Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury

Prezentacja na temat: "Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury"— Zapis prezentacji:

1 Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury
Systemy rozmyte są modelami przetwarzającymi informację za pomocą zbioru reguł rozmytych „jeżeli – to” Rozmytość jest sposobem reprezentowania niejednoznaczności (niepewności) określeń lingwistycznych (n.p. wysoka temperatura)

2 Przedstawimy w tym przedmiocie lingwistyczny model Mamdani’ego
Czy istnieje jeden rodzaj modeli rozmytych? Nie Wymienimy najczęściej stosowane w sterowaniu i podejmowaniu decyzji:  lingwistyczny model rozmyty  Takagi-Sugeno model rozmyty (TS)  Tsukamoto model rozmyty Przedstawimy w tym przedmiocie lingwistyczny model Mamdani’ego

3 Jak wygląda model rozmyty i jak działa?
Przykład: lingwistyczny model rozmyty Mechanizm/system wnioskowania rozmytego + y* Baza reguł rozmytych zmienna rozmyta wartość zmiennej rozmytej x* Aktualna wartość wejścia x*, ani Small, ani Medium na pewno nie Large – jaka powinna być odpowiadająca takiej aktualnej wartości wejścia, aktualna wartość wyjścia y * ?

4 W modelach rozmytych zależności pomiędzy zmiennymi modelu są reprezentowane za pomocą reguł IF-THEN mających ogólną następującą postać Przykłady reguł nazywanych regułami rozmytymi

5 Rozmyta reguła IF – THEN – możliwa postać
Inne nazwy: reguła rozmyta (fuzzy rule), rozmyta implikacja (fuzzy implication), rozmyte zdanie warunkowe (fuzzy conditional statement) Forma: gdzie x, y – zmienne rozmyte/lingwistyczne A, B – wartości zmiennych rozmytych/lingwistycznych, odpowiednio x i y, zdefiniowane jako zbiory rozmyte na przestrzeniach rozważań X i Y Określenia: x is A – poprzednik, przesłanka y is B – następnik, konkluzja, rezultat,

6 Stwierdzenie przesłanki ma zawsze postać:
Stwierdzenie konkluzji może mieć różną postać w zależności od typu modelu rozmytego W modelach lingwistycznych Mamdani’ego konkluzja ma postać:

7 Podstawowe pojęcie systemów rozmytych – ZBIÓR ROZMYTY
Zbiory rozmyte są powszechnie stosowane przez ludzi do jakościowej oceny wielkości fizycznych, stanów obiektów i systemów oraz do ich porównywania wartość rozmyta/lingwistyczna (zmiennej rozmytej/lingwistycznej) = zbiór rozmyty zdefiniowany funkcją przynależności na przestrzeni rozważań zmienna rozmyta/lingwistyczna

8 uczniowie klas pierwszych w liceach liczby rzeczywiste
Wszystkie zbiory definiujemy w przestrzeni rozważań Definicja:    - przestrzeń rozważań, uniwersalny zbiór będący przedmiotem naszego zainteresowania Inne nazwy: obszar rozważań, przestrzeń, zbiór, domena rozważań, domena, zakres podstawowy, zbiór odniesienia Przykłady: uczniowie klas pierwszych w liceach liczby rzeczywiste temperatura powietrza w Polsce miasta w Polsce Przestrzeń rozważań może być zbiorem dowolnej natury (dziedzina zbioru może być dowolnej natury) – w szczególności może to być dziedzina numeryczna

9 Definicja: zbiór zwykły (1)
Zwykły albo klasyczny zbiór jest definiowany jako zestaw elementów w X posiadający pewną specyficzną cechę Przykłady: chłopcy uczniowie klas pierwszych w liceach dodatnie liczby rzeczywiste temperatura powietrza latem w Polsce miasta wojewódzkie w Polsce

