,6,  = ? 5. Propagacje hipotez IW

6 A. Ogólne zasady wnioskowania
c. Wnioskowanie dedukcyjne Ogólna reguła wnioskowania to gdzie W – zbiór reguł, aksjomatów, wiedza, F - dane pierwotne, fakty, F’ – dane wtórne, pochodne, wnioski. Można z nich zestawić łańcuch: W,F0 W,F0,F W,F0,F1,…,Fk-1 F F Fk nazywany wnioskowaniem dedukcyjnym – Fk wyprowadzalne (wynika syntaktycznie) z F0 - i oznaczany przez F0 |- Fk, albo {F0, W} |- Fk. |- to relacja dowodliwości, |- F - twierdzenie, asercja,wynikanie z aksjomatów. W, F F’ Np. F = {Parzysta(2)}, W = {Parzysta(x)  Parzysta(x+2)} P(x)  P(x+2), P(2) , P(x)  P(x+2), P(4) , …. P(4) P(6) IW

7 A. Ogólne zasady wnioskowania
Można też postawić problem odwrotny: F = {Parzysta(2)}, W = {Parzysta(x+2)  Parzysta(x) }, C = Parzysta(6)? C określa cel wnioskowania (hipotezę), a ogólna reguła ma postać: W,F’,C F Np. P(x+2)  P(x), P(2), P(6)? P(x+2)  P(x), P(2), P(4)? P(2), P(2)? P(4)? P(2)? T Wynikanie syntaktyczne zastępuje trudniejsze do zautomatyzowania wynikanie semantyczne, powstaje więc pytanie, czy to co wynika semantycznie wynika również syntaktycznie (i odwrotnie): (F |= C)  (F |- C) ?  twierdzenie o pełności reguł wnioskowania  twierdzenie o poprawności reguł wnioskowania IW

8 B. Metody wnioskowania dedukcyjnego
Wnioskowanie na podstawie faktów (danych, w przód, wstępujące, data driven, forward) Ogólny schemat: {W, F} |-mpC, gdzie W = {   | ,  - wyrażenia logiczne} – zbiór reguł, wiedza, F = {p | I[p]= T} - fakty, stwierdzenia podstawowe (bez zmiennych), C – cel, hipoteza; zwykle stwierdzenie lub wyrażenie logiczne. Typowe zadania: Jakie są skutki (wnioski) C faktów F ? F = {„nie zgłoszę tematu projektu przed 18.IV”, „zaliczę kolokwia”} Jakie są powody C faktów F ? F = {„silnik rzęzi”, „silnik gaśnie”, …} Czy to prawda, że C gdy znamy F ? C = {„uszkodzone odchylanie pionowe”}, F = {„poziome fale na ekranie”}. IW

9 B. Metody wnioskowania dedukcyjnego
a1. Rozszerzanie zbioru danych D0=Fp; Di, W i = 0, 1, …, k Di+ Di+1= Di  Di+ [ Fia], C  Dk+ Dk C D0 P(A) P(x)  Q(x,y)  V(x,y) Q(A,B) P(A)  R(x)  W(x) R(B) V(u,v)  W(v)  S  Z(u,v) S V(A,B) W(B) Z(A,B) F (D0) W D C (D1+) IW

10 B. Metody wnioskowania dedukcyjnego
a2. Modyfikowanie zbioru danych D0=Fp; Di, W i = 0, 1, …, k Di+,Di- Di+1= (Di –Di-)  Di+ [ Fia], C  Dk+ Dk C D0 1 4 Np. Obliczanie obwodów elektrycznych E(z,x,y) – element o impedancji z między węzłami x i y K(x,n) – krotność rozgałęzienia x wynosi n A(x) – zmniejsz o 1 krotność rozgałęzienia x 2 3 r1. K(x,2)  E(z1,w,x)  E(z2,x,y)  E+(z1+z2,w,y)  E-(z1,w,x)  E-(z2,x,y)  K-( x,2) r2. E(z1,x,y)  E(z2,x,y)  E+(Z1,2,x,y)  E-(z1,x,y)  E-(z2,x,y)  A(x)  A(y) IW

