Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α(G) – moc największego skojarzenia.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α(G) – moc największego skojarzenia."— Zapis prezentacji:

1

2 WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α(G) – moc największego skojarzenia w G. Skojarzenie M w grafie G nazywamy doskonałym, gdy |M|=|V(G)|/2.

3 Tw. Tuttea Niech q(G) będzie liczbą nieparzystych składowych grafu G. Tutte (1947) G ma skojarzenie doskonałe wgdy zachodzi warunek Tuttea:

4 Pokrycia wierzchołkowe Podzbiór U zbioru V(G) nazywamy pokryciem wierzchołkowym (krawędzi), jeśli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U. Moc najmniejszego pokrycia - β(G). Trywialnie,

5 Skojarzenia w grafach 2- dzielnych – tw. Königa König (1931) Dla grafów dwudzielnych α(G)= β(G).

6 Warunek (konieczny) Halla na istnienie skojarzenia zawierającego (nasycającego) zbiór A A B

7 Tw. Halla Tw. Halla (1935) Dwudzielny graf G o dwupodziale (A,B) posiada skojarzenie nasycające A wgdy zachodzi warunek Halla:

8 1. dowód Tw. Halla U – minimalne pokrycie E(G) Jeśli G nie ma skojarzenia nasycającego A, to z Tw. Königa: |U|= β(G) = α(G )<|A| Nie ma krawędzi miedzy A-U i B-U. Zatem i warunek Halla nie zachodzi dla S=A-U

9 Ilustracja 1. dowodu Tw. Halla A B U U

10 2. dowód Tw. Halla Indukcja względem |A|; prawda dla |A|=1. Niech |A|>1 i załóżmy prawdziwość dla <|A|. Dwa przypadki I. Warunek Halla zachodzi z nadmiarem, tzn. Usuńmy końce dowolnej krawędzi ab: G=G-{a,b} G wciąż spełnia warunek Halla i z założenia ind. ma skojarzenie nasycające A-{a}, które wraz z krawędzią ab tworzy skojarzenie nasycające A.

11 2. dowód Tw. Halla –Przypadek II: Z założenia ind. podgraf G indukowany w G przez S i N(S) ma skojarzenie nas. S. Ale podgraf G=G-V(G) też spełnia warunek Halla i z zał. ind. ma skojarzenie nas. A-S. Rzeczywiście, gdyby istniał podzbiór S w A-S, dla którego |N(S)|<|S|, to -- sprzeczność

12 Ilustracja S N(S) G S

13 3. dowód Tw. Halla Prosty wniosek z Tw. Tuttea (do samodzielnego zastanowienia się)

14 Tw.Gallaia Przypomnijmy: α(G), α(G), β(G). Podzbiór F zbioru E(G) nazywamy pokryciem krawędziowym (wierzchołków), jeśli każdy wierzchołek jest końcem przynajmniej jednej krawędzi z F. β(G) – moc minimalnego pokrycia Tw. (Gallai,1959) Jeśli G nie ma wierzchołków izolowanych, to α(G) + β(G) =|V(G)|.

15 Ilustracja Tw. Gallaia 3+6=9

16 Dowód Tw. Gallaia Niech M będzie skojarzeniem, |M|= α. U=V(G)-V(M) jest zbiorem niezależnym. Dla każdego u w U, weźmy krawędź o końcu w u. Te krawędzie wraz z M tworzą pokrycie. Zatem

17 Ilustracja U M

18 Dowód Tw. Gallaia – c.d. Niech L będzie pokryciem, |L|= β. Niech M będzie największym skojarzeniem w H=G[L]=(V(G),L), a U=V(G)-V(M). U jest zbiorem niezależnym w H, więc a stąd

19 Ilustracja

20 Tw. dualne do Tw. Königa Łatwo pokazać, że α(G) + β(G) =|V(G)| dla każdego grafu G (ćwiczenia). Wniosek. Dla każdego grafu dwudzielnego bez wierzchołków izolowanych α(G) = β(G). Dowód: Z tw. Gallaia i powyższego ćwiczenia α(G) + β(G) =α(G) + β(G), a na podstawie Tw. Königa, α(G) = β(G). 

21 Skojarzenia ułamkowe Skojarzenie ułamkowe to funkcja w:E [0,1] taka, że Wtedy suma wszystkich wag w(e) nie przekracza n/2. Jeśli suma wag jest równa n/2, to mówimy, że w jest doskonałym skojarzeniem ułamkowym.

22 Ilustracja Suma = Suma = 2.5


Pobierz ppt "WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α(G) – moc największego skojarzenia."

Podobne prezentacje


Reklamy Google