Literatura Dr Agnieszka Systemy masowej obsługi 7 Koronacki J.,.

Prezentacja na temat: "Literatura Dr Agnieszka Systemy masowej obsługi 7 Koronacki J.,."— Zapis prezentacji:

1 Literatura Dr Agnieszka Systemy masowej obsługi 7 Koronacki J.,.
Larose D. T. Metody i modele eksploracji danych. PWN, Warszawa, 2008. M. Sobczyk: „Statystyka”, PWN, Warszawa 2000 r. A. Zeliaś: „Metody statystyczne”, PWN, Warszawa 2000 r. Dr Agnieszka Systemy masowej obsługi 7 dr Agnieszka Kowalska – Styczeń

2 Systemy masowej obsługi
Teoria kolejek bada procesy powstawania kolejek, które wiążą się z oczekiwaniem na obsługę. System masowej obsługi można przedstawić schematycznie:

3 Systemy masowej obsługi
Czas przebywania zgłoszenia w systemie obsługi składa się z dwóch części: 1. czasu oczekiwania na obsługę, 2. czasu obsługi. .

4 Systemy masowej obsługi
Najczęściej zjawiska opisywane w systemie masowej obsługi mają charakter losowy. Chcąc opisać system masowej obsługi należy podać: wymiarowość źródła zgłoszeń, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X opisującej odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami, liczbę stanowisk obsługi oraz ich organizację (równoległe, szeregowe, mieszane), sposób pracy (stanowiska pracujące zależnie i niezależnie) regulamin kolejki (FIFO - pierwszy wszedł, pierwszy obsłużony; LIFO- ostatni wszedł, pierwszy obsłużony; kolejki z priorytetami, brak kolejki), rozkłady prawdopodobieństw zmiennych losowych Yi opisujących czasy obsługi w każdym z i = 1, 2, ... n stanowisk obsługi, wielkość poczekalni. Typy rozkładów oraz ich parametry ustala się na podstawie badań statystycznych drogą weryfikacji hipotez statystycznych

5 Analiza podstawowych stacjonarnych systemów masowej obsługi.
Stacjonarnym systemem masowej obsługi nazywać będziemy system, którego parametry nie ulegają zmianie wraz z upływem czasu. Oznaczenia: po - prawdopodobieństwo, że w systemie nie przebywa żadne zgłoszenie (ani w obsłudze, ani w kolejce), pi - prawdopodobieństwo, że w systemie przebywa i zgłoszeń (w obsłudze i w kolejce), pz - prawdopodobieństwo, że zgłoszenie opuści system bez obsługi, K - średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce, - wariancja zmiennej losowej x, E(X) - wartość oczekiwana zmiennej losowej x, S średnia liczba zgłoszeń przebywających w systemie,

6 Analiza podstawowych stacjonarnych systemów masowej obsługi.
Oznaczenia cd.: WA - średnia liczba wolnych aparatów obsługi, Tk - średni czas oczekiwania zgłoszenia na obsługę (oczekiwania w kolejce), Ts - średni czas przebywania zgłoszenia w systemie masowej obsługi,  - średnia liczba jednostek zgłaszających się do systemu w jednostce czasu, j - średnia liczba jednostek obsługiwanych w jednostce czasu przez j-te stanowisko obsługi, e - efektywna średnia liczba jednostek zgłaszających się do systemu (jednostek, które nie opuszczą systemu przed obsługą)

7 Analiza podstawowych stacjonarnych systemów masowej obsługi.
Mając prawdopodobieństwa po oraz pn można policzyć przy dyscyplinie kolejki FIFO dla n - identycznych równoległych kanałów obsługi:

8 1. System masowej obsługi z:
jednym stanowiskiem obsługi. wykładniczym rozkładem odstępów czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami ze średnią wykładniczym czasem obsługi ze średnią nieograniczoną poczekalnią (kolejką), regulaminem FIFO kolejki. nieskończenie wymiarowym źródłem zgłoszeń

9 1. System masowej obsługi
Dla powyższego systemu: Jeśli wielkość kolejki rośnie do nieskończoności wraz z upływem czasu i nie da się obliczyć prawdopodobieństw pk,, k = 0, 1, 2, ... (żadne zgłoszenie nie opuszcza systemu przed obsługą.)

10 Przykład 1 Obliczyć jaki powinien być średni czas obsługi samochodu na stacji benzynowej z jednym dystrybutorem jeśli: w ciągu 1 minuty przybywają średnio dwa samochody, przed stacją może ustawić się kolejka dowolnej długości, odstępy pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami oraz czas obsługi mają rozkład wykładniczy, średni czas oczekiwania na obsługę nie powinien przekroczyć 5 min.

