Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Problem: QM ω(α) E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=? Zajmiemy się tylko elektronami: fermiony, N=const gdzie termodynamika mech. kwantowa f(ω)=funkcja rozkładu ρ(ω)=funkcja.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Problem: QM ω(α) E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=? Zajmiemy się tylko elektronami: fermiony, N=const gdzie termodynamika mech. kwantowa f(ω)=funkcja rozkładu ρ(ω)=funkcja."— Zapis prezentacji:

1 Problem: QM ω(α) E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=? Zajmiemy się tylko elektronami: fermiony, N=const gdzie termodynamika mech. kwantowa f(ω)=funkcja rozkładu ρ(ω)=funkcja gęstości stanów (tutaj: T=0) 1ω E f

2 Funkcja gęstości stanów ρ(ω)=Δg/Δω: V(r) QM ρ(ω) opis wg QM (α) (i) opis uproszczony α = i = i ω i Δg i ρ(ω) ωω 2 5=ω 2 5=Δg 2 2,5 Δω1 3=ω 1 9=Δg 1 4,5 0 1=ω 0 4=Δg 0 2,0 0

3 Funkcja rozkładu f(ω,T,E f )=Δn/Δg: T termodynamika f(ω,T,E f ) dla fermionów: obowiązuje zakaz Pauliego, 0

4 Problem: QM ω(α) E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=? Dla zadanej liczby elektronów N, i po ustaleniu energii Fermiego E F, można wyliczyć energię wszystkich elektronów Np. dla T=0 mamy E F =1 dla ω E F. Ponadto w pobliżu dna pasma (ω=0, małe N) QM daje w przybliżeniu ρ(ω)=Aω 2 dla standardowej próbki 3D. Wówczas a stąd spodziewana średnia energia pojedynczego elektronu 0

5 Strefy Brillouina Koncepcja stref Brillouina wynika bezpośrednio z faktu, że periodyczność V(r), charakterystyczna dla kryształu, przewiduje rozwiązania dla energii ω w postaci ω(k x,k y,k z ) jako funkcji periodycznej wektora falowego (k x,k y,k z ), np. ω(k x +2π/a x,k y,k z ) = ω(k x,k y,k z ), w kierunku k x ; podobnie w pozostałych kierunkach k y i k z. Dlatego można ograniczyć zależność ω(k x,k y,k z ) do jednego periodu; zazwyczaj jest to przedział od (-π/a) do (π/a), czyli do tzw. (pierwszej) strefy Brillouina.k y +π/a y x = punktyx x równoważne (o tej samej-π/a x +π/a x k x energii ω) -π/a y x

6 Strefy Brillouina i kwantyzacja, ciecz Fermiego Można udowodnić, że (k x,k y,k z ) mogą przyjmować tylko dyskretne wartości, a stąd energie ω są również dyskretne. gdzie N x jest liczbą atomów wzdłuż osi x-ów kryształu. Ten zakres zmienności n x odpowiada zakresowi k x od (-π/a x ) do (π/a x ). Całkowita liczba dozwolonych energii wynosi liczbie atomów N a = N x ·N y ·N z, czego należało oczekiwać. Np. dla danej liczby elektronów N=0,1·N a mamyk y +π/a y -π/a x +π/a x k x -π/a y

7 Powierzchnia Fermiego dla T=0 Szczegółowy opis energii ω w paśmie kryształu 0<ω

8 Powierzchnia Fermiego dla T>0 Ogólna koncepcja przypadku T>0 polega na uwzględnieniu faktu, że zasada minimum energii ω(α) jako kryterium obsadzenia stanu α, n(α)=1, dla T=0 musi być zastąpiona prawdopodobieństwem p obsadzenia tego stanu. Ponieważ funkcja rozkładu zdefiniowana przez f(ω,T,E f )=Δn/Δg jest właśnie prawdopodobieństwem p, to algorytm brzmi: dla każdego stanu α licz ω(α) f=1/[exp(ω-E f )/T + 1] obsadź stan n(α)=1 z prawdopodobieństwem f, else n(α)=0 Praktycznie f=1 dla ω E f, i jedynie dla ω w pobliżu energii Fermiego E f, ściślej dla E f -T < ω < E f +T, mamy obszar przejściowy, czyli rozmycie granicy między stanami zajętymi i pustymi. (Jest to też argument na rzecz użyteczności pojęcia energii Fermiego – tylko elektrony bliskie E f mogą być mobilne, elektrony o mniejszych energiach są zamrożone z powodu zakazu Pauliego.)

9 Gęstości stanów ρ(ω)=Δg/Δω dla próbek o innych wymiarach D Zazwyczaj krzyształ jest identyfikowany jako 3-wymiarowa próbka D=3. Mamy też próbki o niższym wymiarze, np. D=2 (cienkie warstwy), D=1 (białka DNA, wiskersy, polimery). Pokażemy, jak w granicy N << N a (jak półprzewodniki) funkcja ρ(ω) jest modyfikowana przez wymiar D: Podstawą tego wyniku jest założenie ω ~ k 2 słuszne dla N << N a, oraz warunki kwantyzacji wektora falowego (k x,k y,k z ) który wyznacza jednorodny rozkład dozwolonych stanów w przestrzeni wektora falowego.

10 Energia E(0)/N dla próbek o innych wymiarach D dla w granicy N<

11 Model silnego wiązania dla innych struktur krystalograficznych Model TBM pozwala obliczyć analityczne relacje ω(k x,k y,k z ) dla kilku typowych struktur krystalograficznych dla t x =t y =t z, co odpowiada strukturom regularnym a x =a x =a z. SC = Simple Cubic, struktura regularna BCC = Body Centered Cubic, struktura regularna przestrzennie centrowana FCC = Face Centered Cubic, struktura regularna powierzchniowo centrowana

12 Model silnego wiązania dla innych struktur krystalograficznych We wszystkich SC, BCC i FCC strukturach Z oznacza tzw liczbę koordynacyjną, czyli liczbę najbliższych sąsiadów Z= 6, 8, 12 odpowiednio. Parametr t ~ a –5 dla stałej sieciowej a wynosi zero dla fazy gazowej (gdy a zmierza do nieskończoności, atomy, jedna energia zamiast pasma o szerokości W). Wzory analityczne przewidują W=2Zt dla wszystkich struktur oraz w granicy N << N a przybliżoną energię ω=t(ka) 2. Wykładnik (-5) wynika z ogólniejszej zależności t(a) dla pasma typu określonego przez orbitalną liczbę kwantową: dla l = 0,1,2,3,... czyli s,p,d,f,... mamy t ~ a –(g/2) = a –(2l+1).


Pobierz ppt "Problem: QM ω(α) E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=? Zajmiemy się tylko elektronami: fermiony, N=const gdzie termodynamika mech. kwantowa f(ω)=funkcja rozkładu ρ(ω)=funkcja."

Podobne prezentacje


Reklamy Google