Regresja krzywoliniowa w zastosowaniach ekonometrycznych

Wprowadzenie Dotychczas zajmowaliśmy się konstruowaniem jedno-równaniowych modeli regresyjnych (ekonometrycznych) przy założeniu, że związki między zmienną objaśnianą, a zmiennymi objaśniającymi mają charakter liniowy. W wielu przypadkach interesuje nas nieliniowy związek między zmienną Y a zmienną X. Przykładowo może to być związek typu wielomianu stopnia drugiego: Problem estymacji tego modelu staje się prosty, jeżeli dokonamy formalnego podstawienia:

Linearyzacja modelu Efektem zaproponowanego podstawienia jest formalne sprowadzenie modelu krzywoliniowego do modelu liniowego postaci: którego parametry możemy już estymować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów. Działanie, które w efekcie sprowadza model nieliniowy do modelu liniowego będziemy nazywać linearyzacją modelu.

Linearyzacja modelu, inny przykład Rozważmy jeszcze jeden przykład modelu nieliniowego z dwoma zmiennymi niezależnymi: Poprzez formalne podstawienia model ten daje się sprowadzić do standardowego modelu liniowego:

Linearyzacja modelu, estymacja parametrów Po odpowiednich przekształceniach sprowadzających formalnie model nieliniowy do liniowego jego parametry są estymowane standardową metodą najmniejszych kwadratów. Przy doborze modelu możemy stosować metodę regresji krokowej, a pewne różnice (między modelem liniowym, a sprowadzonym do liniowego) dotyczą interpretacji cząstkowych współczynników regresji. Wynika to z faktu, że niektóre cząstkowe współczynniki regresji nie mogą być interpretowane.

Wybór postaci analitycznej modelu Przy wyborze okreœlonej postaci modelu regresyjnego powinniśmy korzystać z aktualnej wiedzy o badanych prawidłowościach. Przykład 1. Jeœli na podstawie dotychczasowej wiedzy wiadomo, że przyrosty zmiennej objaśnianej Y względem zmiennych X1, X2, ...., Xk są stałe, to model funkcji regresji powinien mieć postać: W modelu tym średni przyrost zmiennej Y (przyrost krańcowy) względem zmiennej Xj jest równy parametrowi bj, który jest wielkością stałą.

Wybór postaci analitycznej modelu Przykład 2. Jeżeli wiadomo (z teorii ekonomii), że elastyczność zmiennej Y względem zmiennych X1, X2, ...., Xk jest stała, to powinniśmy zastosować model potęgowy postaci: W modelu tym elastyczność zmiennej Y względem zmiennej Xj jest równa wykładnikowi bj, a więc jest stała.

Model potęgowy, przykład Rozpatrzmy zależność wartości produkcji przedsiębiorstwa Y od mocy zainstalowanych maszyn X1, zatrudnienia pracowników produkcyjnych X2 oraz zużycia surowca X3. Przy założeniu, że elastyczności produkcji względem rozpatrywanych zmiennych są stałe model regresji będzie miał postać:

Wybór postaci analitycznej modelu, model logarytmiczny Przykład 3. Jeśli jednostkowemu przyrostowi zmiennej objaśniającej towarzyszą coraz mniejsze przyrosty zmiennej objaśnianej, to model funkcji regresji przyjmie postać: Przykładem tego typu zależności może być zależność między indywidualną wydajnością pracowników (Y), a stażem pracy (X). Jeszcze inny przykład to zależność między plonem pewnej rośliny (Y), a wielkością nawożenia NPK (X).

Wybór postaci analitycznej modelu, model wykładniczy Przykład 4. Jeśli wiadomo, że jednostkowemu przyrostowi zmiennej objaśniającej odpowiadają coraz większe przyrosty zmiennej objaśnianej, to model funkcji regresji może mieć postać: Przykładem tego typu zależności może być związek między kosztem całkowitym produkcji (Y) a jej wielkością (X).

Rozrzut punktów empirycznych a wybór modelu Metoda ta znajduje szczególne zastosowanie do modeli z jedną zmienną objaśniającą, a więc wtedy, gdy Dobór modelu odbywa się na podstawie rozrzutu empirycznego próby. Na kolejnych slajdach przedstawione są najczęściej spotykane typy związków nieliniowych między zmienną Y i X.

Rozrzut punktów empirycznych

Rozrzut punktów empirycznych

Rozrzut punktów empirycznych

Rozrzut punktów empirycznych