11 Przykład 1- rozwiązanie
 = 2 samochody na minutę,  = x samochodów na minutę, gdzie średni czas obsługi samochodu w minutach. Ponieważ Tk < 5 , zatem stąd Odpowiedź: Średni czas obsługi samochodu powinien być mniejszy o 0.46 minuty.

12 2. System masowej obsługi z:
jednym stanowiskiem obsługi, wykładniczym rozkładem odstępów czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami ze średnią wykładniczym rozkładem czasu obsługi, ze średnią poczekalnią, która może pomieścić tylko m jednostek (m = 0, 1, ...), zgłoszenie, które przybywa i nie mieści się już w poczekalni opuszcza system bez obsługi, regulamin FIFO kolejki, nieskończenie wymiarowym źródłem zgłoszeń

13 2. System masowej obsługi
Dla powyższego systemu:

14 2. System masowej obsługi
Prawdopodobieństwo, że klient opuści system nieobsłużony wynosi: pz = pm+1  Zatem prawdopodobieństwo, ze nadchodzące zgłoszenie będzie obsłużone wynosi: pobsł = 1 - pz = 1 - pm+1 Stąd Można więc policzyć kolejno:

15 Przykład 2 Obliczyć średni czas oczekiwania na obsługę klienta stojącego w kolejce do stacji benzynowej o jednym dystrybutorze jeśli: w ciągu minuty przybywają średnio 2 samochody; w ciągu minuty obsługiwany jest średnio jeden samochód; odstępy czasów pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami samochodów na stację mają rozkład wykładniczy; czas obsługi samochodu ma rozkład wykładniczy; przed stacją mogą oczekiwać tylko 2 samochody; regulamin kolejki FIFO.

16 Przykład 2- rozwiązanie
minuty Dane: l = 2 samochody na minutę, m = 1 samochód na minutę. TK = ? [samochodu/min] Odpowiedź: Średni czas oczekiwania pojazdu, który nie zrezygnował z obsługi z powodu braku miejsca na podjeździe wynosi minuty

17 3. System masowej obsługi z:
n jednakowymi, równoległymi, pracującymi niezależnie stanowiskami obsługi, wykładniczym rozkładem odstępów, czasów pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami ze średnią , wykładniczym rozkładem czasu obsługi (w każdym stanowisku obsługi), ze średnią dla każdego stanowiska, nieograniczoną poczekalnią, nieskończenie wymiarowym źródłem zgłoszeń, regulaminem FIFO kolejki.

18 3. System masowej obsługi
Ponieważ wszystkie stanowiska obsługi są jednakowe przyjmujemy: j =  j=1, 2, ..., n Wtedy: Ponieważ e = 

19 Przykład 3 Stacja benzynowa ma dwa równoległe, identyczne stanowiska obsługi oraz: w ciągu minuty przybywają średnio 3 samochody, w ciągu minuty każde stanowisko obsługuje średnio 2 samochody, odstępy czasów pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami samochodów na stację mają rozkład wykładniczy, czas obsługi samochodu na każdym stanowisku obsługi ma rozkład wykładniczy, przed stacją może oczekiwać dowolna liczba samochodów, regulamin kolejki FIFO. Jaki będzie średni czas oczekiwania na obsługę w tej stacji benzynowej? Jaka jest średnia liczba wolnych stanowisk obsługi?

20 Przykład 3- rozwiązanie
Jeśli n = 2,  = 3,  = 2, stąd  = Więc i możemy obliczyć: Odpowiedź: Średni czas oczekiwania na obsługę wynosi 0.64 minuty, natomiast średnia liczba wolnych stanowisk obsługi jest równa 0.39.

21 4. System masowej obsługi z:
n jednakowymi, równoległymi, pracującymi niezależnie stanowiskami obsługi, wykładniczym rozkładem odstępów czasów pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami, ze średnią , wykładniczym rozkładem czasu obsługi ( w każdym stanowisku obsługi), ze średnią dla każdego stanowiska, ograniczoną poczekalnią (kolejką) do m jednostek, regulaminem FIFO kolejki, nieskończenie wymiarowym źródłem zgłoszeń. n + m +1 POCZEKALNIA Zgłoszenie opuszcza system bez obsługi n + m n n+1 1 2 n

22 4. System masowej obsługi
Ponieważ wszystkie stanowiska obsługi są jednakowe przyjmujemy: j =  j=1, 2, ..., n Wtedy: gdzie:

23 4. System masowej obsługi
Obliczamy prawdopodobieństwo, że zgłoszenie nie zostanie obsłużone (opuści system bez obsługi): pz = pm+n. zatem prawdopodobieństwo, że zgłoszenie zostanie obsłużone pobsł = 1-pm+n Możemy więc obliczyć:

24 Przykład 4 Stacja benzynowa ma dwa równoległe, identyczne stanowiska obsługi oraz: w ciągu minuty przybywają na stację średnio 3 samochody, w ciągu minuty każde stanowisko obsługuje średnio 2 samochody, odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami samochodów na stację mają rozkład wykładniczy, czas obsługi samochodu na każdym ze stanowisk ma rozkład wykładniczy, przed stacją jest podjazd na 3 samochody (kolejka ograniczona do 3 samochodów), regulamin kolejki FIFO. Jaki będzie średni czas oczekiwania samochodu na obsługę? Jaka jest średnia liczba wolnych stanowisk obsługi?