10 Można inaczej definiować zbiory zwykłe korzystając z pojęcia funkcji przynależności (funkcji charakterystycznej, funkcji wskaźnikowej) Definicja: funkcja przynależności zbioru zwykłego Funkcja przynależności zbioru zwykłego A w przestrzeni rozważań X (oznaczana μA(x)) jest odwzorowaniem z X w zbiór dwuelementowy {0,1}: μA(x):X  {0,1} takim, że

11 Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x
Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem zwyklym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności zbioru zwykłego A, która każdemu elementowi xX przypisuje dwuwartościowy stopień jego przynależności A(x) do zbioru rozmytego A, przy czym: Definicja: zbiór zwykły (2)

12 Definicj: Zbiór rozmyty (fuzzy set)
Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności (membership function) zbioru rozmytego A, która każdemu elementowi xX przypisuje stopień jego przynależności (grade of membership) A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym:

13 Przykład:

14 Funkcja przynależności (membership function) i stopień przynależności (grade of membership)
Funkcja przynależności realizuje odwzorowanie dziedziny rozważań X danej zmiennej do przedziału [0,1]: Funkcja przynależności przyporządkowuje każdemu elementowi xX pewną wartość z przedziału [0,1]: Wartość ta, zwana stopniem przynależności informuje, w jakim stopniu element xX należy do zbioru rozmytego A

15 Funkcja przynależności i stopień przynależności - porównanie
Zbiór zwykły Zbiór rozmyty

16 Funkcje przynależności i stopień przynależności elementu przestrzeni rozważań do różnych zbiorów

17 Ocena prawdziwości stwierdzeń w logice klasycznej
„Jan jest wysoki” Prawda czy fałsz? Wzrost Jana:

18 Ocena prawdziwości stwierdzeń w logice rozmytej
„Jan jest wysoki” Prawda w jakim stopniu? Wzrost Jana:

19 Wysoki w Chinach Wysoki w Europie Wysoki w NBA
Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów autora) i zależna od kontekstu Wysoki w Chinach Wysoki w Europie Wysoki w NBA

20 Przykłady zbiorów rozmytych:
 zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej nieuporządkowanej Niech X zbiór miast, spośród których ktoś może wybrać miejsce zamieszkania A – miasto pożądane do zamieszkania

21  zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej uporządkowanej
Niech X zbiór liczby dzieci, jaką rodzina może mieć A – rozsądna liczba dzieci w rodzinie

22  zbiór rozmyty na dziedzinie ciągłej
Niech X możliwy wiek ludzi A – ludzie w wieku około 50 lat gdzie:

23  zbióry rozmyte dla sterowania wahadłem odwróconym
Obiekt Struktura systemu sterowania

24 Odchylenie od położenia pożądanego Położenie pożądane
Wejścia regulatora: Odchylenie od położenia pożądanego Położenie pożądane Położenie aktualne Wyjście regulatora: Zmiana odchylenia od położenia pożądanego Siła przyłożona do wózka – u(t)

25 Zmienne lingwistyczne:
Pożądane położenie: „Odchylenie” – e(t) r(t) = 0 „Zmiana odchylenia” – Zależności: „Siła” – u(t) Konwencja: Położenie  +  Odchylenie - ; Położenie  -  Odchylenie + Zmiana położenia  +  Zmiana odchylenia - ; Zmiana położenia  -  Zmiana odchylenia + Siła  +

26 Wartości lingwistyczne (dla wszystkich zmiennych):
 ujemna, duża co do wartości – „neglarge”  ujemna, mała co do wartości – „negsmall”  zero – „zero”  dodatnia, mała co do wartości – „possmall”  dodatnia, duża co do wartości – „poslarge”

27 Wahadło odwrócone w różnych pozycjach
Położenie pożądane Odchylenie dodatnie Odchylenie ujemne Odchylenie zerowe Zmiana odchylenia dodatnia Zmiana odchylenia ujemna Siła dodatnia

28 Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych

29 Funkcja przynależności może być wyrażona w postaci:
 diagramu ciągłego lub dyskretnego,  wzoru matematycznego,  tabeli,  wektora przynależności,  sumy lub całki Przykłady: Ciągła (a) i dyskretna (b) graficzna forma (diagram) funkcji przynależności liczby rozmytej „około zera”

