Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 6 Rachunek Zdań

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 6 Rachunek Zdań"— Zapis prezentacji:

1

2 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 6 Rachunek Zdań

3 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 2 Zdania Przedmiotem badań rachunku zdań są "zdania. Niezbyt precyzyjnie można powiedzieć, że są to zdania w języku naturalnym, którym można przypisać wartość prawdy lub fałszu. Przykłady (1) Dziś jest środa. (2) W naszej strefie klimatycznej są cztery pory roku. (3) Każdy miesiąc ma tyle samo dni. Jaka dziś pogoda? Mam ochotę wyjechać do ciepłych krajów. Sądzę, że będzie ładna pogoda. Oznaczeniew(a)=1, tzn a jest zdaniem prawdziwym w(a)=0, tzn. a jest zdaniem fałszywym To nie są zdania rachunku zdań

4 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 3 Zdania złożone Definicja Niech V będzie zbiorem zdań elementarnych (nazywać je będziemy zmiennymi zdaniowymi). Zbiór poprawnych wyrażeń (formuł) Rachunku Zdań jest to najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wyrażeń zawierający V i taki, że jeśli p i q są zdaniami, to wyrażenia p, (p q), (p q), (p q), (p q) są zdaniami. Przykłady ( p (p q)) ( (p q) (p q)) p (2+2=5 Warszawa jest stolicą Polski) Symbole,,,, nazywamy funktorami zdaniotwórczymi lub spójnikami logicznymi. ( (p q) q ) - nie jest formułą poprawną

5 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 4 Tablice logiczne p ,,, funktory 2 argumentowe funktor 1 argumentowy Zbiór {0,1} z operacjami,,, nazywamy dwuelementową algebrą Boolea.

6 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 5 Semantyka zdań złożonych Mając wartości zdań prostych i znając tablice logiczne dla funktorów można określić wartość logiczną zdań złożonych. w(a o b)= w(a) o w(b), w( a)= w(a), gdzie o oznacza dowolny dwuargumentowy funktor oraz a,b są dowolnymi zdaniami Funktory,,,, mają wspólną własność : wartość logiczna zdań utworzonych przy ich pomocy zależy jedynie od wartości logicznej zdań, z których powstało wyrażenie a nie od sensu tych zdań. Taką własność funktorów nazywamy ekstensjonalnością. Policzmy wartość formuły wiedząc, że w( )=1 w( )=0. w( )=w( ) w = 0 w 0 w w = 1

7 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 6 Przykład Wartość zdania : wszyscy na tej sali żywo interesują się logiką lub na tej sali wszyscy śpią zależy tylko od tego jaka jest wartość zdań: wszyscy na tej sali żywo interesują się logiką i na tej sali wszyscy śpią. Wartość logiczna zdania Myślę, że wszyscy na sali żywo interesują się logiką lub na tej sali wszyscy śpią zależy nie od zdań składowych ale od tego co ja o tym myślę. "Myślę, że, "Sądze, że " można uznać za operatory zdaniotwórczye ale nie mają one własności ekstensjonalności. Rachunek zdań nie zajmuje się takimi funktorami. Ile istnieje funktorów 1-argumentowych ekstensjonalnych? A ile 2 argumentowych?

8 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 7 Tautologie Definicja Formułę rachunku zdań, której wartością jest prawda, niezależnie od wartości zmiennych zdaniowych w niej występujących, nazywamy tautologią lub prawem rachunku zdań. Matryca logiczna (tablica wartości logicznych) tautologii ma kolumnę wartości wypełnioną tylko jedynkami. Definicja Formuła, której wartością jest fałsz, niezależnie od wartości zmiennych zdaniowych w niej występujących, nazywamy sprzeczną. Matryca logiczna formuły sprzecznej ma kolumnę wartości wypełnioną tylko zerami. Formuła rachunku zdań jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy jest zdaniem sprzecznym.

9 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 8 Przykłady prawo symplifikacji prawo wyłączonego środka prawo wyłączonej sprzeczności (4) prawo podwójnego przeczenia (5) prawo Dunsa Scotusa (6) prawo Claviusa (7) prawo Fregego Ad (3) Jeśli w( ) = 0, to w( w w w 0 w 0 1 Jeśli w( ) = 1, to w( w w w 1 w 1 0 Tablice logiczne

10 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 9 Przykłady Sprawdźmy, czy formuła ( ) ( ) jest prawem (prawo de Morgana)Rachunku Zdań. ( ) formuła Tak, to jest prawo RZ Metoda tu zaprezentowana nosi nazwę metody zero-jedynkowej. Polega ona na rozważeniu wszystkich możliwych przypadków wartości zdań składowych i policzeniu w każdym przypadku wartości formuły.

11 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 10 Obserwacja Jeżeli formuła zależna od zmiennych zdaniowych p 1,..., p n jest tautologią, to wstawiając na miejsce zmiennych dowolne zdania otrzymamy zdanie prawdziwe. Co więcej, jeśli na miejsce zmiennych wstawimy dowolne schematy zdań (dowolne formuły), to otrzymany schemat będzie również tautologią. Przykład Formuła ( ) ( ) jest tautologią. Zatem następujące zdania są prawdziwe: (1) x jest elementem A implikuje, że x jest elementem B wtedy i tylko wtedy, gdy x nie jest elementem B implikuje, że x nie jest elementem A. (2) (( ) ) ( ( ) )

12 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 11 Reguły wnioskowania Reguły dowodzenia (reguły wnioskowania) są to przekształcenia postaci n które pewnemu skończonemu zbiorowi schematów (formuł) 1,..., n, przyporządkowują schemat, w taki sposób, że przy dowolnie wybranych wartościach zmiennych występujących w schematach 1,..., n,, jeśli przesłanki są zdaniami prawdziwymi, to wniosek też jest zdaniem prawdziwym. przesłanki wniosek Czyli musi być spełniony warunek: Jeśli tylko w( 1, w( )=1 w( n )=1, to w( )=1. jest logiczną konsekwencją n

13 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 12 Przykłady reguł, Czy te reguły są poprawne?

