Równanie Schrödingera

Prezentacja na temat: "Równanie Schrödingera"— Zapis prezentacji:

1 Równanie Schrödingera
gdzie danymi są h stała uniwersalna Plancka m masa cząstki V(r) jej energia potencjalna i wynikiem obliczeń jest {α, ω(α), ψα(r)}, zbiór rozwiązań indeksowanych przez α (tzw. liczba kwantowa wskazująca stan α) dla energii ω i funkcji falowej ψ

2 Przykład: pręt Dla V(r)=0, jednowymiarowej linii, równanie Schrödingera redukuje się do postaci Oznaczając otrzymujemy rozwiązanie w Postaci dla 0<x<L oraz ψ=0, dla x spoza przedziału (0,L), czyli poza prętem Wciąż nie znamy stałych A, B, i energii ω (czyli q2), ALE ==> nie wykorzystaliśmy jeszcze warunków nałożonych na ψ, i to jest to!

3 Przykład: pręt Warunek: ψ(x) jest ciągła dla x=0 i dla x=L. (Na zewnątrz pręta ψ =0 dla dowolnego x.) Zatem dla x=0: ψ(0+)=B, stąd B=0 i teraz ψ =A sin(qx) dla x=L: ψ(L-)=A sin(qL) też musi być zerem, i stąd qL=nπ, n=liczba całkowita, czyli ~ n2/L2 Energia jest skwantowana! Po podstawieniu otrzymanego wyniku do wzoru na ψ =A sin(qx) mamy ψ=A sin(nπx/L). Stałą A wyznaczamy z warunku normalizacji

4 Tabele energii, w K. Pamiętaj, temperatura pokojowa T=300K.
Przykład: pręt Podsumowując: gdzie n=1,2,3... (pomijamy wartości ujemne i zero: dlaczego?) Tabele energii, w K. Pamiętaj, temperatura pokojowa T=300K. n= Dla L=1cm: ω(n) = (0,44 1,76 3,96 7,04 11, ) ·10-10  CM Dla L=10A: ω(n) = (0,44 1,76 3,96 7,04 11, ) ·10+4  QM n= Dla L=1μm: ω(n)= (0, , ,96 7, ) ·10-2 (T=300K) p(n)= 0, , , suma=1 (T=1K) p(n)= 0,9986 0, , suma=1

5 Przykład: pręt Po co jest funkcja falowa
Δp=prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie n w dowolnie wybranym obszarze to całka z ψ ψ* po tym obszarze. Zatem dla pręta (0,L) podzielonego na trzy równe odcinki mamy: lewy + środkowy + prawy Δp = 1/ / /3 mechanika klasyczna Δp = r (1-2r) r mechanika kwantowa oraz chcemy znaleźć r,

6 Przykład: pręt Δp = r + (1-2r) + r Δp = 0,195 + 0,610 + 0,195 dla n=1
Δp = 1/ / /3 dla n=duże Uwaga: limit wysokich temperatur czyli dużych energii i u nas dużych n (ω ~ n2) to jak zawsze limit klasyczny, Δp = 1/3+1/3+1/3

7 Przewodnictwo σ(T) i ~ U  i = (1/R)U R ~ L/S  R = (σ)L/S
σ=0  izolator σ>0  półprzewodnik σ>>0  przewodnik, metal σ(T) ~ 1/T pomiary dla metali = teoria kwantowa σ(T) ~ exp(-1/T) dla półprzewodników = teoria kwantowa gdzie N(T), τ(T), np. dla Si: me = 0,31m, mh = 0,38m,

8 Przewodnictwo σ(T) ...dla metali: N=Ne, Nh = 0
N(T) ~ const, τ ~ 1/T,  σ ~ 1/T ...dla półprzewodników naturalnych (Si, Ge), Ne = Nh N(T) ~ T3/2 exp(-Eg/2T), τ ~ T-3/2, σ ~ exp(-Eg/2T) T=0,023eV np. german Ge: Eg=0,67eV, Eg/T=29, exp=3·10–7 krzem Si: Eg=1,1eV, diament C: Eg=6,0 eV, (izolator) np. Si: 00C100C powoduje σ2,3σ

9 Półprzewodniki typu n Półprzewodniki domieszkowane: 32Ge  Ge + 15P
32Ge=4s2p2, 15P=3s2p3 fosfor P to 1 dodatkowy (donor) elektron o energii ED Eg(Ge)=0,67eV, donor ED=0,66eV EF=Eg/2+0,75T·ln(mh/me) EF=ED,  Eg  Eg-ED, niech N(P)=0,001N(Ge) Ne=Nh=3·10–7·4N(Ge) Ne=N(P)=0,001N(Ge), Nh=0 σ~exp(Eg-EF)/T=exp(Eg/2T) σ~exp(Eg-EF)/T=exp(Eg- ED)/T σ~exp(Eg/2T)=0, σ~exp(Eg- ED)/T=0,65 (Ohm) i(U)~U dla metali zastąpić przez i(U)~(exp(eU/T) – 1)

10 Dioda: łącze n-p gęstość ładunku ρ(x) (=0 przed połączeniem!) n p
wolne (-) wolne (+) ustalone(+) ustalone(-) ρ(x) x (+) (-) F to kondensator: F=0 q• F=0

11 Dioda: łącze n-p n p (+) (-) + - to kondensator: F=0 q• F=0 n p n p
(+) (-) to kondensator: F=0 q• F=0 n p n p  i > 0   i = 0 

12 Tranzystor npn E B C  emitor baza kolektor n p n
V(x)=energia potencjalna dla ładunku q>0, jak dziury, (+) E C UBE UCB wnioski: iC = iE = f(UBE)