30 Elementami xi w tabeli mogą być nie tylko liczby
Funkcja przynależności w postaci wzoru dla liczby rozmytej „około zera” Dyskretna funkcja przynależności w postaci tabeli dla liczby rozmytej „około zera” xiX x1=-a x2=-0.75a x3=-0.5a x4=-0.25a x5=0 x6=0.25a x7=0.5a x8=0.75a x9=a (x) 0.25 0.5 0.75 1 Elementami xi w tabeli mogą być nie tylko liczby xiX Firma1 Firma2 ..... Firma (n-1) Firman (x) 0.4 0.5 1.0

31 Dyskretna funkcja przynależności w postaci wektora dla liczby rozmytej „około zera”

32 Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy dla liczby rozmytej „około zera”
Ciągła funkcja przynależności w postaci całki dla liczby rozmytej „około zera”

33 Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego
Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego jest A jest formą przedstawiania zbioru rozmytego jako zbioru par (element x zbioru A, stopień przynależności elementu x do zbioru A) Przykłady pionowej reprezentacji zbioru rozmytego

34 Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego
Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego A polega na przedstawianiu tego zbioru za pomocą tzw.  - przekrojów A tego zbioru.  - przekrój Aα zbioru rozmytego A jest nierozmytym podzbiorem przestrzeni rozważań X , którego elementy wszystkie posiadają stopień przynależności równy lub większy   - przekrój Aα jest nazywany ścisłym jeżeli Wartość  nazywana jest  - poziomem Oznaczenia (inne):  - przekrój(A), przekrój(A,), Aα , A>α

35 Ilustracja graficzna Przykładowe  - przekroje zbioru rozmytego A

36 Charakterystyczne parametry zbioru rozmytego:
Nośnik zbioru rozmytego A (support): Nośnik zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X, którego wszystkie elementy mają niezerowy stopień przynależności do zbioru A

37 Jądro zbioru rozmytego A (core, kernel):
Jądro zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X złożony ze wszystkich elementów o stopniu przynależności równym 1

38 Wysokość zbioru rozmytego A (height):
Wysokością zbioru rozmytego A nazywamy supremum funkcji przynależności elementów zbioru A w całej dziedzinie rozważań zbioru X

39 Wypukłość zbioru rozmytego A:
Zbiór rozmyty zdefiniowany w przestrzeni rozważań Rn jest wypukły jeżeli każdy jego  - przekrój jest zbiorem wypukłym

40 Przykład: wiek kierowcy wysokiego ryzyka dla ubezpieczeń samochodów

41 Liczba kardynalna zbioru rozmytego A:
Mocą zbioru rozmytego A, A lub liczbą kardynalną card(A) tego zbioru określonego na przestrzeni dyskretnej X nazywamy a w przypadku przestrzeni ciągłej

42 Charakterystyczne zbiory rozmyte
Pusty zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość zero dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem pustym i oznaczany jest symbolem : Uniwersalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U:

43 Normalny zbiór rozmyty
Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym rozmytym

44 Normalny zbiór rozmyty A (trochę inaczej):
Zbiór rozmyty A jest normalny, jeżeli xX taki, że μA(x)=1. Zbiór rozmyty, który nie jest normalny nazywany jest subnormalnym Operator normalizacji: Operator jest nazywany operatorem normalizacji, tzn.

