Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Geometria obrazu Wykład 8 Zastosowania triangulacji Delaunay cd. 1.Przerzedzanie triangulacji – modelowanie terenu, – kompresja danych. 2.Badanie odcisków.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Geometria obrazu Wykład 8 Zastosowania triangulacji Delaunay cd. 1.Przerzedzanie triangulacji – modelowanie terenu, – kompresja danych. 2.Badanie odcisków."— Zapis prezentacji:

1 Geometria obrazu Wykład 8 Zastosowania triangulacji Delaunay cd. 1.Przerzedzanie triangulacji – modelowanie terenu, – kompresja danych. 2.Badanie odcisków palców

2 Przerzedzanie triangulacji. Niech X = {x 1, x 2,..., x N } R 2 będzie danym zbiorem na płaszczyźnie, a f X = (f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x N )) R N oznacza odpowiadający X ciąg wartości nieznanej funkcji f : R 2 R. Algorytm przerzedzania triangulacji polega na rekurencyjnym usuwaniu punktów ze zbioru X zgodnie z ustalonymi wcześniej kryteriami. Niech n oznacza liczbę usuwanych elementów. Wtedy algorytm przyjmuje następującą ogólną postać: X N :=X; for k:=1 to n do begin zlokalizuj usuwalny punkt x X N-k+1 ; X N-k := X N-k+1 \ x ; end

3 W wyniku działania tego algorytmu otrzymujemy ciąg zbiorów punktów wyznaczających kolejne triangulacje: X N-n... X N-1 X N = X. Po usunięciu punktu powstały w ten sposób wielokąt ponownie triangulujemy tak, aby ponownie otrzymać triangulację Delaunay. Ponieważ zaburzenie triangulacji Delaunay ma tylko charakter lokalny, wystarczy tylko striangulować wielokąt wyznaczany przez sąsiadów usuwanego punktu.

4 Głównym problemem jest zdefiniowanie kryteriów określających usuwalność punktów. Modelowaną powierzchnię przybliżamy funkcjami sklejanymi (spline) będącymi funkcjami liniowymi na każdym trójkącie triangulacji. Dla każdego podzbioru zbioru Y X możemy zdefiniować taką funkcję S Y = {s: s C(CH(Y)) oraz s |T jest liniowa na każdym T DT(Y)}. Fakt. Dla każdego wektora f Y liniowy spline L(Y,f) taki, że L(Y,f)(y) = f(y) dla każdego y Y, jest jednoznacznie określony.

5 Definicja. Dla danej normy || || w R N błędem aproksymacji funkcji f na zbiorze X przez spline określony na zbiorze Y = X r X nazywamy wartość (Y,X) = ||L(Y,f) |X – f X ||. W zależności od rozpatrywanej normy otrzymujemy np. (Y,X) = max x X |L(Y,f)(x) – f(x)| lub 2 (Y,X) = ( x X |L(Y,f)(x) – f(x)| 2 ) 1/2. Chcielibyśmy dla N-n < k < N znaleźć zbiór Y* X taki, że |Y*| = k oraz (Y*,X) = min Y X, |Y| = k (Y,X).

6 Niestety tak sformułowany problem jest NP-trudny. Dlatego wykorzystując metodę zachłanną będziemy poszukiwać jak najlepszego rozwiązania. Kryterium usuwalności AT. Dla Y X punkt y* Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy (Y \ y*,X) = min y Y (Y \ y,X). Wartość e(y) = (Y \ y,X) nazywamy przewidywanym błędem. W zależności od zastosowania stosuje się różne kryteria usuwalności, które wpływają na postać przewidywanych błędów.

7 Modelowanie terenu. Kryterium usuwalności AT. Dla Y X punkt y* Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy (Y \ y*,X) = min y Y (Y \ y,X) (określamy minimalne odchylenie). Niech C(y) określa obszar wyznaczany przez sąsiadów punktu y oraz e 1 (y) = (Y \ y,X C(y)). Kryterium usuwalności AT 1. Dla Y X punkt y* Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy e 1 (y*) = min y Y e 1 (y).

8 Przykład. AT AT ,5 -1,1

9 Aby przyspieszyć obliczenia możemy nieco uprościć powyższą definicję. Niech e(y) = (Y \ y,Y). Wtedy możemy zdefiniować kryterium usuwalności AT 2 w następujący sposób: Dla Y X punkt y* Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy e(y*) = min y Y e(y). Powyższe kryteria odnoszą się do algorytmów przerzedzania dopasowa- nego, tzn. uwzględniającego wartości funkcji f. Można też upraszczać model terenu stosując metody niedopasowane, tzn. bazujące tylko na danych dotyczących zbioru punktów X. Jednym z tego typu kryteriów jest NAT, w którym priorytet wyboru punktów usuwalnych określany jest przez stosunek min y X \ x d(x, y) / min d(x, ), gdzie d( ) jest funkcją odległości a oznacza brzeg obszaru zawiera- jącego X.

