Liczba PI 𝝅

𝝅 Liczba π (czyt. Liczba pi) zwana ludolfiną jest stałą matematyczną, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. Określa się ją w matematyce jako stosunek obwodu koła do jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0. W przybliżeniu wynosi ona 3,14.... i tak do ok. 10 bilionow.

symbol Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον – perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π przy czym van Ceulen podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku).

Historia obliczeń wartości π Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3. Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125. Prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π był Archimedes.

średniowiecze Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415. Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π – wcześniejsze – π ≈ 𝟐𝟐 𝟕 , oraz późniejsze, wynoszące 𝟑𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟑 , które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π. Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich.

Czasy nowożytne Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku. W 1853 William Rutherford podał liczbę Pi z dokładnością 440 miejsc po przecinku. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach liczby Pi jest William Shanks, któremu w 1874 udało się uzyskać 707 miejsc po przecinku. Zajęło mu to 15 lat. Później okazało się, że 180 ostatnich cyfr obliczył błędnie (wynik, który uznano za prawidłowy uwzględnia 527 miejsc po przecinku). Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. 31 grudnia 2009 r. Fabrice Bellard ogłosił, że udało mu się obliczyć π z dokładnością do 2 699 999 990 000 miejsc po przecinku. Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły 131 dni, a do obliczeń użyto komputera z procesorem Intel Core i7 (2,93 GHz) i 6 GB RAM. Sam zapis dziesiętny liczby zajmuje około 1137 GB. W październiku 2011, Shigeru Kondo uzyskał dokładność ok. 10 bilionów miejsc po przecinku. Obliczenia zajęły 371 dni.

To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązania, to istnieją konstrukcje przybliżone. Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

Niewymierność i przestępność liczby π Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

Kilka Wzorów do obliczania liczby π Powierzchnia koła jednostkowego: 2∙ −1 1 1− 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 Obwód okręgu jednostkowego: −𝟏 𝟏 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 = 𝝅

Kultura π Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) (amerykański sposób zapisu daty 3.14) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty 22/7 ≈ 3,1428). Tworzone są też wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Po polsku rozpowszechniony jest wierszyk Kazimierza Cwojdzińskiego. Światowy potwierdzony rekord w zapamiętywaniu ciągu cyfr liczby należy aktualnie do Japończyka Akiry Haraguchi, który podał ją z dokładnością do 100 tysięcy miejsc po przecinku

Kuć i orać 3,14 w dzień zawzięcie 159 bo plonów niema bez trudu 26535 Złocisty szczęścia okręcie 897 Kołyszesz... 9 Kuć. 3 My nie czekajmy cudu. 2384 Robota 6 to potęga ludu. 264