11 B. Metody wnioskowania dedukcyjnego
b. Wnioskowanie na podstawie celu (wstecz, zstępujące, backward, goal driven) Model: {C,W} |- F albo {C,W,F} |- T. Typowe zadania: Dla jakich F zachodzi C ? C = {„uzyskam wysoki kredyt”} Czy to prawda, że C gdy F ? C0 = C, D0 = F (albo ), Ci,Di,W, i=0,1,…,k Ci+1,Pti Di+1= Di  Odi Ck,Dk,W  Ci+1 – podcele, Pt – pytania, Od – odpowiedzi. IW

12 B. Metody wnioskowania dedukcyjnego
Komentarz Wykonuje się procedurę potwierdzenia [pod]celu przez a. uzgadnianie z faktami, b. uzgadnianie z konkluzjami reguł, c. pytanie użytkownika lub źródeł zewnętrznych. Gdy próba nieudana – nawrót. 2. Gdy w 1b kilka możliwości – wybiera się strategię przeszukiwania. Wyniki uzgodnień przenosi się w przód, potwierdzając cel. Np P(A) Z(x,y) V(x,y)  P(x)  Q(x,y) S W(x)  P(A)  R(x) Z(u,v)  (W(v)  S)  V(u,v) F C W IW

13 B. Metody wnioskowania dedukcyjnego
Np. Dowodzenie nierówności: udowodnić, że gdy A,B,D > 0 i C > D, jeśli wiadomo, że r x > 0  y > 0  xy > 0 r x > 0  y > z  x + y > z r x > 0  y > z  xy > xz r x > wy  y > 0  x/y > w Często wynik zależy od kolejności podstawień, trzeba więc rozważać różne warianty albo dodać uogólniające reguły. Wnioskowanie dwukierunkowe  - póki można, potem - ,  - gdy nowe fakty,  - okresowo lub wg potrzeb. IW

14 C. Wnioskowanie rezolucyjne
Podstawy Zbiór formuł  jest niespełnialny gdy żadna interpretacja i wartościowanie nie zapewnia prawdziwości wszystkich formuł zbioru, czyli Iv i Iv[] = T Jeśli  jest spełnialny (prawdziwy przy jakichś Iv), oraz  |- H, to zbiór {, H} też jest spełnialny, natomiast {, H} jest niespełnialny. Tak więc, aby wykazać, że przy spełnionym  zachodzi  |- H, trzeba wykazać, że {, H} jest niespełnialne. Twierdzenie o zaprzeczeniowej pełności rezolucji: Jeśli zbiór klauzul K jest niespełnialny, to istnieje rezolucyjny wywód klauzuli pustej z K, i odwrotnie: Kniesp (K |- ) gdyż P, P  IW

15 C. Wnioskowanie rezolucyjne
Zasada falsyfikacji (zaprzeczania) , {, H} |-rez H Reguła rezolucji p  , p   p  , p’  , p = p’        Faktoryzacja gdy p = p’ to p  p’ = p. Przykłady: 1. Niektórzy wegetarianie lubią wszelkie warzywa, ale wszyscy wegetarianie nie cierpią glątw. Chyba glątwy nie są warzywami… 2. : x P(x)  Q(x)  R(x) y P(y)  S(y) H: z R(z)  S(z) Zazwyczaj istnieje kilka możliwości – potrzebna strategia postępowania. IW

16 C. Wnioskowanie rezolucyjne
b. Rezolucja w Prologu Dopuszczalne tylko klauzule Horna – zawierające najwyżej jeden literał pozytywny i odpowiadające najprostszej regule produkcji: p1   p2  …   pn  q czyli q  p1  p2  …  pn.. Typowe oznaczenia: - rachunek predykatów     Predykat(STAŁA, Funkcja(zmienna)) - Prolog :- , ; not predykat(stała, funkcja(Zmienna)) Trzy rodzaje klauzul: q :- p1, p2,…, pn reguła q fakt, asercja ? – p1, p2, …, pm pytanie, opis celu IW

