Paweł Stasiak Radosław Sobieraj Michał Wronko Łódź, 15 stycznia 2009 Elektromagnes w FEMM 3.4
Cel projektu i dane modelowanego obiektu Opis zasady działania Metody Elementów Skończonych Tworzenie modelu w programie FEMM Rozkład wielkości polowych Zależność siły w funkcji odległości zwory od rdzenia Wnioski Łódź, Model elektromagnesu w FEMM 3.4 2
Celem projektu było wykonanie modelu elektromagnesu w programie FEMM 3.4 Wymiary elektromagnesu: Łódź, Model elektromagnesu w FEMM 3.4 3
Parametry elektromagnesu: Prąd uzwojenia: 0.2A (bez zwojów zwartych) Charakterystyka magnesowania blach rdzenia i zwory Łódź, Model elektromagnesu w FEMM 3.4 4
Metoda Elementów Skończonych (MES, ang. FEM, finite-element method) – zaawansowana matematycznie metoda obliczeń fizycznych opierająca się na podziale obszaru (tzw. dyskretyzacja, ang. mesh), najczęściej powierzchni lub przestrzeni, na skończone elementy uśredniające stan fizyczny ciała i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału. Poza węzłami wyznaczana właściwość jest przybliżana na podstawie wartości w najbliższych węzłach. Łódź, Model elektromagnesu w FEMM 3.4 5
1. Analizowany obszar dzieli się myślowo na pewną skończoną liczbę geometrycznie prostych elementów, tzw. elementów skończonych. 2. Zakłada się, że te połączone są ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na obwodach. Najczęściej są to punkty narożne. Noszą one nazwę węzłów. Poszukiwane wartości wielkości fizycznych stanowią podstawowy układ niewiadomych. 3. Obiera się pewne funkcje jednoznacznie określające rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, w zależności od wartości tych wielkości fizycznych w węzłach. Funkcje te noszą nazwę funkcji węzłowych lub funkcji kształtu. 4. Równania różniczkowe opisujące badane zjawisko przekształca się, poprzez zastosowanie tzw. Funkcji wagowych, do równań metody elementów skończonych. Są to równania algebraiczne. 5. Na podstawie równań metody elementów skończonych przeprowadza się asemblację układu równań, tzn. oblicza się wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron. Jeżeli rozwiązywane zadanie jest niestacjonarne, to w obliczaniu wartości prawych stron wykorzystuje się dodatkowo warunki początkowe. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych przez liczbę stopni swobody węzłów, tzn. liczbę niewiadomych występujących w pojedynczym węźle. 6. Do tak utworzonego układu równań wprowadza się warunki brzegowe. Wprowadzenie tych warunków następuje poprzez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron. 7. Rozwiązuje się układ równań otrzymując wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach. 8. W zależności od typu rozwiązywanego problemu, lub potrzeb, oblicza się dodatkowe wielkości. 9. Jeżeli zadanie jest niestacjonarne, to czynności opisane w pkt. 5, 6, 7 i 8 powtarza się aż do momentu spełnienia warunku zakończenia obliczeń. Może to być np. określona wartość wielkości fizycznej w którymś z węzłów, czas przebiegu zjawiska lub jakiś inny parametr. Łódź, Model elektromagnesu w FEMM 3.4 6
Programy komputerowe, w których stosowana jest metoda elementów skończonych składają się natomiast z trzech zasadniczych części: 1. preprocesora, w którym budowane jest zadanie do rozwiązania, 2. procesora, czyli części obliczeniowej, 3. postprocesora, służącego do graficznej prezentacji uzyskanych wyników. Dla użytkowników tych programów najbardziej pracochłonnym i czasochłonnym etapem rozwiązywania zadania jest podział na elementy skończone w preprocesorze. Należy tutaj nadmienić, że niewłaściwy podział na elementy skończone powoduje uzyskanie błędnych wyników. Definicja: Element skończony jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach. Funkcje te nazywa się funkcjami węzłowymi, bądź funkcjami kształtu. Węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym (ponieważ funkcje interpolacyjne są wtedy liniowe). W pozostałych przypadkach mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów. Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu). Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero. Łódź, Model elektromagnesu w FEMM 3.4 7
Tworzenie modelu odbywa się zgodnie z podanym szablonem: określenie problemu naniesienie punktów w celu utworzenie szkieletu modelu oraz połączenie punktów przy pomocy linii i łuków zdefiniowanie materiałów i rozmiarów siatki obliczeniowej dodanie otoczenia i warunków brzegowych Powyższe czynności wykonywane są w preprocesorze programu. Łódź, Model elektromagnesu w FEMM 3.4 8
W procesorze wykonujemy: wygenerowanie siatki uruchomienie Solvera Natomiast w końcowym etapie po zakończeniu obliczeń uruchamiamy postprocesor w celu analizy wyników. Łódź, Model elektromagnesu w FEMM 3.4 9
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
Łódź, Model elektromagnesu w FEMM
W miarę odsuwania zwory od rdzenia siła pola magnetycznego maleje Pole zamyka się w całości w ferromagnetyku (zwory i rdzenia) Największa indukcja występuje w wewnętrznych załamaniach elektromagnesu Łódź, Model elektromagnesu w FEMM