25 Przykład 4- rozwiązanie
 = 3, 1 = 2 =  = 2, n = 2, m = 3, Obliczmy prawdopodobieństwo, że w systemie nie ma żadnych zgłoszeń oraz prawdopodobieństwo, że zgłoszenie nie zostanie obsłużone (opuści system bez obsługi): pz = pm+n = p P5 = Zatem prawdopodobieństwo, że przyjeżdżający samochód zostanie obsłużony wynosi: pobsł = = 0.95.

26 Przykład 4- rozwiązanie
Obliczmy średnią długość kolejki przed stacją. samochodów Mamy więc: Odpowiedź: Każdy z samochodów, który będzie obsłużony oczekuje w kolejce średnio 0.24 minuty, natomiast średnia liczba wolnych stanowisk obsługi jest równa 0.67.

27 5. System masowej obsługi z:
jednakowymi, równoległymi, pracującymi niezależnie stanowiskami obsługi, wykładniczym rozkładem odstępów czasów pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami, ze średnią wykładniczym rozkładem czasu obsługi ( w każdym stanowisku obsługi ), ze średnią dla każdego stanowiska, brakiem poczekalni (zakaz tworzenia kolejki), regulaminem FIFO kolejki, nieskończenie wymiarowym źródłem zgłoszeń. 1 2 n Zgłoszenie opuszcza system, gdy wszystkie stanowiska obsługi są zajęte.

28 5. System masowej obsługi
Ponieważ wszystkie stanowiska obsługi są jednakowe przyjmujemy: j =  j=1, 2, ..., n Wtedy: Można wtedy obliczyć średnią liczbę zgłoszeń przebywających w systemie ( średnią liczbę zajętych aparatów obsługi)

29 5. System masowej obsługi
średni czas przebywania zgłoszenia w systemie: Obliczmy prawdopodobieństwo pz, że zgłoszenie nie zostanie obsłużone: pz = pn zatem: prawdopodobieństwo, że zgłoszenie zostanie obsłużone.

30 Przykład 5 W punkcie usługowym pracuje trzech rzemieślników. Jeśli klient wstępuje do punktu, gdy wszyscy rzemieślnicy są zajęci (obsługują wcześniej przybyłych klientów) wychodzi nie czekając na obsługę. Średnio w ciągu godziny przybywa 24 klientów, a każdy z rzemieślników obsługuje jednego klienta średnio 5 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wchodząc do tego punktu zostaniesz obsłużony, oraz jak obciążeni są pracą rzemieślnicy, zakładając, że: odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami klientów do punktu mają rozkład wykładniczy; czas obsługi klienta przez każdego z rzemieślników ma rozkład wykładniczy.

31 Przykład 5- rozwiązanie
Stąd każdy rzemieślnik będzie zajęty średnio w ciągu każdej godziny pracy. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wstępując do punktu rzemieślniczego zostaniesz obsłużony wynosi 0.8, natomiast każdy z rzemieślników jest średnio zajęty przez 53% czasu pracy. .

32 6. System masowej obsługi z:
nieograniczoną liczbą jednakowych stanowisk obsługi, wykładniczym rozkładem odstępów czasów pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami, ze średnią wykładniczym rozkładem czasu obsługi ( w każdym stanowisku obsługi ), ze średnią dla każdego stanowiska regulaminem FIFO kolejki, nieskończenie wymiarowym źródłem zgłoszeń System ten jest używany w analizie systemów, dla których liczba stanowisk jest dużo większa od średniej liczby zgłoszeń znajdujących się w systemie. Takim systemem jest na przykład centrala telefoniczna.

