Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Agata Fronczak i Piotr Fronczak Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych Seminarium DUZ.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Agata Fronczak i Piotr Fronczak Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych Seminarium DUZ."— Zapis prezentacji:

1 Agata Fronczak i Piotr Fronczak Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych Seminarium DUZ ( 8 października 2007r )

2 Transport i wyszukiwanie w sieciach złożonych 1 / 17 Metody wyszukiwania w sieci Strategie efektywnego routingu Sieci telekomunikacyjne, np. Internet Sieci transportowe, np. sieci połączeń lotniczych Sieci społeczne Autorzy, którzy zajmowali się tymi zagadnieniami: Adamic & Humerman, Tadic & Rodgers & Thurner, Kim et al. Germano & Moura, Redner et al., Havlin & Stanley et al., Holme et al., Rosvall & Sneppen, Motter et al., Bianconi & Marsili, Goh et al., W.-X. Wang et al., Phys. Rev. E 73, (2006) (…) W większości przypadków w podstaw tych zagadnień leży proces błądzenia przypadkowego.

3 Ruch pakietów w sieci złożonej Model ruchu pakietów w sieci złożonej 1.W każdym kroku czasowym w sieci generowanych jest R pakietów. Każdemu pakietowi losowo przypisywany jest węzeł-nadawca oraz węzeł- odbiorca. 2.W kolejnych krokach czasowych pakiety poruszają się po sieci w poszukiwaniu swoich węzłów- odbiorców. Gdy pakiet dociera do miejsca swego przeznaczenia jest usuwany z sieci. 3.Ruch pakietów po sieci odpowiada preferencyjnemu błądzeniu przypadkowemu z cyklicznym przeszukiwaniem. 4.Wszystkie węzły w sieci mają ograniczoną szybkość pracy tj. w jednym kroku czasowym potrafią przesłać dalej co najwyżej C pakietów. 5.Na węzłach obowiązuje kolejka FIFO o nieograniczonej długości. preferencyjne błądzenie przypadkowe: prawdopodobieństwo przejścia między węzłami i oraz j przeszukiwanie cykliczne: każdy węzeł zna swoje najbliższe otoczenie do głębokości x. Traffic dynamics based on local routing protocol on a scale-free network W.X. Wang et al.,, Phys. Rev. E 73, (2006) 2 / 17

4 Przejście fazowe ze stanu swobodnego przepływu do stanu przepełnienia Podstawowa obserwacja Dla pewnej wartości parametru R C ( ), w sieci obserwujemy ciągłe przejście fazowe ze stanu cechującego swobodny przepływ pakietów do stanu, w którym sieć jest przepełniona. Free Flow Traffic Jam Parametr porządku tego przejścia fazowego Gdzie zmiana liczby pakietów w sieci, przy czym oznacza uśrednienie po różnych oknach czasowych. Phys. Rev. Lett. 86, 3196 (2001). 3 / 17

5 Faza przepełnienia Faza swobodnego przepływu W stanie przepełnienia: liczba pakietów w sieci rośnie liniowo w czasie. Stan swobodnego przepływu: średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k 4 / 17

6 Krytyczna wartość tempa generacji pakietów R C ( ) Strategia antypreferencyjna – najefektywniejsza !? 5 / 17 Zwykłe błądzenie przypadkowe – najefektywniejsze!?

7 Błądzenie przypadkowe z dryftem – Biased random walks x x+1 x+2 x+4 x+5 x-4 x-3 x-2 x-1 p q=1-p Równanie Master: Rozwiązanie równania: rozkład dwumianowy w granicy długich czasów – rozkład normalny prawdopodobieństwo, że cząstka znajduje się w pozycji x po N krokach czasowych; warunek początkowy; 6 / 17

8 Błądzenie przypadkowe w wielowymiarowych sieciach regularnych Polya, 1921 R andom walk in dimensions 1 and 2 is recurrent, while in dimension 3 and above it is transient. Błądzenie przypadkowe na łańcuchu węzłów (d=1) i na sieci kwadratowej (d=2) ma charakter rekurencyjny. Prawdopodobieństwo, że cząstka kiedyś powróci do punktu z którego wyszła, jest równe 1. W przypadku sieci kwadratowej czas powrotu =. Proces stochastyczny ze stanami powtarzającymi się Dla d 3 błądzenie przypadkowe ma charakter przejściowy. Prawdopodobieństwo powrotu <1. Proces stochastyczny ze stanami chwilowymi. 7 / 17

9 Błądzenie przypadkowe na sieciach złożonych J.D. Noh, H. Reiger, Random walks on complex networks Phys. Rev. Lett. 92, (2004) Prawdopodobieństwo przejścia cząstki z węzła i do węzła j (transition probability) Prawdopodobieństwo, że w czasie t cząstka będzie się znajdowała w węźle i o stopniu k i (stationary occupation probability) Idea centralności węzłów: różnica czasów przejścia miedzy węzłami i oraz j gdzie C i – tzw. random walk centrality i j 8 / 17

10 Błądzenie przypadkowe z dryftem na sieciach złożonych Biased random walks on complex networks A.Fronczak, P. Fronczak Biased random walks on complex networks: the role of local navigation rules arxiv: (wrzesień 2007) 1. preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia z węzła i do węzła j Lokalne reguły rozważane przy błądzeniu przypadkowym: 2. przeszukiwanie cykliczne (cyclic search): jeśli węzeł docelowy cząstki został znaleziony w odległości x=1,2,… od węzła, w którym cząstka aktualnie przebywa, wtedy w następnych krokach czasowych cząstka zmierza bezpośrednio do miejsca przeznaczenia. 9 / 17 węzeł docelowy cząstka błądząca po sieci węzeł j + jego najbliższe otoczenie j x=1

11 Stacjonarne prawdopodobieństwo obsadzenia węzłów Równanie Master: prawdopodobieństwo, że cząstka, która wyruszyła w czasie t=0 z węzła i, w czasie t będzie przebywała w węźle j Stosując przybliżenie średniego pola do równania Master oraz zakładając brak korelacji międzywęzłowych w sieciach dostajemy 10 / 17

12 Zagadnienie pierwszego przejścia First-passage processes Prawdopodobieństwo pierwszego-przejścia tj. prawdopodobieństwo, że cząstka, która rozpoczyna błądzenie po sieci od węzła i po raz pierwszy trafi do węzła j w chwili t Stosując transformatę Laplacea do powyższego równania dostajemy znaną zależność Następnie podstawiając do zależności ( ) poniższe wyrażenie gdzie ( ) i rozwijając ( ) w szereg potęgowy otrzymujemy wzory opisujące średnie czasy pierwszego przejścia błądzącej cząstki z węzła i do węzła j 11 / 17

13 Średnie czasy pierwszego powrotu Uśrednione po wszystkich węzłach czasy pierwszego powrotu są najkrótsze przy strategii =-1. Oznacza to, że ta strategia skutkuje najwolniejszą eksploracją sieci! 12 / 17

14 Średnie czasy pierwszego przejścia między węzłami sieci 13 / 17

15 Przeszukiwanie cykliczne znormalizowany węzeł J j J gdzie reprezentuje średni stopień najbliższego sąsiada, natomiast x jest parametrem przeszukiwania cyklicznego Stopień znormalizowanego węzła J Średni czas pierwszego przejścia z węzła i do węzła j przy cyklicznym przeszukiwaniu, jest równy gdzie odpowiednie parametry T iJ R iJ R JJ odnoszą się do sieci, w której węzeł j wraz z jego najbliższym x-otoczeniem zastąpiono znormalizowanym węzłem J o stopniu k J 14 / 17 węzeł docelowy cząstka błądząca po sieci węzeł j + jego najbliższe otoczenie x=1

16 Ruch pakietów w sieci złożonej – założenie o niezależności pakietów Założenie: W stanie swobodnego przepływu pakiety w sieci można traktować jak niezależne cząstki. Fig. Średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k Fig. Stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa obsadzenia węzła przez cząstkę błądzącą przypadkowo wg strategii. 15 / 17

17 Oszacowanie krytycznej wartości tempa generacji pakietów R C ( ) Niech: średni czas pierwszego przejścia z węzła i do j przy zadanej strategii. Wtedy: średnia liczba pakietów w sieci w każdym kroku czasowym przy założeniu, że pakiety są niezależne Krytyczna wartość tempa generacji pakietów: Sieć zaczyna się zapychać wtedy, gdy liczba pakietów na dowolnym węźle sieci przekracza jego zdolność przetwórczą C dla >-1 zapychają się węzły duże dla <-1 zapychają się węzły małe dla =-1 wszystkie węzły mają jednakowe prawdopodobieństwo zapchania 16 / 17

18 To już koniec ! Podsumowanie Wykonaliśly analizę błądzenia przypadkowego w sieciach złożonych; Rozważaliśmy następujące lokalne reguły nawigacji: * preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia * przeszukiwanie cykliczne; Pokazaliśmy, że w stanie swobodnego przepływu pakietów w sieciach łożonych pakiety można traktować jak cząstki nie oddziałujące ze sobą; Podejście niezależnych cząstek umożliwiło nam wyznaczenie krytycznej wartości tempa generacji pakietów; Rozliczyliśmy grant MiNI !? 17 / 17


Pobierz ppt "Agata Fronczak i Piotr Fronczak Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych Seminarium DUZ."

Podobne prezentacje


Reklamy Google