Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 10 Systemy algebraiczne.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 10 Systemy algebraiczne."— Zapis prezentacji:

1

2 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 10 Systemy algebraiczne

3 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK2 Struktury danych Jakieś zależności między danymi. Jakieś metody modyfikowania tych danych (Czy zupełnie dowolne?) Niepusty zbiór obiektów (danych). y:=1; s,k:= 1; while k

4 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK3 Operacje Definicja Operacją n-argumentową w A nazywamy dowolną funkcję o przekształcającą A n w A. Jeżeli dla wszystkich a 1,...a n A, f(a 1,...a n ) A to o jest operacją całkowitą. Jeśli nie, to jest to operacja częściowa. Oczywiście zbiór A nie musi być jednorodny (wszystkie elementy tego samego typu). Przykłady operacji : dzielenie w R, dzielenie w N, lg w R. F(s)=s wttw s jest starostą grupy, do której należy student s. A= A i A i zbiór elementów typu itego.

5 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK4 System algebraiczny Definicja Systemem algebraicznym nazywamy układ ( t 1, t 2,... t n, t 1, t 2,..., tm tm ) typy operacji i relacji O zbiorze A mówimy, że jest zamknięty ze względu na operacje w A, jeśli dla dowolnych argumentów wziętych z A wynik każdej z operacji o 1, o 2,... o n należy do A.

6 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK5 Przykłady algebr 1. N P N P (a) 2. algebra i jej podalgebra (b) (c) Ale nie jest podalgebrą algebry 3. dwuelementowa algebra Boolea Lemat Przecięcie dowolnego zbioru podalgebr danej algebry, o ile jest niepuste, to jest też podalgebrą.

7 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK6 Przykłady push : Stosy Elementy Stosy pop : Stosy Stosy top : Stosy Elementy empty Stosy in : Kolejki Elementy Kolejki out : Kolejki Kolejki first : Kolejki Elementy empty Kolejki kolejka stos

8 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK7 Generatory Definicja Niepusty podzbiór A 0 zbioru A jest zbiorem generatorów algebry wttw gdy najmniejszą podalgebrą zawierającą A 0 jest sama algebra. Przykład zbiór generatorów {0,1} Bo, każdą liczbę naturalną można otrzymać z 0 i 1 za pomocą operacji + i * zbiór generatorów {-1} STOSY zbiór generatorów {empty Elementy}

9 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK8 Homomorfizm Niech będą dwa systemy algebraiczne A i B o takiej samej sygnaturze: A =, B=, gdzie o i i o i oraz r j i r j są odpowiadającymi sobie operacjami i relacjami. O takich systemach mówimy, że są podobne Przykład System jest podobny do Definicja Homomorfizmem systemu A w system podobny B nazywamy przekształcenie h: A B takie, że h( o(a1,...an))= o(h(a1),...,h(an)) r(b1,...,bm) wttw r(h(b1),...,h(bn)) dla dowolnej operacji n-arg o (relacji m-arg. r) w A i odpowiadającej jej operacji o (relacji r)w B oraz dla dowolnych a1,...,an b1,....,bm z A. Własność zachowywania operacji i relacji

10 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK9 Zachowywanie operacji przez homomorhizm a1 a2 an a o(a1,a2,...,an)= ao(b1,b2,...,bn)= b b1 b2 bn b h h(a) = b A B

11 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK10 Przykład Funkcja h(X) =1, gdy 1 X i h(X)=0, gdy 1 X, X N jest homomorfizmem algebry w algebrę. Rozważmy dwa systemy i push((c 1,c 2...,c n ), c)= (c 1,c 2...,c n,c) pu(n,c)= (n+1)*10+ c pop(c 1,c 2...,c n ) = (c 1,c 2...,c n-1 ) o ile n>1 pp(n) = n div top(c 1,c 2...,c n ) = c n t(n) = n mod 10 Funkcja h określona następująco ustala homomorfizm między tymi systemami: h(empty)= 0 h(c) = c h(c 1,c 2...,c n ) = pu(pu(....pu(pu(0,c 1 ),c 2 ),...),c n )

12 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK11 Izomorfizm Jeżeli h jest homomorfizmem odwzorowującym system A w system podobny B oraz h jest bijekcją, to h nazywamy izomorfizmem bc d a e 1 b 2 c 3 d 4 a 5 e Te dwa grafy są izomorficzne

13 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK12 Fakty Złożenie dwóch homomorfizmów jest homomorfizmem. Złożenie dwóch izomorfizmów jest izomorfizmem. Jeśli h jest homomorfizmem przkształcającym algebrę A w algebrę B to obraz h(A) jest podalgebrą B. Jeśli h jest izomorfizmem, to card(A)=card(B). Przy homomorfizmie zbiór generatorów przechodzi na zbiór generatorów.

14 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK13 Twierdzenie o izomorfizmie Jeżeli h jest izomorfizmem odwzorowującym system algebraiczny A na system algebraiczny B o sygnaturze, to dla dowolnej formuły rachunku predykatów, w której występują tylko operacje i relacje odpowiadające operacjom z rozważanej sygnatury A|= wtedy i tylko wtedy gdy B |=

15 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK14 Kongruencja Niech będzie system algebraiczny A = Definicja Relację równoważności ~ w A nazywamy kongruencją wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych o, r i a 1, a 2,...,a n, jeżeli a 1 ~ a 1, a 2 ~a 2,...,a n ~a n to o(a 1,a 2...,a n ) ~ o(a 1,a 2,...,a n ) r(a 1,a 2,...,a n ) wttw r(a 1,a 2,...,a n ) Przykład Relacja ~ określona w systemie algebraicznym jako n ~n wttw n mod p = n mod p jest kongruencją, bo gdy a ~a oraz b~b, to a=k * p+c i a=k * p+c oraz b= l * p+d i b= l * p+d. Stąd (a+b)mod p = (a+b) mod p.

16 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK15 System ilorazowy Definicja Niech będzie system algebraiczny A = i niech będzie ~ kongruencją w A. Wtedy system A/~ = z operacjami i relacjami o*([ a 1 ],...,[a n ]) = df [ o(a 1,,...,a m )] r*([ a 1 ],...,[a n ]) wttw r(a 1,,...,a m ) nazywamy systemem ilorazowym. Lemat System ilorazowy A/~ jest podobny do A oraz odwzorowanie h(a)= df [a] ustala homomorfizm A i A/~.

17 5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK16 Przykład Rozważmy algebrę podzbiorów zbioru N, i kongruencję X ~ Y wttw 1 X Y lub 1 N\( X Y) Zbiór klas abstrakcji relacji ~ ma dwie klasy abstrakcji [N] i [ ]. Operacje na tych klasach są określone następująco [N] * [ ] = [N] * [N ] = [ ] * [N ] = [N] [ ] * [ ] = [ ] [N] * [ ] = [ ] * [N ] =[ ] * [ ] = [ ] [N] * [N ] =[N] -*[N] = [ ] -*[ ] =[N] Łatwo zauważyć, że jest to algebra izomorficzna z algebrą Boolea.


Pobierz ppt "5 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 10 Systemy algebraiczne."

Podobne prezentacje


Reklamy Google