14 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 13 Zastosowanie reguł Przykład Chcemy udowodnić, że formuła (( ) ) ( ( )) (tzw. Prawo eksportacji) jest prawem rachunku zdań. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. przypuśćmy, że są takie wartości zdań składowych, że w((( ) ) ( ( ))) = 0. Zatem musiałoby być (1) w((( ) ))=1 oraz (2) w( ( ))=0. Znów korzystamy z własności implikacji i z (2) mamy (3) w( )=1 oraz (4) w( )= 0. Z (4) wynika że w( )=1 oraz w( )= 0. Stąd na mocy (3) mamy w( )=1, a zatem w(( ) )=0 (wbrew (1)!). Korzystając z powyższej reguły wnioskujemy, że w((( ) ) ( ( )))=1. To jest poprawna reguła dowodzenia Dowody tego typu nazywamy dowodami apagogicznymi

15 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 14 Dowody nie wprost Przykład Jeżeli funkcja g : Y X jest funkcją odwrotną do funkcji f: X Y, to g jest różnowartościowa. Gdyby g nie była funkcją różnowartościową zatem musiałyby istnieć w Y elementy y1 y2 takie, że g(y1)=g(y2). Wówczas mamy (*) f (g(y1))=f(g(y2)). Ponieważ g jest funkcją odwrotną do f, zatem Y=f(X) czyli y1, y2 f(X) Stąd istnieją takie elementy x1,x2 X, że f(x1)=y1 oraz f(x2)=y2. Wstawiając do równości (*) otrzymujemy f(g(f(x1)) ) = f(g(f(x2)) ). Stąd i z definicji funkcji odwrotnej mamy f(x1)=f(x2), a zatem y1=y2. Sprzeczność. Zatem, jeśli tylko y1 y2, to g(y1) g(y2). Czyli funkcja g też jest funkcją różnowatościową c.b.d.o. Przypominam, że funkcję g: Y X nazywamy odwrotną do f : X Y jeśli Y=f(X) i X=g(Y) oraz g(f(x))=x dla wszystkich x X

16 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 15 Sprowadzanie do sprzeczności Przykład Udowodnimy, że 2 jest liczbą niewymierną. Chcemy pokazać, że jeśli x jest liczbą rzeczywistą taką, że x 2 =2, to x jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy przeciwnie, że (1) x 2 =2 oraz (2) x jest liczbą wymierną. Na mocy (2) x= n/m dla pewnych liczb całkowitych n,m i m 0. Możemy założyć, że n i m nie mają wspólnych dzielników. Mamy n 2 /m 2 = 2, czyli n 2 = 2m 2. Wynika stąd, że n 2 jest liczbą parzystą. W konsekwencji n też musi być liczbą parzystą (bo gdyby n było nieparzyste, np. n=2k+1, n 2 = 4k 2 + 4k+1 byłoby też liczbą nieparzystą). Niech n = 2k. Wtedy mamy n 2 = 4k 2 = 2m 2. Stąd 2k 2 =m 2, tzn. m też jest liczbą parzystą. Sprzeczność z założeniem, że n i m nie mają wspólnych dzielników. Zatem 2 jest liczbą niewymierną. c.b.d.o.

17 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 16 Własności Twierdzenie 1 Jeśli wszystkie przesłanki reguły wnioskowania są tautologiami, to wniosek w tej regule też jest tautologią. Twierdzenie 2 Niech 1,..., n, będą formułami rachunku zdań. Formuła ( 1... n ) jest tautologią, wtedy i tylko wtedy, gdy 1, 2,..., n jest poprawną regułą wnioskowania. Reguły wnioskowania pozwalają na wydedukowanie z już istniejących nowych tautologii Tautologie są źródłem nowych reguł wnioskowania

18 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 17 Logika a informatyka while (p (p q)) do x := x+1 od Jaka jest wartość x po wykonaniu tej pętli? If a then I1 else if b then I2 else I3 fi fi Załóżmy, że (a b) jest prawdą ilekroć wykonujemy powyższą instrukcję warunkową. Czy instrukcja I3 będzie kiedykolwiek wykonana?

19 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 18 Pojęcie dowodu Ciąg formuł 1,..., n nazywamy formalnym dowodem formuły wtedy i tylko wtedy, gdy każda z formuł i jest albo aksjomatem albo została już wcześniej udowodniona albo jest wnioskiem w pewnej regule dowodzenia, w której przesłankami są formuły występujące wcześniej niż i w tym ciągu. Np. tautologie (1,5,6,7) Np.: reguła modus ponens

20 7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 19 Przykład dowodu formalnego Następujący ciąg formuł jest dowodem formalnym formuły (A A). (1) (A ((A A) A)) (2) (A (A A)) (3) ((A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A))) (4) ((A (A A)) (A A)) (5) (A A) tautologia postaci (a (b a)) (prawo symplifikacji) Prawo symplifikacji prawo Fregego ((a (b c)) ((a b) (a c))) z (1) i (3) i reguły m.p. z (4) i (2) i reguły m.p.


Pobierz ppt "7 listopada 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 6 Rachunek Zdań"

Podobne prezentacje


Reklamy Google