17 C. Wnioskowanie rezolucyjne
Przykład abstrakcyjny: C: ?- Q. W: Q’ :- P1, P2. Q’’ :- R1, R2. P1 :- P P2 :- P4. R1’:- R3. F: P3. R2. R3. Strategie przeszukiwania: wszerz, w głąb. Ważna kolejność stwierdzeń: np. „Ile zarabia żona prezydenta?” ?- zarobki(X,Y), żona(Y,Z), prezydent(Z). czy ?- prezydent(Z), żona(Y,Z), zarobki(X,Y). IW

18 C. Wnioskowanie rezolucyjne
Przykład praktyczny: informacje o lotach W: połączenie(Start, Cel, Czas-odlotu, Czas-przylotu, Nr-lotu) :- rozkład-lotów(Start, Cel, Czas-odlotu, Czas-przylotu, Nr-lotu). F: rozkład-lotów(wwa, med, 09:20, 11:20, LO231). rozkład-lotów(wwa, med, 14:10, 16:10, AL121). rozkład-lotów(wwa, rom, 07:30, 10:40, LO218). „Jakie są połączenia Warszawy z Mediolanem?” ?- połączenia(wwa, med., Czo, Czp, Nrl). ?- rozkład-lotów(wwa, med, Czo, Czp, Nrl). Czo = 09:20, Czp = 11:20, Nrl = Lo231; Czo = 14:10, Czp = 16:10, Nrl = AL121; no; „Dokąd lecą samoloty z Warszawy?” ?- połączenie(wwa, Cel, -, -, -) Cel = med, Cel = rom, … Łatwe rozszerzenia: pora dnia, dzień tygodnia, trasy łączone itd. IW

19 C. Wnioskowanie rezolucyjne
Uwzględnienie pory dnia: połączenie(Start, Cel, Czas-odlotu, Czas-przylotu, Pora, Nr-lotu) :- rozkład-lotów(Start, Cel, Czas-odlotu, Czas-przylotu, Nr-lotu), pora-dnia(Czas-odlotu, Pora). pora-dnia(Czas-odlotu, rano) :- pora-dnia(G:M, rano), G < 10. pora-dnia(Czas-odlotu, środek dnia) :- ….. Trasy łączone: połączenie(Start, Cel, Czas-odlotu, Czas-przylotu, -) :- połączenie(Start, Przesiadka, …), połaczenie(Przesiadka, Cel, ….). IW

20 D. Proste oceny pewności
Typowy przypadek – różne oceny tych samych konkluzji: p1  p2  1q, p1  p3  2q, p1, p2, p3 q (  )  (  ) Agregacja ocen:  = f(1, 2). Wartości współczynników z przedziału: [0, 1], {1,2,…,10}, [0, 100] albo [-1, 1], { ,…,9, 10}, [-100, 100] „Zatrzask” – dominacja wartości ekstremalnych: f(min, x) = min, f(max, x) = max IW

21 D. Proste oceny pewności
Metody agregacji a. Wartość średnia  = (1 + 2)/2 np. „makler A poleca akcje Z”  „kup akcje Z” (1 = 60), „makler B poleca akcje Z”  „kup akcje Z” (2 = 90), „kup akcje Z” ( = 75). b. Iloczyn  = 1.2 np. „są kłopoty z gaźnikiem”  „warto kupić” (1 = 60), „są kłopoty z zapłonem”  „warto kupić” (2 = 90), „warto kupić” ( = 54). c. Suma unormowana  = 1 + 2 - 1.2 np. „stan jest dobry”  „warto kupić” (1 = 60), „cena jest przystępna”  „warto kupić” (2 = 90), „warto kupić” ( = 96). d. Suma (wartość przyrostowa)  = 1 + 2 lepiej niż a i silniej niż c uwzględnia liczbę ocen. IW