10 Przykład. Modele gór Hurrungane (Norwegia) w NAT i AT 1 i odpowiadające im siatki. [L. Demaret et al. Adaptive thinning for terrain modeling and image compression]

11 Kompresja obrazu. W tym przypadku będziemy starać się minimalizować błąd średnio- kwadratowy (( 2 (Y,X)) 2 /N). Niech e(y) = ( 2 (Y \ y,X)) 2 dla y Y. Minimalizacja e(y) jest równoważna minimalizacji e (y) = ( 2 (Y \y,X C(y))) 2 – ( 2 (Y,X C(y))) 2 dla y Y. Zdefiniujmy kryterium usuwalności AT 2 : Dla Y X punkt y* Y jest usuwalny z Y wtedy i tylko wtedy, gdy e (y*) = min y Y e (y). Fakt. Algorytmy wykorzystujące kryteria NAT, AT 1, AT 2 działają w czasie O(N log N).

12 Niech X będzie zbiorem pikseli 2 q x 2 q a przedział [0, 2 r -1] określa skalę barw. Definiujemy miarę zniekształcenia przy kompresji obrazu PSNG (Peak Signal to Noise Ratio) jako 10 * log 10 (2 r x 2 r x N/ ( 2 (Y,X)) 2 ). Postępując podobnie jak poprzednio obliczamy aproksymację L*(Y,F) S Y, gdzie F = f |Y, spełniającą warunek (i,j) X |L*(Y,F)(i,j) – f(i,j)| 2 = min s (i,j) X |s(i,j) – f(i,j)| 2, gdzie s S Y. Postępując odwrotnie do kodowania obliczamy wartości funkcji f. Notka. SPIHT (Set Partitioning Into Hierarchical Trees) – metoda kompresji bazująca na transformacjach falkowych.

13 Przykład. Porównanie kompresji i dekompresji wykonanych z pomocą SPIHT (b) i AT 2 (d) oraz triangulacja najbardziej znaczących punktów obrazu (c). [L. Demaret et al. Adaptive thinning for terrain modeling and image compression]

14 Badanie odcisków palców. Na odcisku palca określamy zbiór istotnych punktów. Zwykle są to końce linii papilarnych lub punkty, w których się one łączą. Dla danego zbioru punktów tworzymy triangulację Delaunay. [G. Bebis et al. Fingerprint Identyfication Using Delaunay Triangulation]

15 Każdy trójkąt triangulacji jest opisany za pomocą trzech zmiennych. Niech l 1, l 2, l 3 oznaczają długości boków danego trójkąta w porządku niemalejącym. Niech α będzie katem przeciwległym do krawędzi o maksymalnej długości. Wtedy zmienne z1, z2, z3 przyjmują wartość: 0 z1 = l1/l3 1, 0 z2 = l2/l3 1, -1 z3 = cos α 1. Następnie skalujemy zmienne, określając odpowiednie progi tak, aby zmienne były liczbami całkowitymi.

16 Badamy odpowiednie triangulacje dla wzorca i danych z bazy. Dla trójkątów opisanych tymi samymi zmiennymi zapamiętujemy parametry odpowiedniego przekształcenia w przestrzeni transformacji. Obszar w przestrzeni transformacji, w którym znajduje się najwięcej punktów odpowiadających odwzorowaniom różnych trójkątów wskazuje na przekształcenie, które najlepiej dopasowuje oba obrazy. Po dokonaniu takiego przekształcenia, można z pomocą przekształcenia afinicznego dodatkowo dopasować trójkąty, które niewiele się różnią. Procentową zgodność dopasowania określa formuła 200n/(p+q), gdzie n oznacza liczbę pokrywających się punktów, a p i q są liczbami wierz- chołków badanych triangulacji.

17 Przykład. Dopasowane dwie triangulacje przed i po afinicznej korekcie. [G. Bebis et al. Fingerprint Identyfication Using Delaunay Triangulation]

18 Dziękuję za uwagę.

19 Ćwiczenia. 1.Dany jest zbiór punktów P i zbiór nieprzecinających się krawędzi E. Jaki jest najniższy rząd triangulacji P zawierającej krawędzie z E ? Otwarty problem: Znajdź efektywny algorytm obliczający taką triangulację. 2.Jak umieścić dodatkowe punkty na krawędziach z E, aby zmniejszyć rząd triangulacji do danego k (np. k = 0) ?


Pobierz ppt "Geometria obrazu Wykład 8 Zastosowania triangulacji Delaunay cd. 1.Przerzedzanie triangulacji – modelowanie terenu, – kompresja danych. 2.Badanie odcisków."

Podobne prezentacje


Reklamy Google