© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 1 Modelowanie i podstawy identyfikacji - studia stacjonarne Wykład 11 i 12a /2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie – część I

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 2 Modele rozmyte są modelami matematycznymi przetwarzającymi informację zapisaną za pomocą zbioru reguł rozmytych „jeżeli – to” Rozmytość jest sposobem reprezentowania i przetwarzania niejednoznaczności (niepewności) określeń lingwistycznych (n.p. wysoka temperatura) Modele rozmyte - podstawy

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 3 Czy istnieje jeden rodzaj modeli rozmytych? Nie Wymienimy najczęściej stosowane w sterowaniu i podejmowaniu decyzji:  lingwistyczny model rozmyty – model Mamdani’ego  Takagi-Sugeno -Kanga model rozmyty (TSK)  Tsukamoto model rozmyty Przedstawimy w tym przedmiocie lingwistyczny model Mamdani’ego Modele rozmyte - podstawy

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 4 Modele rozmyte - podstawy Jak wygląda model rozmyty Mamdani’ego i jak działa? Baza reguł rozmytych Aktualna wartość wejścia x *, ani Small, ani Medium na pewno nie Large – jaka powinna być odpowiadająca takiej aktualnej wartości wejścia, aktualna wartość wyjścia y * ? x*x* Mechanizm/system wnioskowania rozmytego + y*y* zmienna rozmyta wartość zmiennej rozmytej

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 5 Modele rozmyte - podstawy W modelach rozmytych zależności pomiędzy zmiennymi modelu są reprezentowane za pomocą reguł rozmytych IF-THEN mających ogólną następującą postać If ascendent proposition then consequent proposition Jeżeli stwierdzenie przesłanki to stwierdzenie konkluzji

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 6 Modele rozmyte - podstawy Stwierdzenie przesłanki ma zawsze postać: Stwierdzenie konkluzji może mieć różną postać w zależności od typu modelu rozmytego W modelach lingwistycznych Mamdani’ego konkluzja ma postać: Zmienna rozmyta Wartość zmiennej rozmytej Rozmyte stwierdzenie przesłanki

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 7 Przykłady reguł nazywanych regułami rozmytymi If the heating power is high then the temperature will increase fast Jeżeli moc cieplna jest duża to temperatura będzie wzrastać szybko If pressure is high then volume is small Jeżeli ciśnienie jest wysokie to objętość jest mała Modele rozmyte - podstawy Zmienna rozmyta – wielkość o której zdecydowaliśmy, że będziemy ją mierzyć/oceniać korzystając z wartości rozmytych Wartość zmiennej rozmytej – wartość, której rozumienie definiujemy jako zbiór rozmyty posiadający nazwę/etykietę lingwistyczną Zmienna rozmyta Wartość zmiennej rozmytej Definicje:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 8 Modele rozmyte - podstawy x is A – poprzednik, przesłanka, stwierdzenie przesłanki y is B – następnik, konkluzja, stwierdzenie konkluzji rezultat, Określenia: Rozmyta reguła IF – THEN – spotykana terminologia Inne nazwy: reguła rozmyta (fuzzy rule), rozmyta implikacja (fuzzy implication), rozmyte zdanie warunkowe (fuzzy conditional statement) Forma: gdzie x, y – zmienne rozmyte/lingwistyczne A, B – wartości zmiennych rozmytych/lingwistycznych, odpowiednio x i y, zdefiniowane jako zbiory rozmyte na przestrzeniach rozważań X i Y

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 9 Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Wszystkie zbiory, również zbiory rozmyte definiujemy w przestrzeni rozważań Inne nazwy: obszar rozważań, przestrzeń, zbiór, domena rozważań, domena, zakres podstawowy, zbiór odniesienia Przestrzeń rozważań może być zbiorem dowolnej natury (dziedzina zbioru może być dowolnej natury) – w szczególności może to być dziedzina numeryczna czyli np. liczby rzeczywiste, całkowite W zastosowaniach z dziedziny sterowania – przestrzeń rozważań to najczęściej zbiór liczb rzeczywistych lub jego podzbiór

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 10 Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Niech X, dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem zwyklym A dziedziny rozważań X, nazywamy zbiór par: gdzie:  A jest funkcją przynależności zbioru zwykłego A, która każdemu elementowi x  X przypisuje dwuwartościowy stopień jego przynależności  A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym: Definicja: zbiór zwykły

