Lepiej kombinować, czy wariować? Adam Kiersztyn Patrycja Jędrzejewska

Ustalmy na czy stoimy – czyli kilka pytań do Was. Co to jest zbiór? Nieuporządkowany zestaw pewnych elementów. Czym jest ciąg? „Ponumerowane”, „uporządkowane” elementy zbioru. Czym różni się ciąg od zbioru? W zbiorze elementy są nieuporządkowane (np. jabłka w koszyku), czyli ich kolejność jest nieistotna, w ciągu zaś- wyrazy są uporządkowane, czyli ich kolejność jest ważna.

Na ile sposobów można utworzyć zbiór składający się z 5 elementów, a na ile sposobów ciąg składający się z 5 elementów, w którym elementy nie mogą się powtarzać?

W pierwszym przypadku istnieje tylko 1 możliwość, bowiem w zbiorze nie jest istotna kolejność. W drugim przypadku nie jest już tak łatwo. (Pamiętajmy, że w ciągu kolejność ma istotne znaczenie!)

Mamy 5 możliwości wyboru Mamy 1 możliwości wyboru Mamy 2 możliwości wyboru Mamy 3 możliwości wyboru Mamy 4 możliwości wyboru

Permutacja

Krok dalej…

1 2 3 Mamy 5 możliwości wyboru Mamy 3 możliwości wyboru Mamy 4 możliwości wyboru

Wariacja bez powtórzeń

A teraz przyszedł czas na określenie liczby możliwych do utworzenia zbiorów 3- elementowych ze zbioru 5-elementowego. W zbiorze kolejność elementów jest bez znaczenia! Kolekcje ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA traktowane jako ciągi są różne, ale traktowane jako zbiory są jednakowe.

Kombinacja bez powtórzeń Co to jest kombinacja bez powtórzeń? k- wyrazowy zbiór utworzony z n-elementowego zbioru Czym się różni kombinacja od wariacji? kombinacje zbiory wariacje ciągi Wzór na liczbę kombinacji.

Wariacja i kombinacja z powtórzeniami. Czy dopuszczenie powtórzeń ma wpływ na liczbę kombinacji i wariacji? TAK, ma Jakie są wzory w przypadku dopuszczenia powtórzeń?

Jak się w tym wszystkim połapać? Aby właściwie dobrać stosowny wzór trzeba umieć odpowiedzieć na następujące pytania: Czy ważna jest kolejność występowania elementów? Czy elementy mogą się powtarzać? Czy wszystkie elementy są wykorzystywane? Znając odpowiedzi na pytania postępujemy zgodnie z algorytmem przedstawionym poniżej.

Czy ważna jest kolejność występowania elementów? TAK NIE Czy elementy mogą się powtarzać? TAK NIE TAK NIE wariacje z powtórzeniami Czy wszystkie elementy są wykorzystane? kombinacje z powtórzeniami kombinacje bez powtórzeń TAK NIE permutacje wariacje bez powtórzeń

Dość teorii czas przejść do praktyki. Zaczniemy od prostego, ale dość obrazowego przykładu: Na ile sposobów można wybrać spośród Was 4 osoby? Na ile sposobów można wybrać 2 dziewczyny i 2 chłopaków?

Trochę klasyki

Trochę klasyki □ Ile czasu zajęłoby wypełnienie kuponów z wszystkimi możliwościami w Lotto? □ Zakładając, że zapisanie jednego układu zajmuje 15 sekund, czas niezbędny to zapisania wszystkich układów wynosi □ minut □ 2428 dni □ prawie 7 lat

Co się bardziej opłaca? Wygrane w Mini Lotto są mniejsze niż w Lotto jednak z uwagi na koszt jednej gry 1,25 zł oraz większe szanse na wygraną, gra jest bardziej obiecująca.

Ciekawostka 1 14 osób jadało codziennie obiady przy podłużnym stole siedząc po jednej jego stronie. Wszyscy zajmowali zawsze te same miejsca. Pewnego dnia najmłodszy z biesiadników zaproponował, aby codziennie zmieniać kolejność siedzenia. Jak sądzicie ile czasu potrzeba, aby wyczerpać wszystkie możliwości?

A B C D E F G HI J KLM N

Ciekawostka 2 Pewnego razu prof. Przypadek zapowiedział swoim uczniom sprawdzian. -Dam Wam do przygotowania 12 zadań, spośród których 10 będzie na sprawdzianie. -Czy można mieć gotowce? – zażartował jeden z uczniów. Na co prof. Przypadek odparł -Mogą być, ale zamiast 10 zadań będzie tylko 6, ale praca ma być oddana na jednej kartce i nie można skreślać zadań. Ile gotowców należałoby przygotować?

Ciekawostka 3 Teraz coś do przemyślenia przed obiadem: W menu widnieje 5 zup, 6 dań głównych i 4 desery. Na ile sposobów można skomponować obiad składający się z zupy, dania głównego i dwóch różnych deserów?

Zakończenie Dziękuję za uwagę