45 Liczba rozmyta: Pojęcie liczby rozmytej jest używane (czasem) dla wskazania zbioru rozmytego normalnego i wypukłego określonego na R Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera

46 Rodzaje funkcji przynależności zbiorów rozmytych - jednowymiarowe
- funkcje przynależności złożone z odcinków prostych Kształty najczęściej stosowanych odcinkowo – liniowych funkcji przynależności

47 Zalety wielokątnych funkcji przynależności:
 mała liczba danych potrzebna do zdefiniowania funkcji przynależności  łatwość modyfikacji parametrów funkcji przynależności w oparciu o dane pomiarowe wejście – wyjście systemu Wady wielokątnych funkcji przynależności:  są nieróżniczkowalne

48 Trójkątna funkcja przynależności:
Przykład: triangle(x;20,60,80)

49 Trapezowa funkcja przynależności:
Przykład: trapezoid(x;10,20,60,95)

50 - intuicyjne funkcje przynależności
Aksjomaty: A1. Intuicyjne funkcje przynależności (x) są ciągłe w całym zakresie dziedziny rozważań A2. Pierwsza pochodna intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A3. Druga pochodna intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A4. Zakrzywienia intuicyjnej funkcji przynależności (x) są minimalne

51 Przykłady matematycznych reprezentacji intuicyjnych funkcji przynależności:
1. Funkcja przynależności Gaussa 2. Dzwonowa funkcja przynależności 3. Sigmoidalne funkcje przynależności

52 Gaussowska funkcja przynależności:
Przykład: gaussian(x;50,20)

53 Dzwonowa funkcja przynależności:
Przykład: bell(x;20,4,50)

54 Dzwonowa funkcja przynależności – znaczenie parametrów:

55 Dzwonowa funkcja przynależności – wpływ zmian wartości parametrów na kształt FP:

56 Sigmoidalna funkcja przynależności:
Przykłady Dwie prawe FP sigmoidalne Prawa i lewa FP sigmoidalne

57 Poza jednowymiarowymi przestrzeniami rozważań możemy mieć do czynienia z wielowymiarowymi przestrzeniami rozważań, które są iloczynem kartezjańskim X przestrzeni składowych X1, X2, ...., Xn wielkości o różnym charakterze Przykład: X1 – zbiór obywateli X2 – zbiór banków Definiowanie zbiorów rozmytych dla wielowymiarowych przestrzeni rozważań Bezpośrednio

58 Definicja – składana i nieskładana dwuwymiarowa FP
Dwuwymiarowe i n-wymiarowe funkcje przynależności mogą jedną z dwóch kategorii: 1. składaną funkcją przynależności 2. nieskładaną funkcją przynależności Ograniczymy się do przypadku dwuwymiarowego Definicja – składana i nieskładana dwuwymiarowa FP Dwuwymiarowa FP jest nazywana składaną FP, jeżeli może być ona analitycznie wyrażona za pomocą dwóch jednowymiarowych FP, w przeciwnym przypadku jest ona nieskładana

59 Przykład: Niech w przestrzeni X x Y  R2 określony jest zbiór rozmyty A funkcją przynależności

60 Funkcja przynależności
może być przedstawiona jako

61 Przykład: Niech w przestrzeni X x Y  R2 określony jest zbiór rozmyty A funkcją przynależności FP dwuwymiarowa nieskładana

62 Modyfikatory lingwistyczne zbiorów rozmytych
Weźmy zmienną lingwistyczną wiek Dziedzina rozważań lingwistyczna tej zmiennej może być podana w następujący sposób: Xwiek = {młody, nie młody, bardzo młody, nie bardzo młody, ... średniego wieku, nie średniego wieku, ... stary, nie stary, bardzo stary, mniej więcej stary, nie bardzo stary, .... nie bardzo młody i nie bardzo stary, ... } W tej dziedzinie możemy wyróżnić: podstawowe (pierwotne) wartości lingwistyczne zmiennej – primary term (młody, średniego wieku, stary) zmieniane przez negację - negation (nie) (nie stary) i/lub modyfikatory – hedges (bardzo, mniej więcej, całkiem, krańcowo, ...) i następnie powiązane łącznikami – connectives (i, lub albo ... albo, ani ... ani,..)