22 D. Proste oceny pewności
Przykłady 1. Wybór żony r1. „x jest ograniczona”  „wybierz x” r mądra  r genialna  r4. „x jest brzydka”  „wybierz x” r ładna  r6. „x gotuje źle”  „wybierz x” r dobrze  r wspaniale  = 1 9 7 2 8 5 10  „wybierz x” ( > 7)  (’ = 9) „oświadcz się pannie x” IW

23 D. Proste oceny pewności
2. Wybór samochodu r11. „cena jest istotna”  „fiat126p” (20), „polonez” (5), r12. „cena bez znaczenia”  „fiat126p” (-90), „polonez” (10), r21. „wielkość jest ważna”  „fiat126p” (0), „polonez” (25), r22. „wielkość jest bardzo ważna”  „fiat126p” (-20), „polonez” (35). r11, r21 – „a” – „fiat126p” (10), „polonez” (15), r11, r22 – „a” (0), (20), … IW

24 4. REGUŁOWE SYSTEMY EKSPERCKIE
A. Struktury i rodzaje systemów eksperckich System ekspercki to program komputerowy, wykonujący zadania o dużych wymaganiach intelektualnych tak dobrze jak człowiek – ekspert w określonej dziedzinie. Struktura podstawowa: INTERFEJS UŻYTKOWNIKA BAZA DANYCH KONTROLA POPRAWNOŚCI UŻYTKOWNIK GENERATOR WYJAŚNIEŃ MASZYNA WNIOSKUJĄCA OBLICZENIA STEROWANIE EDYTOR BAZA WIEDZY INŻ. WIEDZY INTERFEJS BD Proc. Sieć SN IW

25 A. Struktury i rodzaje systemów eksperckich
Struktura tablicowa ŹRÓDŁO WIEDZY 1 ŹRÓDŁO WIEDZY 2 TABLICA SZKOLNA ŹRÓDŁO WIEDZY k STEROWANIE Cechy SE: - operują na tekstach, liczbach, obrazach, - wyspecjalizowane, - elastyczne, - pytają, wyjaśniają, radzą, - mają „inteligencję”. IW

26 A. Struktury i rodzaje systemów eksperckich
Współpraca z otoczeniem: SE SE SE SE SE SE autonomiczny nadzorczy wbudowany rozproszony Środki do budowania SE: - języki popularne (C++, Java), - języki sztucznej inteligencji (Prolog, Lisp), - języki specjalizowane (OPS5, ART, KES), - systemy szkieletowe IW

27 B. Przykłady systemów szkieletowych
EXSYS Developer Podstawowe składniki reprezentacji: pytania, zmienne i wyrażenia, cele – reguły. Np. Q. Kwiat ma kształt – kieliszka - spodka V. Jaka jest średnica (w cm)? G. To jest tulipan. To jest konwalia. R. IF Kwiat ma kształt – kieliszka AND Średnica > 3 AND Średnica < 5 THEN To jest tulipan Conf = 10 Przy Średnica = 2 będzie To jest tulipan Conf = 6 To jest konwalia Conf = 5 IW

28 B. Przykłady systemów szkieletowych
Po IF: Q, Ex, Gconf, po THEN: G, Q, przypisania. Tryby ufności: T/F, podstawowe, Custom design, Fuzzy. Derivation mode: - badaj wszystkie, - stop po pierwszym wyniku, - badaj nienadmiarowe. Konfiguracje: BACKWARD - w kolejności nr celów, FORWARD - w kolejności nr reguł, FORWARD NOBACKWARD – uporządkowane reguły, FINALPASS - w przód, pozostałe reguły. Ponadto: Rozkazy, tablice, ramy, badanie poprawności, raporty, odwołania do baz danych itp.. IW

29 Wielkość nie jest ważna !
Projekt Projekt musi zawierać: - reguły (nie drzewa !), - co najmniej 2 poziomy, - zmienne [i wyrażenia arytm.], - jeden z podstawowych wsp. ufności. Wielkość nie jest ważna ! Raport (papier + dyskietka, w przezroczystej kopercie) musi zawierać: A. Opis problemu B. Uzasadnienie wyboru parametrów [C. Przykłady ciekawszych reguł] D. Wnioski IW

