Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Modele zmienności aktywów Model addytywny Model multiplikatywny.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Modele zmienności aktywów Model addytywny Model multiplikatywny."— Zapis prezentacji:

1 Modele zmienności aktywów Model addytywny Model multiplikatywny

2 zmienności z czasem dyskretnym Model addytywny zmienności aktywów z czasem dyskretnym Przyjmijmy następujące oznaczenia: S(0) - cena początkowa waloru S(k) - cena waloru w k-tym etapie. u(k), k = 0,1,2,…n ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowej wartości oczekiwanej μ oraz o tej samej wariancji równej σ 2. Ciąg ten interpretujemy jako losowe fluktuacje.

3 Model addytywny Rozważmy model ceny aktywu postaci (1)S(k+1) = a S(k) + u (k) gdzie k=0,1,2,... zaś a jest pewną stałą rzeczywistą, dodatnią decydującą o trendzie głównym. Dla a > 1 trend główny jest wzrostowy. Znając wartości u(0),..,u(n) można wyznaczyć S(1), S(2), …,S(n). W tym modelu cena waloru w dowolnym momencie zależy wyłącznie od ceny w momencie go poprzedzającym i od losowej fluktuacji.

4 Model addytywny Ze wzoru (1) otrzymujemy S(1) = aS(0) + u(0), S(2) = aS(1) + u(1) = a[aS(0) + u(0)] + u(1)= = a 2 S(0) + au(0) + u(1) S(3) = aS(2)+u(2) = a [a 2 S(0) + au(0) + u(1)] +u(2)= = a 3 S(0) + a 2 u(0) + au(1) + u(2) Uwaga 1. Można pokazać, że dla każdego k: (2) S(k) = a k S(0) + a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +…+a u(k-2) + u(k-1).

5 Model addytywny Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z definicji modelu). Zakładając prawdziwość dla k, z ciągu równości : S(k+1) = a S(k) + u (k)= a[a k S(0) + a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +… …+a u(k-2) + u(k-1)] + u (k) = =a k+1 S(0) + a k u(0) + a k-1 u(1) +…+a 2 u(k-2) + au(k-1) + u (k) oraz indukcji matematycznej wynika prawdziwość wzoru (2)

6 Model addytywny. Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana zmiennej S(k). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej oraz z założenia E[u(k)]= μ dla każdego k mamy E[S(k)] =E( a k S(0) + a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +…+ au(k-2) + u(k-1))= = a k E[S(0)] + a k-1 E[u(0)] + a k-2 E[u(1)] +…+aE[u(k-2)]+ E[u(k-1)] = a k S(0) + a k-1 μ + a k-2 μ +…+a μ + μ (3) E[S(k)]= a k S(0) + μ(1-a k )/(1-a), o ile a nie jest równe 1 (3’) E[S(k)]= S(0) + k μ, gdy a=1 (3’’) E[S(k)]= a k S(0), gdy μ = 0

7 Model addytywny. Wariancja ceny Korzystając z podstawowych własności wariancji oraz założenia niezależności zmiennych losowych otrzymujemy Var [S(k)] = Var [a k S(0) + a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +…+ u(k-1)] = = Var [a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +…+ u(k-1)] = = Var [a k-1 u(0)] + Var[a k-2 u(1)] +…+Var[u(k-1)] = = (a k-1 ) 2 Var [u(0)]+ (a k-2 ) 2 Var [u(1)]+…+ a 2 Var [u(k-2)] + Var [u(k-1)]= = a 2(k-1) σ 2 + a 2(k-2) σ 2 +…+a 2 σ 2 +σ 2 = = (1+a 2 +a 4 +…+a 2k-2 ) σ 2 = σ 2 (1- a 2k )/ (1-a 2 ), gdy a różne od 1 (4) Var [S(k)] = σ 2 (1- a 2k )/ (1-a 2 ), gdy a różne od 1 (4’) Var [S(k)] = k σ 2, dla a = 1

8 Symulacje w modelu addytywnym (a=1). Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowa wahanie jest zmienną o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0;1)

9 Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Histogram częstości

10 Model addytywny (przypadek a=1). Zmienne losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym S(k+1) = S(k) + u (k) u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,1,2,...tzn. u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi prawdopodobieństwami S(n) = S(0) + u (0) + u (1) +…+ u (n-1) (5) S n = u (0) + u (1) +…+ u (n-1) (6) S(n) = S(0) + S n S n wyraża zmianę ceny po n etapach Wtedy: E[u (i)] = 0 Var [u (i)] = 0,5( σ -0) 2 + 0,5(- σ -0) 2 = σ 2 E[S n ]= 0 Var S n = Ʃ n i=1 Var [u (i)] = n σ 2 Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy E[S(n)]= S(0) Var S(n) = n σ 2 Oznaczając przez σ n odchylenie standardowe zmiennej S n, mamy (7) σ n = σ  n

11 Centralne twierdzenie graniczne Standaryzacja zmiennej losowej S n   S * n = (S n -E(S n ))/σ n Uwzględniając poprzednie wyliczenia   S * n = S n / σ  n   TW (CTG) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach (niekoniecznie dwupunktowych) oraz E X i = m, Var X i = σ 2 dla i=1,…,n. S n = X 1 + X 2 +… + X n. Wtedy   (8)   (9)  

