Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

. Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 II Zadanie programowania liniowego PL przy ograniczeniach.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: ". Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 II Zadanie programowania liniowego PL przy ograniczeniach."— Zapis prezentacji:

1 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 II Zadanie programowania liniowego PL przy ograniczeniach : dim x=[n*1], dim c=[n*1] Macierz A odpowiada za współczynniki w m ograniczeniach dim A=[m x n] Wektor wyrazów wolnych b odpowiada za prawą stronę ograniczeń dim b =[m*1]

2 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Postać kanoniczna II zadania PL

3 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Optymalne rozwiązanie II zadania PL metodą dualną simpleks Twierdzenie: Rozwiązanie bazowe dopuszczalne układu równań Ax=b jest rozwiązaniem optymalnym II zadania PL, jeśli są spełnione warunki: (i) Warunek dualnej dopuszczalności: (ii) Warunek dualnej optymalności

4 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Algorytm dualny simpleks Krok 1. (start). Rozpoczynamy algorytm od znalezienia pierwszej tablicy dualnie dopuszczalnej. Należy sprawdzić dualną dopuszczalność rozwiązania: czy Tak - idź do Kroku 2, Nie – koniec. Krok 2. (test optymalności). Czy dla każdego ? Tak - to aktualne rozwiązanie jest optymalne. Nie - idź do Kroku 3. Krok 3. (Wybór zmiennej usuwanej z bazy). Wybierz jako zmienną usuwaną z bazy taką zmienną dla której Typową regułą jest wybór zmiennej dla której: Idż do Kroku 4.

5 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Algorytm dualny simpleks c.d. Krok 5. (eliminacja). Dokonaj dualną iterację simpleksową metodą eliminacji Gauss’a poprzez wprowadzenie do bazy oraz usunięcie Idź do Kroku 2. Krok 4. (wybór zmiennej wprowadzanej do bazy). Wybierz jako zmienną wchodzącą do bazy taką zmienną dla której Jeśli wiele zmiennych spełnia ten warunek, wybierz arbitralnie jedną z nich. Idż do Kroku 5.

6 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Przykład II zadania programowania liniowego – dualna metoda simpleks -x 1 -x 2 -x X3X X4X X5X5 -3 -x 1 -x 3 -x 0 -3½½ X2X2 3½-1/2 x4x4 -3-3/2-1/2 X5X5 0 -x 4 -x 3 -X 0 -41/3 X2X2 2 -2/3 X1X1 2 1/3 X5X5 1-1/3 tablica początkowatablica pośredniatablica optymalna tablica dualnie dopuszczalnatablica jeszcze nie optymalnatablica z rozwiązaniem optymalnym Rozwiązanie optymalne:

7 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 III Zadanie programowania liniowego PL przy ograniczeniach : dim x=[n*1], dim c=[n*1] Macierze A 1, A 2 odpowiadają za współczynniki w m 1 i m 2 ograniczeniach dim A 1 =[m 1 * n], dim A 2 =[m 2 * n] Wektory b 1, b 2 odpowiadają za prawe strony ograniczeń dim b 1 =[m 1 *1], dim b 2 =[m 2 *1]

8 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Zadanie programowania liniowego dla ograniczeń mniejszościowych i większościowych I faza - należy znaleźć pierwsze rozwiązanie bazowe dopuszczalne poprzez rozwiązanie zadania pomocniczego II faza - maksymalizacja funkcji celu x 0 dla następnego rozwiązania bazowego dopuszczalnego wg algorytmu simpleks. Metoda dwóch faz Krok 1. (start). Rozpoczynamy algorytm od znalezienia pierwszego rozwiązania bazowego dopuszczalnego. Należy sprawdzić dopuszczalność rozwiązania: czy Tak - idź do Kroku 2, Nie – STOP. Algorytm simpleks (prymalny) – I faza Krok 1 – nie ma możliwości stworzenia pierwszego rozwiązania bazowego dopuszczalnego

9 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 I faza metody PL – Nieznane pierwsze rozwiązanie bazowe dopuszczalne I.1 - technika zadania pomocniczego I.2 - technika pomocniczej funkcji celu Ad. I.1 Rozwiązanie zadania pomocniczego PL z funkcją celu w postaci funkcji liniowej z 0 Gdzie I t jest macierzą jednostkową rzędu t.

10 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 I faza metody PL cd. Wprowadzamy wektor zmiennych pomocniczych dim = m- t Rozwiązanie bazowe dopuszczalne układu równań: Należy znaleźć inne rozwiązanie bazowe dopuszczalne, w którym lub stwierdzić, że takie rozwiązanie nie istnieje.

11 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 I faza metody – zadanie pomocnicze PL Zmienna x 0 zawsze pozostaje zmienną bazową. Rozwiązaniem początkowym zadania PL I fazy jest Oraz

12 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Ad.I.2 Pomocnicza funkcja celu Uproszczona wersja I fazy metody dwufazowej simpleks – uzyskanie bazowego rozwiązania dopuszczalnego Jeśli wektor b w początkowej tablicy simpleksowej ma przynajmniej jedną ujemną współrzędną, to tablica przedstawia niedopuszczalne rozwiązanie bazowe. Początkową niedopuszczalną tablicę simpleksową można przekształcić wykorzystując algorytm simpleks. Cel – uzyskanie nieujemnych wartości zmiennych bazowych Należy znaleźć wiersz s, dla którego współczynnik y io przyjmuje najmniejszą wartość Wybrany wiersz s będzie stanowił pomocniczą funkcję celu, którą należy zmaksymalizować. Kolejne kroki metody simpleks powinny być prowadzone do uzyskania dopuszczalnej tablicy simpleks, tzn. takiej dla której spełniony jest warunek prymalnej dopuszczalności: Koniec I fazy

13 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Krok 1. (start- wybór pomocniczej funkcji celu). Rozpoczynamy algorytm od znalezienia wiersza s, dla którego oraz Krok 2. (Wybór zmiennej wchodzącej do bazy). Wybierz jako zmienną wchodzącą do bazy taką zmienną dla której Typową regułą jest wybór zmiennej, dla której: Idż do Kroku 3. Jeśli brak takiego s ( ) to tablica odpowiada dopuszczalnemu rozwiązaniu bazowemu – należy przejść do II fazy. Jeśli jest brak takiej zmiennej ( ) to jest brak rozwiązania dopuszczalnego. Jest to problem sprzeczny. Ad.I.2 Pomocnicza funkcja celu Uproszczona wersja I fazy metody dwufazowej simpleks cd.

14 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Krok 4. (eliminacja Gauss’a). Wyznacz oraz względem zmiennych oraz zmiennejzgodnie z wyprowadzonymi wzorami. Podstaw aby otrzymać pierwsze rozwiązanie bazowe dopuszczalne. Idź do Kroku 1. Krok ten czasami nazywa się wymianą zmiennej bazowej ( piwotyzacją). Krok 3. (wybór zmiennej usuwanej z bazy). Wybierz jako zmienną usuwaną z bazy taką zmienną dla której Jeśli wiele zmiennych spełnia ten warunek, wybierz arbitralnie jedną z nich. Taki przypadek zawsze istnieje, ponieważ Idż do Kroku 5.

15 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Przykład III zadania programowania liniowego metoda dwufazowa simpleks -x 1 -x 2 x0x0 0-6 x3x3 -2 x4x4 3 1 x5x x 5 -x 2 x0x x3x x4x4 912 x1x x 5 -x 4 x0x0 28,53,52,5 X3X3 5,51,5-0,5 X2X2 4,50,5 X1X1 1,50,5-0,5 I fazaII faza cz.1II faza cz.2 Brak rozwiązania dopuszczalnego I rozwiązanie bazowe dopuszczalne II rozwiązanie bazowe dopuszczalne- rozwiązanie optymalne Rozwiązanie optymalne:

16 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Przypadki szczególne – zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem pustym - brak rozwiązania W metodzie dwufazowej simpleks algorytm w I fazie obliczeń nie potrafi stworzyć pierwszego rozwiązania bazowego dopuszczalnego z powodu braku rozwiązań dopuszczalnych. Przykład: Nie jest spełniony warunek dopuszczalności drugiej tablicy simpleks i jednocześnie druga tablica wskazuje, że jest brak rozwiązań dopuszczalnych. -x 1 -x 2 -x 3 x0x0 0-1/211 x4x x5x5 -31/2-21 x6x x 1 -x 4 -x 3 x0x0 xxxx x2x2 xxxx x5x5 012 x6x6 xxxx

17 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Teoria dualności dla zadania programowania liniowego PL Twierdzenie 7.1 : Jeśli wektor x jest rozwiązaniem dopuszczalnym dla zadania prymalnego i wektor v jest rozwiązaniem dopuszczalnym dla zadania dualnego, to wartość funkcji celu w zadaniu dualnym nie może być mniejsza od wartości funkcji celu w zadaniu prymalnym.

18 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Twierdzenie 7.2 Jeśli jedno z pary wzajemnie dualnych zadań programowania liniowego PL i DPL posiada rozwiązanie optymalne, to ma je również zadanie dualne i obydwa zadania mają identyczne wartości funkcji celu tzn.: Twierdzenie 7.3 Jeśli zadanie dualne jest nieograniczone, to zadanie prymalne jest sprzeczne.

19 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Teoria dualności dla zadania PL cd. Twierdzenie 7.4 Niech (x r,x s ) i ( v r, v s ) będą odpowiednio rozwiązaniami dopuszczalnymi zadania prymalnego i dualnego, przy czym x s i v s są wektorami zmiennych dopełniających do postaci kanonicznej zadania w wektorach rozwiązań. Wtedy (x r,x s ) i ( v r, v s ) będą odpowiednio rozwiązaniami optymalnymi pary zadań prymalnego i dualnego, wówczas zachodzi warunek komplementarności zmiennych postaci: tzn. zachodzi

20 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Przykład I zadanie prymalne Przykład II System cięcia dłużyc Postać wektora rozwiązań: zadanie dualne

21 . Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 Teoria dualności dla zadania PL cd. x1x1 x2x2 x0x0 0-2 x3x3 511 x4x4 0 1 x5x Zadanie dualne: I. Rozwiązanie zadania dualnego metodą simpleks Rozwiązanie optymalne: a)Zadanie dualne b)Zadanie prymalne Wartość optymalna funkcji celu: x5x5 x2x2 x0x0 71/3-1/3 x3x3 3/2-1/62/3 x4x4 7/21/64/3 x1x1 7/21/61/3 x5x5 x3x3 x0x0 31/41/41/2 x2x2 9/4-1/43/2 x4x4 1/2 -2 x1x1 11/41/4-1/2


Pobierz ppt ". Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 7 II Zadanie programowania liniowego PL przy ograniczeniach."

Podobne prezentacje


Reklamy Google