Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza szeregów czasowych dr Małgorzata Radziukiewicz.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza szeregów czasowych dr Małgorzata Radziukiewicz."— Zapis prezentacji:

1 Analiza szeregów czasowych dr Małgorzata Radziukiewicz

2 Szereg czasowy Szereg czasowy (chronologiczny) zbiór wartości badanej cechy lub wartości określonego zjawiska zaobserwowanych w różnych momentach (przedziałach) czasu uporządkowany chronologicznie

3 Przykłady szeregów czasowych Szeregi czasowe dotyczące zjawisk społeczno-ekonomicznych - nakład książek i broszur w latach (w mln egz.); - wartość produkcji w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 (w mld zł.); - produkcja energii elektrycznej w latach (w mln kWh); - skup mleka w woj. poznańskim w latach (w mln litrów); - liczba zawartych małżeństw w Polsce w latach 1989 – 1993 (w tys.) itp..

4 Szeregi czasowe Szeregi czasowe dotyczące zjawisk społeczno-ekonomicznych można przedstawić w formie graficznej – elementy szeregu prezentowane są przez punkty płaszczyzny o współrzędnych (t,y), które łączy się odcinkami linii prostej

5 nakład książek i broszur w latach (w mln egz.) W badanym 8-elementowym szeregu czasowym występuje składowa systematyczna w postaci trendu oraz wahania przypadkowe. Ocena wzrokowa wykresu wskazuje, ze do opisu przebiegu zmiennej można wykorzystać funkcję liniową

6 nakład książek i broszur w latach (w mln egz.) Parametry modelu liniowego oszacowano MNK. Obliczenia związane z szacowaniem parametrów linii trendu, wyznaczeniem miar dobrocidopasowania, prognozy punktowej i prognozy przedziałowej, błędów prognoz zawarte są w prezentacji pt. Szeregi czasowe. Wartości rzeczywiste i teoretyczne zmiennej przedstawia rysunek obok.

7 wartość produkcji w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 (w mld zł.) Ocena wzrokowa wykresu wskazuje, ze w badanym szeregu czasowym występuje składowa systematyczna w postaci trendu rosnącego oraz wahania przypadkowe. Wzrost wartości zmiennej jest jednak coraz szybszy. W takim przypadku możemy zastosować funkcję o rosnącym tempie wzrostu, np. funkcję wykładniczą. Wykładniczą funkcję trendu sprowadza się do postaci liniowej przez logarytmowanie, a następnie szacuje się jej parametry za pomocą MNK – zob. prezentację pt. Wykładniczy model trendu. Wykresy przedstawiają wartości rzeczywiste, teoretyczne i prognozy zmiennej

8 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Analiza wzrokowa wykresu wartości zmiennej prognozowanej wskazuje, że zużycie energii w firmie cechuje się liniową tendencją rozwojową oraz wahaniami sezonowymi. Zadanie: wyznaczyć prognozy zużycia energii na następne dwa kwartały 2008 roku. rok kw.III IVIII IVIIIIIIIV Y2,83,73,04,63,04,23,55,03,54,74,05,3

9 Analiza szeregów czasowych Poziom zjawiska gospodarczego, które odzwierciedla szereg czasowy, wykazuje różnego rodzaju zmiany: zmiany określające pewien ogólny kierunek (tendencję rozwojową) czyli tzw. trend ; wahania cykliczne, czyli koniunkturalne (wahania o kresie dłuższym niż rok, które z grubsza odpowiadają cyklom koniunkturalnym); wahania sezonowe powtarzające się periodycznie w pewnych określonych porach każdego roku lub miesiąca; wahania nieregularne ( które trudno zanalizować i ująć w pewien określony schemat): wahania katastrofalne spowodowane przez zdarzenia historyczne (wojna, katastrofy żywiołowe, epidemie); wahania przypadkowe będące wynikiem działania wielkiej liczby przyczyn ubocznych.

10 Analiza szeregów czasowych Rys.1. Składowe szeregu czasowego wahania cykliczne wahania sezonowe trend wahania przypadkowe YtYt czas

11 Analiza szeregów czasowych Każdą obserwację szeregu czasowego możemy więc rozłożyć na trzy składniki lub czynniki: - trend (T); - sezonowość (S); - składnik przypadkowy (U). Charakter powiązań między trendem, sezonowością i zmiennością losową w szeregach: - powiązania addytywne : - i multiplikatywne : gdzie: y t - obserwacje szeregu czasowego T t - trend i wahania cykliczne S t - sezonowość U t - zmienność o charakterze losowym (czynnik przypadkowy). Subskrypt t oznacza, że analizujemy zachowanie się zjawiska w czasie.

12 Analiza szeregów czasowych Analiza statystyczna może dotyczyć wszystkich składników szeregu czasowego. Zwykle dąży się do wyodrębnienia poszczególnych składników szeregu czasowego i pomiaru ich wielkości – dlatego analizę szeregu czasowego określa się jako jego dekompozycję. W celu dekompozycji szeregu stosuje się wiele różnych metod statystycznych. Wyznaczenie z szeregu trendu jest najprostsze. Zadanie wyznaczenia trendu – funkcji f(t) – jest nazywane wygładzaniem (wyrównywaniem) szeregu czasowego. Możemy tego dokonać stosując jedną z dwóch metod: - metodę analityczną (modelowanie rozwoju zjawiska z uwzględnieniem analizy regresji – określamy postać funkcji charakteryzującą tendencję rozwojową szeregu i wyznaczamy jej parametry); - metodę mechaniczną.