30 B. Przykłady systemów szkieletowych
PC-Shell Elementarne reprezentacje – agregaty: a(o)  liczba, a(o) = „nazwa”  zmienna, a = „nazwa”, (także – bez o) Np. facts (- moduły) obrót(nasza-firma) = zabezpieczenie(nasza-firma) = „bardzo dobre” not sytuacja kryzysowa end; Reguły: [nr:] wynik if war1, war2,… (także  i &) Np. rules decyzja = „przyznać kredyt” if (gwarancje = „dostateczne”  sytuacja = dobra) & zarobki > 3000; Wnioskowanie – wstecz, oceny pewności – brak. Dodatkowo: struktura tablicowa, współpraca z BD siecią neuronową. IW

31 B. Przykłady systemów szkieletowych
c. Jess Wykorzystuje listy, z nazwą lub symbolem predykatu na początku (jak Clips). Typowe definicje: Jess > (deffunction max(?a,?b) (if (> ?a ?b) then ?a else ?b)) Jess > (deffact (pracownik „Kowalski” mężczyzna 35)) albo Jess > (deffact (pracownik(nazwisko „Kowalski”)(wiek 35)(płeć M)) Jess > (defrule przykład 1 (pracownik (nazwisko ?x)(wiek ?y)) (and) (test (> ?y 30) => (printout t „Ale stary ten ?x!” crlf )) IW

32 C. Przykłady zastosowań SE
CLIPS (60) – statki kosmiczne (Apollo,…) DENDRAL (65) – spektrogram, struktura chemiczna substancji MACSYMA (68) – problemy matematyczne MYCIN (72) – infekcje bakteryjne PROSPECTOR (74) – geologia INTERNIST (75) – przypadków XCON (80) – konfiguracja komputerów VAX 1997: finanse, interesy produkcja, projektowanie 35 medycyna środowisko Lokalne: komisja dysc., choroby stóp, wybór środowiska,… (toksyk.) IW

33 5. TABLICE I DRZEWA DECYZYJNE
Tablice decyzyjne Pochodzenie np. baza danych upraw polowych właściciel gleba ziarno nawozy terminy klimat plon Pomijając atrybut „właściciel” i wybierając wiersze „plon” = „wysoki” można uzyskać ważne informacje o zależności atrybutu x od pozostałych. Tworzy to tablicę decyzyjną z atrybutami warunkowymi c i decyzyjnymi d: u c1 c2 … d1 d2 … i vi wi Każdy wiersz tablicy odpowiada regule (pesymistycznej): i. (c1=v1i)  (c2=v2i)  …  (d1=w1i)  (d2=w2i)  … IW

34 A. Tablice decyzyjne b. Wielowarstwowość
Rozważmy TD określającą warunki przyznawania kredytu: dochody (3 wart.) zabezp. (3) zadłuż. wiek płynność rentown. decyzja (5) Prosta transformacja na reguły daje 36=769 reguł o 6 warunkach. Lepiej zgrupować atrybuty pierwotne w sensowne atrybuty pośrednie, np. „gwarancje kredytowe”(3), „stopień ryzyka” (3), „sytuacja finansowa”(3): 3 3 3  32 = 27 reguł o 2 warunkach 33 = 27 reguł o 3 warunkach razem – 54 reguły 3 5 razem – 769 reguł 5 IW

35 A. Tablice decyzyjne c. Upraszczanie wyników
Zwykle zbiór reguł można uprościć. u c1 c2 c3 c4 d 1 2 3 4 5 6 7 8 0 x  A 0 x  B 0 y  C 0 y  A 1 x  A 1 x  B 1 y  B 1 y  C T N Tu – zamiast 8 reguł o 4 warunkach można wybrać 3 atrybuty, co daje 6 reguł o 2 warunkach: 1, (c2=x)  (c3=)  (d=T) 2,4 (c1=0)  (c3 =)  (d=N) itd., albo 3 reguły dla d=T i (d=T)  (d=N), albo 1 regułę złożoną i negację jw., albo 1 regułę decyzyjną z else. Wariant z 4-ma atrybutami: 1, j.w. 6,7 - (c1=1)  (c4=B)  (d=T) (d=T)  (d=N), IW

36 A. Tablice decyzyjne   Problem komplikują ciągłe wartości atrybutów:
Jedna z metod: 1. Założyć punkty separujące wartości ci: c1: x x x3 u c1 c2 c3 d 1 2 3 4 5      A B C c2: y y y3 2. Wyznaczyć warunki rozróżnialności ui i uj: (1,3) = x1  y1  y2  y3, (1,4) = x1  x2  y2  y3, itd. 3. Wyliczyć warianty separowalności: E = (1,3)  (1.4)  … = = (y2  x3)  (y2  y3  x2)  …  x1 x2 x3 y1 y2 y3 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,5 4,5              Założenie o reprezentowalności! IW

37 A. Tablice decyzyjne Dla x3 = 18 i y2 = 59 (środki przedziałów) ustala się nowe zmienne, np: c1 = 0 gdy c1  18 i c2 = 0 gdy c2  59 uzyskując nową tabelę, z której wynika, że (c1  18)  (c2 > 59)  (d = A) (c1  18)  (c2  59)  (d = B) (c1 > 18)  (c2 > 59)  (d = C) Atrybuty dyskretne mogą pomóc w separacji. Wykorzystywane tu relacje o postaci c  V to tzw. selektory. u c1 c2 d 1 2 3 4 5 0 1 0 0 1 1 A B C IW

38 A. Tablice decyzyjne d. Sprzeczności
U C D Może się zdarzyć, że jednakowym warunkom odpowiadają różne decyzje. Nierozróżnialność: IND(C*) = {(u, u’) cC* c(u) = c(u’)}, C*  C. Takie pary tworzą klasy równoważności [u]C*. Zbiór X  U (np. wierszy o identycznych decyzjach w) można aproksymować: [u] C* _ C* X - aproksymacja dolna - aproksymacja górna C* IW

39 A. Tablice decyzyjne C-brzeg zbioru X C-dokładność aproksymacji
c1 c2 c3 c4 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x  A 0 x  B 0 y  C 0 y  A 1 x  A 1 x  B 1 y  B 1 y  C 1 x  A T N C-brzeg zbioru X C-dokładność aproksymacji Zbiór przybliżony ma brzeg  . Zbiór dokładny ma  = 1. Tutaj XT = {1,5,6,7}, BC(XT) = {1,5,6,7,9} – {1,6,7} = {5,9}, C(XT) = 0,6. Prof. Zdzisław Pawlak IW

40 B. Drzewa decyzyjne Węzły to nazwy atrybutów, etykiety gałęzi to wartości (ew. z relacjami), Liście to nazwy i wartości atrybutów decyzyjnych: cx vx1 cy vy1 d = w1 vy2 cz itd vx2 cz vz1 d = w2 vz2 d = w1 cx Albo < vx > vx = vx cy < vy  vy Zalety: - szybkie przeszukiwanie, Wady: - sztywna struktura, - kontrola pełności, więcej elementów, - poglądowość duże trudno analizować. IW

41 B. Drzewa decyzyjne Na przykład: Więcej elementów.
u c1 c2 c3 c4 d 1 2 3 4 5 6 7 8 0 x  A 0 x  B 0 y  C 0 y  A 1 x  A 1 x  B 1 y  B 1 y  C T N 1 c2 c2 x y x y N T c3 c3     T N T N u c1 c2 c3 c4 d 1 2 3,4 5,6 7 8 0 x  0 x  0 y 1 x 1 y  1 y  T N Więcej elementów. Kolejność atrybutów może mieć wpływ na złożoność drzewa. Niekiedy liściom przypisuje się odpowiadającą im liczbę wierszy tablicy lub dokładność aproksymacji. IW