63 Modyfikatory umożliwiają tworzenie pochodnych zbiorów rozmytych na bazie zbiorów podstawowych bez ponownego definiowania funkcji przynależności Wyróżnia się przy tym - modyfikatory mocy (powered hedges) -modyfikatory przesunięcia (shifted hedges) Modyfikatory mocy są realizowane za pomocą funkcji, które działają na stopniach przynależności i mają ogólną postać Modyfikatory przesunięcia przemieszczają funkcję przynależności w jej dziedzinie

64 Powszechnie stosowane modyfikatory mocy: Bardzo, Mniej więcej
Bardzo: (operator koncentracji) Mniej więcej: (operator rozcieńczania – dylatacji) Definicja: Bardzo, Mniej więcej

65 Przykład: zastosowanie modyfikatora mocy „very” w definiowaniu zbiorów rozmytych w przestrzeni „wzrost mężczyzny”

66 Przykładowe inne spotykane modyfikatory

67 Przykładowe inne spotykane modyfikatory

68 Operacje (logiczne, mnogościowe) na zbiorach rozmytych
Główne operatory logiczne: 1. Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych 2. Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych 3. Operacja negacji (complement) zbioru rozmytego

69 Operacje na zbiorach klasycznych

70 Definicja: Zawieranie (containment) lub podzbiór
 Zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (lub, równoważnie, A jest podzbiorem B, lub A jest mniejszy lub równy B) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x Przykład:

71 Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych
Własności: W logice nierozmytej: Przemienność: Łączność: Idempotentność: Absorbcja: Identycznność: Wyłączna sprzecznność: Nie wszystkie te własności przenoszą się na operacje na zbiorach rozmytych

72 Definicja: Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych
 Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A  B lub C = A AND B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład:

73 Operator min nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji przecięcia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji przecięcia Najczęściej stosowanymi operatorami przecięcia zbiorów rozmytych AB są tak zwane T-normy (triangular norm) Definicja uogólniona : Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych  Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez funkcję T:[0,1]x[0,1][0,1], która agreguje dwa stopnie przynależności w następujący sposób: gdzie jest operatorem binarnym określonym dla funkcji T. Ta klasa operatorów rozmytego przecięcia, która zwykle kojarzona jest jako operatory T-normy spełnia podane niżej podstawowe wymagania

74 Definicja: T - norma  Operator T – normy jest funkcją dwuargumentową spełniającą następujące warunki: 1. dziedziny odwzorowania 2. zerowanie (boudary) 3. tożsamość jedynki (boundary) 4. monotoniczność (monotonicity) 5. przemienność (commutativity) 6. łączność (associativity)

75 Operatory T – normy dzielą się na nastawialne (sparametryzowane) i nienastawialne
Niektóre nienastawialne operatory T – normy

76 Niektóre nastawialne operatory T – normy

77 Uwagi:  Największe wartości funkcji przynależności daje operator MIN, inne operatory T – normy dają wartości mniejsze Twierdzenie: Wszystkie operatory T – normy są ograniczone od dołu przez operator iloczynu drastycznego a od góry przez operator MIN  Do realizacji operacji przecięcia zbiorów rozmytych stosuje się nie tylko operatory będące T - normami

78 Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych
Własności: W logice nierozmytej: Przemienność: Łączność: Idempotentność: Połączenie ze zbiorem Ø: Absorpcja: Poł. ze zbiorem komplem.: Nie wszystkie te własności przenoszą się na operacje na zbiorach rozmytych

79 Definicja: Połączenie (union) zbiorów rozmytych
 Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A  B lub C = A OR B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład:

80 Operator max nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji połączenia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji połączenia Najczęściej stosowanymi operatorami połączenia zbiorów rozmytych AB są tak zwane S-normy Definicja uogólniona : Połączenie (union) zbiorów rozmytych  Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez funkcję S:[0,1]x[0,1][0,1], która agreguje dwa stopnie przynależności w następujący sposób: gdzie jest operatorem binarnym określonym dla funkcji S. Ta klasa operatorów rozmytego połączenia, która zwykle kojarzona jest jako operatory S-normy spełnia podane niżej podstawowe wymagania

81 Definicja: S - norma  Operator S – normy jest funkcją dwuargumentową spełniającą następujące warunki: 1. dziedziny odwzorowania 2. zerowanie (boudary) 3. tożsamość zera (boundary) 4. monotoniczność (monotonicity) 5. przemienność (commutativity) 6. łączność (associativity)

82 Operatory S – normy dzielą się na nastawialne (sparametryzowane) i nienastawialne
Niektóre nienastawialne operatory S – normy

83 Niektóre nastawialne operatory S – normy

84 Uwagi:  Najmniejsze wartości funkcji przynależności daje operator MAX, operatory S – normy dają wartości większe Twierdzenie: Wszystkie operatory S – normy są ograniczone od dołu przez operator MAX a od góry przez operator sumy drastycznej  Do realizacji operacji połączenia zbiorów rozmytych stosuje się nie tylko operatory będące S - normami

85 Komplementarne pary T – norm i S - norm
Operatory T – normy i S – normy tworzą pary komplementarne spełniające warunek: Komplementarne pary T – norm i S - norm T – norma (S – konorma) S – norma (T – konorma)

86 Operacja negacji (complement, negation) zbioru rozmytego
W logice nierozmytej: Definicja: Negacja (complement) zbioru rozmytego  Negacja zbioru rozmytego A jest zbiorem rozmytym A, określonym zależnością: Przykład:

87 Inne operacje negacji 1. Negacje Sugeno (parametryzowane) gdzie 2. Negacje Yager’a (parametryzowane) gdzie

88 Dla wyróżnienia operatory:
przecięcie połączenie negacja są nazywane klasycznymi lub standardowymi operatorami rozmytymi

89 Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego
Operacje na zbiorach możemy przeprowadzać na zbiorach zdefiniowanych w jednej przestrzeni rozważań Jak realizować operacje na zbiorach rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań? Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego Każdy n-wymiarowy zbiór rozmyty może być rozszerzony do wymiaru n+1 za pomocą rozszerzenie cylindrycznego Projekcja zbioru rozmytego Każdy n+1 - wymiarowy zbiór rozmyty może być ścieśniony do wymiaru n za pomocą projekcji

90 Definicja: Rozszerzenie cylindryczne
 Jeżeli X1 i X2 są przestrzeniami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na X1 to rozszerzeniem cylindrycznym zbioru A na przestrzeń rozważań X = X1 x X2 nazywamy odwzorowanie określone wzorem dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej dla wszystkich dwójek x=(x1,x2)X1 x X2

91 Przykład: rozszerzenie cylindryczne z R do R2

92 Definicja: Projekcja  Jeżeli X1 i X2 są dziedzinami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na przestrzeni iloczynowej X=X1xX2 to projekcją tego zbioru na dziedzinę X1 jest odwzorowanie: określone zależnością: dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej

93 Przykład: projekcja z R2 do R

94 Przykład: Zbiór A określony na przestrzeni X1xX2 dyskretnej. Należy określić projekcje tego zbioru na przestrzeń X1 Zbiór A(x1,x2) - dyskretny Projekcja zbioru A(x1,x2) na przestrzeń X1

95 Operacje takie jak połączenie lub przecięcie zastosowane do zbiorów rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań prowadzą do wielowymiarowych zbiorów rozmytych na iloczynach kartezjańskich tych przestrzeni W istocie operacje takie realizowane są poprzez, najpierw realizację rozszerzenia cylindrycznego a dopiero potem samej wymaganej operacji na rozszerzeniach zbiorów

96 Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych
Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio, określonymi w nich funkcjami przynależności μA(·) i μB(·). Iloczyn kartezjański zbiorów A i B, oznaczony AxB, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y mającym funkcję przynależności mającym funkcję przynależności np.

97 Suma kartezjańska zbiorów rozmytych
Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio, określonymi w nich funkcjami przynależności μA(·) i μB(·). Suma kartezjańska zbiorów A i B, oznaczona A+B, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y mającym funkcję przynależności np.

98 Przykład:

99 Przykład: