Wykład drugi Szereg Fouriera Warunki istnienia Podstawowe postacie i zależności Widmo amplitudowo-fazowe 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Postacie trygonometryczne szeregu Fouriera funkcji okresowych: gdzie: 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Wzory podstawowe dla współczynników: Składowa stała 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Wykładnicza postać szeregu Fouriera: Wykorzystując wzory: w definicyjnej postaci trygonometrycznej: 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

I wprowadzając następujące oznaczenia: Otrzymamy wykładniczą postać szeregu Fouriera: Gdzie współczynniki Zespolone są postaci: A dla n=0: 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Wsp. postaci trygonometrycznych Związki między współczynnikami postaci trygonometrycznej i wykładniczej: Wsp.zespolony Wsp. postaci trygonometrycznych 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Szeregi FOURIERA -warunki Jeżeli dla funkcji okresowej spełnione są warunki: Bezwzględnej całkowalności Skończonej liczby punktów ekstremalnych Skończonej liczby nieciągłości (o skończonej wartości) 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

to szereg Fouriera jest zbieżny do funkcji oryginalnej we wszystkich punktach gdzie jest ona ciągła, a we wszystkich punktach nieciągłości ti zbiega się do wartości: 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Niespełniony warunek 2): 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Niespełniony warunek 3): 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Funkcja okresowa nie musi być ciągła: dla t1: dla T: 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

ZADANIE 1)            1)   Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera oraz wykładniczego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji.   Am1 Am2 x(t) t T T/2 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Rozwiązanie: Tabela 1 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ak   bk Amk 1.621 -0.18 -0.065 -0.033 0.02 Φk -90 90 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

SYNTEZA PRZEBIEGU: DLA N=50 HARMONICZNYCH 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

DLA N=3 DLA N=10 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

PRZYKŁAD 2 1)            Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji. 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Rozwiązanie: 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

n=10 n=50 Synteza sygnału n=200 Efekt Gibbsa 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Widmo sygnału okresowego Widmem zespolonym sygnału okresowego nazywamy ciąg współczynników rozwinięcia funkcji okresowej f(t) w zespolony szereg Fouriera. 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Widmo sygnału okresowego (cd) Widmem amplitudowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych : Widmem fazowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych : 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Widmo sygnału okresowego (cd) Z zależności Wynika, że widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a fazowe nieparzystą 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Aproksymacja sygnału  reprezentacja sygnału okresowego skończoną liczbą wyrazów szeregu Fouriera (sumą częściową) Stąd definiuje się pojęcie błędu aproksymacji: 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Za miarę tego błędu przyjmuje się wartość skuteczną sygnału błędu: Można wykazać, że 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Kryterium dokładności aproksymacji sygnału okresowego f(t) jego sumą częściową jest zazwyczaj błąd względny Na jego podstawie można wyliczyć liczbę wyrazów sumy częściowej zapewniającą aproksymację sygnału f(t) o założonej dokładności. 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Efekt Gibbsa N=7 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

N=11 N=15 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

N=25 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Zjawisko Gibbsa (cd) Zwiększenie liczby wyrazów w sumie częściowej zmniejsza błąd aproksymacji Ale w sygnałach o skokowych zmianach wartości w otoczeniu punktów nieciągłości występują niekorzystne oscylacje funkcji (sygnału)  efekt Gibbsa 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Zjawisko Gibbsa (cd) Można wykazać, że w otoczeniu punktu nieciągłości (w którym funkcja okresowa zmienia wartość skokowo) skończony szereg aproksymujący posiada oscylacje, z których największa przyjmuje wartość ~9% wartości skoku w punkcie nieciągłości 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

9% 100% 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Podsumowanie: Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf (k) Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera Suma składowej stałej i harmonicznych o postaci gdzie 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Podsumowanie (cd) Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera (cd) Suma składowej stałej i funkcji cosinusoidalnych i sinusoidalnych Suma składników zespolonych (zespolony szereg Fouriera) 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Podsumowanie (cd) Podstawowe wzory umożliwiające obliczenie współczynników drugiej postaci: 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Podsumowanie (cd) Podstawowe relacje między postaciami szeregu (I i II) 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ

Podsumowanie (cd) Wsp.zespolony Wsp. postaci trygonometrycznych Związki między współczynnikami postaci trygonometrycznej i wykładniczej: Wsp.zespolony Wsp. postaci trygonometrycznych 2017-04-26 PTS 2015/6 PŁ