12 W przypadku m = 0 mamy W szczególności

13 Przykład 1   Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt. Zakładamy, że każdego dnia kurs ma taką samą szansę na wzrost co na spadek o 10 punktów. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,9545 kurs tego kontraktu po 30 dniach ?, (po 50?, po 100 ?)   Zastosujemy centralne twierdzenie graniczne a w szczególności wykorzystamy przybliżenie   Ponieważ σ = 10, n=30 mamy więc   Otrzymaliśmy przedział na zmianę ceny, zatem uwzględniając S(n) = S(0) + S n mamy  

14 Przykład 1   Dla 50 i 100 dni mamy odpowiednio

15 Przykład 1

16 Przykład 2   Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt. Zakładamy, że każdego dnia kurs może zmienić się o 10 punktów, wzrost z prawdopodobieństwem 0,55 lub spadek z p-stwem 0,45. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,6827 kurs tego kontraktu po 30 dniach ?, (po 100 ?)   EX i =10*0,55+(-10)*0,45=1;   War X i = (10 -1) 2 0,55 + (-10 -1) 2 0,45 = 99 = σ 2 ; σ = 9,95

17 Przykład 2   Dla n=100 przeprowadzamy podobne wyliczenia   Otrzymujemy przedział (2600,50; 2799,50)

18 Centralne twierdzenie graniczne wersja Moivre’a – Laplace’a   Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach: dla każdego i (i=1,…,n), P{X i =1} = p, P{X i = 0} = q, p+q= 1,   S n = X 1 + X 2 +…+ X n ; zmienna S n ma rozkład dwumianowy:   Wtedy E X i = p, Var X i = pq   E S n =np; Var S n = npq   TW Przy powyższych oznaczeniach prawdziwa jest równość   (10)   lub równoważnie

19 Centralne twierdzenie graniczne wersja Moivre’a – Laplace’a   Ostatnie równości mogą być zapisane różne sposoby:

20 Przykład 3   Cena akcji pewnej spółki wynosi 500 zł. Zakładamy, że każdego dnia kurs rośnie o 1 zł z prawdopodobieństwem 0,55 i pozostaje niezmieniony z p-stwem 0,45. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 1000 dniach cena będzie się mieściła w przedziale [1020;1070] ?

21 Lokalne twierdzenie graniczne   Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach: dla każdego i (i=1,…,i=n) P{X i =1} = p, P{X i = 0} = q, p+q= 1,S n = X 1 + X 2 +…+ X n ; zmienna S n ma rozkład dwumianowy:   Wtedy E X i = p, Var X i = pq; E S n =np; Var S n = npq   TW. Przy powyższych oznaczeniach prawdziwa jest równość   (11)   Uwaga. Wszystkie liczby n,k, (n-k) muszą być dostatecznie duże by korzystać z ostatniego przybliżenia.

22 Model multiplikatywny zmienności aktywów Niech S(0) oznacza cenę początkową aktywa, którego zmienność wyraża się w modelu rekurencyjnym wzorem (12) (12) S(k) = u(k-1)S(k-1); k=1,2… u(i) - losowe fluktuacje Cenę aktywa w chwili k można można wyrazić bezpośrednio (13)S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0). Po zlogarytmowaniu obu stron otrzymujemy

23 Model multiplikatywny Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ 2 oraz są wzajemnie niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji możemy zapisać: (14)E [ln S(k)] = lnS(0) +μk, (15)var [lnS(k)] = k σ 2. Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana logarytmu ceny jak i wariancja tej zmiennej rosną proporcjonalne do k.

24 Model multiplikatywny Stopy zwrotu Równość (14) w innej formie E [ln S(k)] - lnS(0) = μk, E [ln S(k)] – E[lnS(0)] = E[ln (S(k)/S(0))] = μk, stąd (15) E [S(k)/S(0)] = e μk (gdyż dla funkcji ciągłej f i zmiennej losowej X ; E[f(X)]=f(E(X)) μ można interpretować jako oczekiwaną stopę zwrotu w pojedynczym etapie, przy kapitalizacji ciągłej Z definicji μ =E[ln (S(n+1)/S(n))], n=1,…,k S(n+1)/S(n)= [S(n+1)-S(n)]/S(n)+1. Dla małych zmian ceny mamy ln [S(n+1)/S(n)] = ln {[S(n+1)-S(n)]/S(n)+1} = =(w przybliżeniu)= [S(n+1)-S(n)]/S(n) = r – zwykła stopa zwrotu w jednym etapie; korzystamy z rozwinięcia

25 Model multiplikatywny Stopy zwrotu E {ln[S(n+1)/S(n)]} = E[w(n)] = μ oczekiwana stopa zwrotu w jednym etapie Z definicji modelu E{ln (S(k)/S(0))} = E[w(0)+…+w(k-1)]; w(i)=lnu(i) Lewa strona oznacza oczekiwaną całkowitą (po k etapach) stopę zwrotu, przy założeniu kapitalizacji ciągłej.

26 Model multiplikatywny   Ze związku   Otrzymujemy   Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych i parametrach μ, σ 2, to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)] ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji kσ 2 (Wniosek 3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)


Pobierz ppt "Modele zmienności aktywów Model addytywny Model multiplikatywny."

Podobne prezentacje


Reklamy Google