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 11 Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Definicja: zbiór rozmyty Niech X, dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X, nazywamy zbiór par: gdzie:  A jest funkcją przynależności (membership function) zbioru rozmytego A, która każdemu elementowi x  X przypisuje stopień jego przynależności (grade of membership)  A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 12 Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Przykład:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 13 Funkcja przynależności realizuje odwzorowanie dziedziny rozważań X danej zmiennej do przedziału [0,1]: Funkcja przynależności przyporządkowuje każdemu elementowi x  X pewną wartość z przedziału [0,1]: Wartość ta, zwana stopniem przynależności informuje, w jakim stopniu element x  X należy do zbioru rozmytego A Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 14 Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Funkcja przynależności i stopień przynależności - porównanie Zbiór zwykły Zbiór rozmyty

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 15 Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Funkcje przynależności i stopień przynależności elementu przestrzeni rozważań do różnych zbiorów

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 16 Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów autora) i zależna od kontekstu Wysoki w Chinach Wysoki w Europie Wysoki w NBA Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 17 Przykłady zbiorów rozmytych Obiekt Struktura systemu sterowania Zbiory rozmyte dla sterowania wahadłem odwróconym Sterownik rozmyty Wahadło odwrócone

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 18 Przykłady zbiorów rozmytych Wejścia regulatora: Odchylenie od położenia pożądanego Położenie pożądane Położenie aktualne Zmiana odchylenia od położenia pożądanego Wyjście regulatora: Siła przyłożona do wózka – u(t)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 19 Zmienne lingwistyczne: „Odchylenie” – e(t) „Zmiana odchylenia” – „Siła” – u(t) Pożądane położenie: r(t) = 0 Zależności: Konwencja: Położenie  +  Odchylenie - ; Położenie  -  Odchylenie + Siła  + Zmiana położenia  +  Zmiana odchylenia - ; Zmiana położenia  -  Zmiana odchylenia + Przykłady zbiorów rozmytych

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 20 Przykłady zbiorów rozmytych Wartości lingwistyczne (dla wszystkich zmiennych):  ujemna, duża co do wartości – „neglarge”  ujemna, mała co do wartości – „negsmall”  zero – „zero”  dodatnia, mała co do wartości – „possmall”  dodatnia, duża co do wartości – „poslarge”

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 21 Przykłady zbiorów rozmytych Wahadło odwrócone w różnych pozycjach Położenie pożądane Odchylenie dodatnie Odchylenie ujemne Siła dodatnia Odchylenie dodatnie i zerowe Zmiana odchylenia ujemna Zmiana odchylenia dodatnia

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 22 Przykłady zbiorów rozmytych Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 23 Formy zapisu funkcji przynależności - wybrane  diagram ciągły lub dyskretny Ciągła (a) i dyskretna (b) graficzna forma (diagram) funkcji przynależności liczby rozmytej „około zera” Przykłady:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 24 Formy zapisu funkcji przynależności - wybrane  wektor przynależności Dyskretna funkcja przynależności w postaci wektora dla liczby rozmytej „około zera” Przykład:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 25 Formy zapisu funkcji przynależności - wybrane  suma lub całka Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy Przykład: Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy dla liczby rozmytej „około zera”

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 26 Formy zapisu funkcji przynależności - wybrane Ciągła funkcja przynależności w postaci całki Ciągła funkcja przynależnoś c i w postaci całki dla liczby rozmytej „około zera” Przykład:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 27 Charakterystyczne zbiory rozmyte Pusty zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności  A (x) posiada wartość zero dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem pustym i oznaczany jest symbolem  : Uniwersalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności  A (x) posiada wartość jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 28 Charakterystyczne zbiory rozmyte Normalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności  A (x) przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym rozmytym

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 29 Liczba rozmyta: Liczba rozmyta jest określana zbiór rozmyty normalny i wypukły na przestrzeni rozważań R Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera Charakterystyczne zbiory rozmyte Uwaga: Zbiór rozmyty wypukły – każdy jego przekrój na dowolnej wysokości jest pojedynczym odcinkiem

