Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Stochastyczne modele gier ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Stochastyczne modele gier ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski."— Zapis prezentacji:

1 Stochastyczne modele gier ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski

2 Princeton meeting 1949 John von Neumann John Forbes Nash 1928-

3 Jak grać? Równowaga Nasha Przypisanie graczom strategii, tak iż żadnemu z graczy, przy ustalonych strategiach wszystkich innych graczy, nie opłaca się zmienić swojej strategii

4 Formalnie (St,St) równowaga efektywna (H,H) równowaga bezpieczna średnia St - 5/2 Średnia H - 3 gra w jelenia i zająca problem wyboru równowagi

5 Dynamika populacji czas A i B - dwa możliwe zachowania, fenotypy, strategie osobników

6 Prosty model ewolucji Selekcja osobnicy oddziałują w parach – grają w gry uzyskują wypłaty = liczba potomstwa Fenotypy są dziedziczone Potomstwo może mutować

7 Dobór osobników do gry każdy gra z każdym losowe spotkania graczy gry na grafach, populacje ze strukturą przestrzenną

8 Stochastyczna dynamika skończonych populacji n - liczba osobników z t - liczba osobników grających A w czasie t Ω ={0,…,n} - przestrzeń stanów selekcja z t+1 > z t jeśli średnia z A > średnia z B mutacje Każdy osobnik może zmienić swoją strategię z prawdopodobieństwem ε

9 Łańcuch Markowa z jedyną miarą stacjonarną μ ε n

10 Klasyczne wyniki Każdy gra z każdym, Kandori-Mailath-Rob 1993 A jest stategią efektywną, a>d B jest strategią dominującą ze względu na ryzyko c+d>a+b A B A a b B c d a>c i d>b, (A,A) i (B,B) – równowagi Nasha

11 Losowy dobór graczy, Robson - Vega Redondo, 1996 p t liczba krzyżowych spotkań

12 JM J. Theor. Biol, 2005 Twierdzenie

13 z1z1 z2z2 z3z3 z5z5 z4z4 x P ε (z 4 |z 1 ) Lemat drzewny (Freidlin and Wentzell) ergodyczny łańcuch Markowa ze skończona przestrzenią Ω, macierzą przejścia P ε, i jedyną miarą stacjonarną μ ε

14 Gry przestrzenne z lokalnymi oddziaływaniami

15 Dynamika deterministyczna reguła najlepszej odpowiedzi i Br(St,St)=St Br(H,H)=H Br(H,St)=Br(St,H)=H

16 Dynamika stochastyczna a) zaburzona najlepsza odpowiedź z prawdopodobieństwem 1-ε gracz wybiera najlepszą odpowiedź z prawdopodobieństwem ε gracz myli się, b) reguła log-linear

17 Jeleń i zając na Z, z oddziaływaniem najbliższych sąsiadów i zaburzoną najlepszą odpowiedzią liczenie błędów

18 Otwarty problem konstrukcja gry przestrzennej z jedyną miarą stacjonarną μ ε Λ która ma następujące własności

19 Dylemat Więźnia na grafach losowych C D C 3 0 D 5 1 (D,D) jest jedyną równowagą Nasha wspólna praca z Bartoszem Sułkowskim

20 Grafy Poissona Każdą parę wierzchołków łączymy krawędzią z prawdopodobieństwem p Rozkład stopni wierzchołków jest rozkładem Poissona Bezskalowe grafy typu Barabasi-Alberty Reguła preferencyjnego linkowania Rozkład stopni wierzchołków ~ k -λ

21

22 C D C 3 0 D 5 1 C D C 2 -1 D 4 0 gracze z lewej dostają 3 środkowy gracz 6 prawy gracz dostaje 5 gracze z lewej dostają 2 środkowy gracz 3 prawy gracz dostaje 4 D zmienia się w C środkowe C zmienia się w D C C D C dynamika imitacji

23 dynamika imitacji najlepszej strategii z otoczenia C D C 1 0 D T 0 C D C 1-γ -γ D T-γ -γ γ - koszt połączenia średni poziom współpracy w stanie stacjonarnym

24

25

26 Co dalej? koewolucja sieci powiązań i strategii gry na grafach losowych

27 Deterministyczna dynamika replikatorowa A B A a b U = B c d p A (t) – liczba osobników grających A w czasie t p B (t) – liczba osobników grających B w czasie t U A = ax + b(1-x) U B = cx + d(1-x) U av = xU A +(1-x)U B p A (t+ε)=(1-ε)p A (t) + εp A (t)U A (t) Proponujemy

28 p A (t+ε) = (1-ε)p A (t) + εp A (t)U A (t) p B (t+ε) = (1-ε)p B (t) + εp B (t)U B (t) p(t+ε) = (1-ε)p(t) + εp(t)U av (t)

29 dx/dt = x(1-x)(U A – U B ) Jeleń - Zając J Z J 5 0 Z / 5 1 Jastrząb - Gołąb J G J -1 2 G /2 1 mieszana równowaga jest niestabilna mieszana równowaga jest stabilna

30 Opóźnienia ( dla Jastrzębia i Gołębia) opóźnienie społeczne Zakładamy, że osobnicy w czasie t naśladują strategie, które miały większe wypłaty w czasie t- τ. Proponujemy x *

31 odpowiednie równanie replikatorowe w czasie ciągłym ma postać Twierdzenie (Jan Alboszta i JM, J. Theor. Biol. 231: , 2004) x * jest asymptotycznie stabilny jeśli τ jest odpowiednio małe x * jest niestabilny dla odpowiednio dużego τ

32 Biologiczne opóźnienie Zakładamy,że osobnicy rodzą się τ czasu po tym jak ich rodzice grali i uzyskali wypłaty. Proponujemy Twierdzenie (JA i JM, JTB 2004) x * jest asymptotycznie stabilny dla każdego opóźnienia τ

33 Stochastyczna dynamika z opóźnieniem na grafach a) zaburzona najlepsza odpowiedź na stan w t-τ z prawdopodobieństwem 1-ε gracz wybiera najlepszą odpowiedź z prawdopodobieństwem ε gracz myli się, b) zaburzona imitacja stanu w t-τ z prawdopodobieństwem 1-ε gracz imituje najlepszego gracza z prawdopodobieństwem ε gracz myli się

34 Dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "Stochastyczne modele gier ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski."

Podobne prezentacje


Reklamy Google