13 Analiza szeregów czasowych Metoda analitycznego wyrównywania szeregów polega na założeniu, że jego tendencję rozwojową (trend) da się przedstawić na wykresie za pomocą pewnej linii matematycznej np. prostej, krzywej wykładniczej itp. o określonym wzorze analitycznym. Metoda analitycznego wyrównania opiera się na dwóch rodzajach dowolnie przyjętych założeń: krzywa, którą uważa się za najlepsze wyrównanie szeregu ma określony z góry charakter analityczny; mogą istnieć różne kryteria, na podstawie których ocenia się "najlepsze dopasowanie krzywej" do wykresu danego szeregu. Jeżeli oba założenia zostaną ustalone, poszukiwana krzywa jest określona jednoznacznie i wyznaczenie jej analitycznego wzoru jest tylko sprawą rachunkową. Po wyborze postaci funkcji trendu i oszacowaniu jej parametrów, dokonuje się oceny jakości otrzymanego modelu. Model wykorzystujemy do sporządzania prognoz.

14 Analiza szeregów czasowych Przyszłą wartość zmiennej Y uzyskuje się przez ekstrapolację funkcji trendu tj. przez podstawienie do modelu w miejsce zmiennej czasowej numeru momentu lub okresu T, na który wyznaczamy prognozę:

15 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Rozważamy przypadek, gdy w szeregu czasowym występują wahania sezonowe. Odpowiedni model musi więc zawierać parametry i zmienne charakteryzujące te wahania w poszczególnych fazach tego cyklu. Dla uproszczenia rozważań i zapisu rozpatrujemy zjawisko o rocznym cyklu wahań z kwartałami jako fazami tego cyklu.

16 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Zakładając, że funkcja trendu jest liniowa a wahania okresowe (kwartalne) nakładają się na tendencję rozwojową w sposób addytywny sformułujemy model następująco: gdzie: X t,i (i=1,2,3,4; t=1,2,3…,n) są zmiennymi zero-jedynkowymi reprezentującymi poszczególne fazy cyklu

17 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Zmienne zero-jedynkowe: Parametry stojące przy zmiennych zero-jedynkowych (λ i ) charakteryzują absolutną wielkość wahań okresowych w poszczególnych kwartałach. Założenia dotyczące składnika losowego ε t są takie same jak w modelu nie uwzględniającym wahań okresowych.

18 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Kolumny macierzy X są liniowo zależne

19 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) W modelu należy jedną spośród zmiennych przedstawić jako kombinację pozostałych (oznacza to eliminację tej zmiennej). Zastąpimy zmienną X t,1 przez kombinację liniową otrzymaną z zależności:

20 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) W wyniku podstawienia model (1) przyjmie następującą postać:

21 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Model tendencji rozwojowej z liniową funkcją trendu oraz wahaniami sezonowymi przyjmie zatem postać: gdzie : y t – poziom zjawiska w okresie t, - stała, - parametr przy zmiennej czasowej, - parametr przy zmiennej X t,i ε t – składnik losowy dla okresu t

22 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Przyjmując odnośnie do rozkładu ε t takie same założenia jak w klasycznym modelu regresji, uzyskujemy podstawę do szacowania parametrów funkcji trendu za pomocą MNK. dane niezbędne do obliczeń: X – macierz wartości zmiennych objaśniających (kolumny są liniowo niezależne) Y- wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y

23 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) wektor ocen parametrów modelu trendu z wahaniami sezonowymi obliczamy ze wzoru:

24 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Wybrane wyniki (obliczenia w Excel) wskazują, iż model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki φ 2 i V przyjmują wartości bardzo małe):

25 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Model zużycia energii elektrycznej w firmie jest postaci: interpretacja: 2,569 – jest oceną wyrazu wolnego modelu (7) na który składa się wyraz wolny i odchylenie okresowe dla I kwartału z modelu w postaci wyjściowej (5); 0,106 – ocena współczynnika trendu, wyraża tendencję rozwojową zużycia energii elektrycznej i jest interpretowany jako średni kwartalny wzrost zużycia energii w firmie (w mln kWh) w latach ; 0,994- ocena parametru stojącego przy zmiennej X t,2 reprezentuje odchylenie sezonowe zużycia energii dla II kwartału w porównaniu z I kwartałem. Oznacza, że z tytułu wahań sezonowych zużycie energii w firmie w II kwartale każdego roku jest wyższe o 0,994 mln kWh od zużycia w I kwartale; Podobnie (jak ocenę parametru stojącego przy zmiennej X t,2 ) interpretuje się oceny 0,187 i 1,548 parametrów przy X t,3 oraz X t,4.

26 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh) Prognoza zużycia energii w firmie: w I kwartale 2008 roku w II kwartale 2008 roku

27 zużycie energii elektrycznej w firmie latach (w mln kWh)


Pobierz ppt "Analiza szeregów czasowych dr Małgorzata Radziukiewicz."

Podobne prezentacje


Reklamy Google