33 6. System masowej obsługi
System ten jest używany w analizie systemów, dla których liczba stanowisk jest dużo większa od średniej liczby zgłoszeń znajdujących się w systemie. Takim systemem jest na przykład centrala telefoniczna. Dla powyższego systemu: gdzie Średnia liczba zgłoszeń w systemie (średnia liczba zajętych stanowisk obsługi ) wynosi:

34 Przykład 6 W przedsiębiorstwie transportowym, dysponującym wieloma samochodami, średnio w ciągu miesiąca 120 pojazdów wymaga remontu, na skutek losowych uszkodzeń. Remont samochodu rozpoczyna się natychmiast po zgłoszeniu uszkodzenia. Średni czas remontu jednego samochodu wynosi 2 dni. Stwierdzono, ze czas obsługi oraz odstępy pomiędzy zgłoszeniami zepsutych samochodów mają rozkład wykładniczy. Obliczyć: średnią liczbę samochodów wymagających remontu, prawdopodobieństwo tego, że żaden samochód nie wymaga remontu, prawdopodobieństwo, że więcej niż 15 samochodów wymaga remontu.

35 Przykład 6- rozwiązanie
Ponieważ remont samochodu rozpoczyna się zaraz po stwierdzeniu uszkodzenia, możemy założyć, że stanowisk obsługi jest dużo więcej niż uszkodzonych samochodów. Dlatego do analizy tego systemu użyjemy systemu z nieograniczoną liczbą stanowisk obsługi. Mamy: l = 120 pojazdów na miesiąc, m = pojazdu na dzień. Przyjmijmy, że miesiąc ma 30 dni, stąd: pojazdów na dzień. Niech x będzie zmienną losową oznaczającą liczbę zepsutych samochodów Odpowiedź: średnio remontuje się 8 samochodów, prawdopodobieństwo, że żaden samochód nie wymaga remontu jest równe , prawdopodobieństwo, że więcej niż 15 samochodów wymaga remontu jest równe Z obliczeń wynika, że praktycznie nie ulega awariom więcej niż 15 samochodów równocześnie.

36 7. System masowej obsługi z:
ograniczoną liczbą zgłoszeń (skończoną wymiarowością źródła zgłoszeń) do r jednostek(obiektów), n jednakowymi stanowiskami obsługi, pracującymi niezależnie, wykładniczym rozkładem odstępów czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami jednego obiektu ,  wykładniczym rozkładem czasu obsługi (w każdym stanowisku obsługi ), ze średnią dla każdego stanowiska, regulaminem FIFO kolejki.

37 7. System masowej obsługi
Oznaczmy przez t - średni czas, po którym każdy z obiektów zgłasza się do obsługi. Zatem oznacza liczbę zgłoszeń do obsługi każdego obiektu w jednostce czasu. Zauważmy, ze w tym systemie, źródło zgłoszeń może generować nowe zgłoszenia tylko wtedy, gdy w systemie obsługi znajduje się mniej niż r- zgłoszeń (w kolejce i w obsłudze). Podsystem ten składa się z r obiektów wymagających obsługi i n stanowisk obsługujących te obiekty. Możemy więc policzyć: gdzie

38 7. System masowej obsługi
Mamy także:

39 Przykład 7 Trzech mechaników obsługuje 30 obrabiarek. Podczas normalnej pracy obrabiarka nie wymaga interwencji mechanika. Średnio każda z obrabiarek zatrzymuje się co 7 godzin. Obsługa obrabiarki zajmuje mechanikowi średnio 30 minut. Odstępy czasów pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami obrabiarki oraz czas jej obsługi mają rozkład wykładniczy (bez względu na to, który z mechaników usuwa awarię). Obliczyć średnią liczbę nie pracujących obrabiarek, oraz średni czas oczekiwania obrabiarki na obsługę.

40 Przykład 7- rozwiązanie
Odpowiedź: Średnia liczba nie pracujących obrabiarek wynosi 2.32, a średni czas oczekiwania na naprawę wynosi h.

41 Literatura Dr Agnieszka Programowanie wielokryterialne Koronacki J.,.
Larose D. T. Metody i modele eksploracji danych. PWN, Warszawa, 2008. M. Sobczyk: „Statystyka”, PWN, Warszawa 2000 r. A. Zeliaś: „Metody statystyczne”, PWN, Warszawa 2000 r. Dr Agnieszka Programowanie wielokryterialne dr Agnieszka Kowalska – Styczeń

42 Wprowadzenie Często decydenta interesuje jednoczesne osiągnięcie wielu celów, czyli jednoczesna optymalizacja więcej niż jednego kryterium (zadania wielokryterialne) Przykład: dwukryterialne zagadnienie transportowe polegające na minimalizacji kosztów transportu i czasu realizacji planu dostaw

43 Wprowadzenie Często decydenta interesuje jednoczesne osiągnięcie wielu celów, czyli ęsto decydenta interesuje jednoczesne osiągnięcie wielu celów Odpowiedź: Średnia liczba nie pracujących obrabiarek wynosi 2.32, a średni czas oczekiwania na naprawę wynosi h.

44 Przykład 7- rozwiązanie
Odpowiedź: Średnia liczba nie pracujących obrabiarek wynosi 2.32, a średni czas oczekiwania na naprawę wynosi h.