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 30 Popularne funkcje przynależności - złożone z odcinków Trójkątna funkcja przynależności: Przykład: triangle(x;20,60,80)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 31 Popularne funkcje przynależności - złożone z odcinków Trapezowa funkcja przynależności: Przykład: trapezoid(x;10,20,60,95)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 32 Popularne funkcje przynależności - gładkie Gaussowska funkcja przynależności: Przykład: gaussian(x;50,20)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 33 Dzwonowa funkcja przynależności: Przykład: bell(x;20,4,50) Popularne funkcje przynależności - gładkie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 34 Operacje na zbiorach rozmytych Operacje (logiczne, mnogościowe) na zbiorach rozmytych Główne operatory logiczne: 1. Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych 2. Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych 3. Operacja negacji (complement) zbioru rozmytego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 35 Operacje na zbiorach rozmytych Przykład: Definicja: Zawieranie (containment) lub podzbiór  Zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (lub, równoważnie, A jest podzbiorem B, lub A jest mniejszy lub równy B) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 36 Operacje na zbiorach rozmytych Definicja klasyczna: Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych  Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A  B lub C = A AND B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 37 Operacje na zbiorach rozmytych Operator min nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji przecięcia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji przecięcia Najczęściej stosowanymi operatorami przecięcia zbiorów rozmytych A  B są tak zwane T-normy (triangular norm) Definicja uogólniona : Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych  Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez funkcję T:[0,1]x[0,1]  [0,1], która agreguje dwa stopnie przynależności spełniając aksjomaty operacji przecięcia i oznaczana jest w następujący sposób: gdzie jest operatorem binarnym określonym dla funkcji T.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 38 Operacje na zbiorach rozmytych Niektóre operatory T – normy

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 39 Operacje na zbiorach rozmytych Definicja klasyczna: Połączenie (union) zbiorów rozmytych  Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A  B lub C = A OR B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 40 Operacje na zbiorach rozmytych Operator max nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji połączenia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji połączenia Najczęściej stosowanymi operatorami połączenia zbiorów rozmytych A  B są tak zwane S-normy Definicja uogólniona : Połączenie (union) zbiorów rozmytych  Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez funkcję S:[0,1]x[0,1]  [0,1], która agreguje dwa stopnie przynależności spełniając aksjomaty operacji połączenia i oznaczana jest w następujący sposób: gdzie jest operatorem binarnym określonym dla funkcji S.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 41 Operacje na zbiorach rozmytych Niektóre operatory S – normy

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 42 Operacje na zbiorach rozmytych Operacja negacji (complement, negation) zbioru rozmytego W logice nierozmytej: Definicja: Negacja (complement) zbioru rozmytego  Negacja zbioru rozmytego A jest zbiorem rozmytym  A, określonym zależnością: Przykład:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 43 Operacje na zbiorach rozmytych Inne operacje negacji 1. Negacje Sugeno (parametryzowane) gdzie 2. Negacje Yager’a (parametryzowane) gdzie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 44 Operacje na zbiorach rozmytych Dla wyróżnienia operatory: są nazywane klasycznymi lub standardowymi operatorami rozmytymi przecięcie połączenie negacja

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 45 Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Jak realizować operacje na zbiorach rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań? Operacje na zbiorach możemy przeprowadzać na zbiorach zdefiniowanych w jednej przestrzeni rozważań Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego Każdy n-wymiarowy zbiór rozmyty może być rozszerzony do wymiaru n+1 za pomocą rozszerzenie cylindrycznego Projekcja zbioru rozmytego Każdy n+1 - wymiarowy zbiór rozmyty może być ścieśniony do wymiaru n za pomocą projekcji

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 46 Definicja: Rozszerzenie cylindryczne  Jeżeli X 1 i X 2 są przestrzeniami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na X 1 to rozszerzeniem cylindrycznym zbioru A na przestrzeń rozważań X = X 1 x X 2 nazywamy odwzorowanie dla wszystkich dwójek x=(x 1,x 2 )  X 1 x X 2 określone wzorem dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 47 Przykład: rozszerzenie cylindryczne z R do R 2 Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 48 Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Definicja: Projekcja  Jeżeli X 1 i X 2 są dziedzinami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na przestrzeni iloczynowej X=X 1 xX 2 to projekcją tego zbioru na dziedzinę X 1 jest odwzorowanie: określone zależnością: dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 49 Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Przykład: projekcja z R 2 do R

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 50 Przykład: Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 51 Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Przykład:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I 52 Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu