Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ MIEJSKICH NR 1 W WAŁCZU Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ MIEJSKICH NR 1 W WAŁCZU ID grupy: 98/82 MF G2 ID grupy: 98/82 MF G2 Opiekun: MARTA KAŁAMAJA Opiekun: MARTA KAŁAMAJA Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNE Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNE Temat projektowy: PARADOKSY W MATEMATYCE Temat projektowy: PARADOKSY W MATEMATYCE Semestr/rok szkolny: SEMESTR V 2011/2012 Semestr/rok szkolny: SEMESTR V 2011/2012

Paradoksy w matematyce

Spis Treści Co to jest paradoks?Co to jest paradoks?Co to jest paradoks?Co to jest paradoks? Równość 1=0,(9)Równość 1=0,(9)Równość 1=0,(9)Równość 1=0,(9) Wyznaczenie średniej prędkościWyznaczenie średniej prędkościWyznaczenie średniej prędkościWyznaczenie średniej prędkości Paradoks zagubionej złotówkiParadoks zagubionej złotówkiParadoks zagubionej złotówkiParadoks zagubionej złotówki Paradoksy zawarte w pozornie łatwych zadaniachParadoksy zawarte w pozornie łatwych zadaniachParadoksy zawarte w pozornie łatwych zadaniachParadoksy zawarte w pozornie łatwych zadaniach Paradoksy logiczneParadoksy logiczneParadoksy logiczneParadoksy logiczne Paradoks Monty HallaParadoks Monty HallaParadoks Monty HallaParadoks Monty Halla Hotel HilbertaHotel HilbertaHotel HilbertaHotel Hilberta Paradoks Zenona z Elei (Achilles i żółw)Paradoks Zenona z Elei (Achilles i żółw)Paradoks Zenona z Elei (Achilles i żółw)Paradoks Zenona z Elei (Achilles i żółw) Płatek KochaPłatek KochaPłatek KochaPłatek Kocha Paradoks OlbersaParadoks OlbersaParadoks OlbersaParadoks Olbersa Inne ciekawe paradoksyInne ciekawe paradoksyInne ciekawe paradoksyInne ciekawe paradoksy

Co to jest paradoks? Jest to twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem, rozumowanie, którego elementy są pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu logicznego lub nieostrości wyrażeń prowadzące do wniosków sprzecznych ze sobą lub z uprzednio przyjętymi założeniami.Jest to twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem, rozumowanie, którego elementy są pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu logicznego lub nieostrości wyrażeń prowadzące do wniosków sprzecznych ze sobą lub z uprzednio przyjętymi założeniami. A przynajmniej tak podpowiedziała nam Encyklopedia… Spis Treści

Na początek dowód, który uzasadni tę równość.Na początek dowód, który uzasadni tę równość. 10x – x = 9x Pod x podstawiamy 0,(1) : Pod x podstawiamy 0,(1) : 10 0,(1) - 0,(1) = 1,(1) - 0,(1) = 1, a zarazem 9x = 0,(9), czyli: 1 = 0,(9). 0,(9) = 1 jest prawdziwą równością. Tak samo jak =0,(3). 0,(9)=0,(3) + 0,(3) + 0,(3) = + + = 10,(9) = 1 jest prawdziwą równością. Tak samo jak =0,(3). 0,(9)=0,(3) + 0,(3) + 0,(3) = + + = 1 Równość 1=0,(9) Spis Treści

Wyznaczanie średniej prędkości PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA jest to całkowita droga jaką przejechał dany obiekt podczas czasu trwania jego ruchu (całego czasu).PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA jest to całkowita droga jaką przejechał dany obiekt podczas czasu trwania jego ruchu (całego czasu). Wartość całkowitą prędkości obliczamy ze wzoru v=s/t więc na początku obliczamy wartość konkretnych szybkości, a następnie sumujemy je i dzielimy przez ich ilość. Jednym słowem jest to nic innego, jak tylko średnia arytmetyczna, którą chyba każdy z Was potrafi obliczać.Wartość całkowitą prędkości obliczamy ze wzoru v=s/t więc na początku obliczamy wartość konkretnych szybkości, a następnie sumujemy je i dzielimy przez ich ilość. Jednym słowem jest to nic innego, jak tylko średnia arytmetyczna, którą chyba każdy z Was potrafi obliczać. Spis Treści

Samochód jechał z prędkością 72 km/h przez 1 min. podczas wyprzedzania w czasie 5 s uzyskał prędkość 90 km/h. Następnie zwolnił w 10 s zwolnił do 54 km/h przez 2 min. jechał z tą prędkością. Oblicz jego szybkość średnią.Samochód jechał z prędkością 72 km/h przez 1 min. podczas wyprzedzania w czasie 5 s uzyskał prędkość 90 km/h. Następnie zwolnił w 10 s zwolnił do 54 km/h przez 2 min. jechał z tą prędkością. Oblicz jego szybkość średnią. Przykładowe zadanie Spis Treści

Rozwiązanie: v=s/t s=vt dla ruchu jednostajnego s= ½ at² dla ruchu jednostajnie przyśpieszonego s= ½ vt dla ruchu jednostajnie opóźnionego s1= 20 m/s 60 s = 1200 m s2= ½ 25 m/s 5 s = 125 m s3= ½ 10 m/s 10 s = 100 m s4= 15 m/s 120 s = 1800 m s= 1200 m m m m = 3225 m t = 60 s + 5 s + 10 s s = 195 s v = 3225m/ 195 s = 16,5 m/s

Paradoks zagubionej złotówki Myślę, że każdy z Was chociaż raz (nawet przypadkowo) napotkał zadanie typu:Myślę, że każdy z Was chociaż raz (nawet przypadkowo) napotkał zadanie typu: 3 osoby postanowiły złożyć się na pizze za 30 złoty. Każda osoba dała po 10 złoty. Gdy już ją zakupili i wyszli z pizzerii sprzedawcy przypomniało się o obniżce ceny, był uczciwym człowiekiem więc postanowił oddać im 5 złoty reszty nie wiedział jednak jak podzielić 5 złoty na 3 osoby więc postanowił dać im po 1 zł a sobie wziąć 2 zł. Wychodzi na to że każda z osób zapłacił 9 złoty. 9 3 = zł które wziął sprzedawca = 29 zł. Co się stało ze złotówką? 3 osoby postanowiły złożyć się na pizze za 30 złoty. Każda osoba dała po 10 złoty. Gdy już ją zakupili i wyszli z pizzerii sprzedawcy przypomniało się o obniżce ceny, był uczciwym człowiekiem więc postanowił oddać im 5 złoty reszty nie wiedział jednak jak podzielić 5 złoty na 3 osoby więc postanowił dać im po 1 zł a sobie wziąć 2 zł. Wychodzi na to że każda z osób zapłacił 9 złoty. 9 3 = zł które wziął sprzedawca = 29 zł. Co się stało ze złotówką? Nie zastanawiało Was, o co w tym tak naprawdę chodzi? Spis Treści

NIC PROSTSZEGO! Jest to po prostu błąd w zapisie. Prawidłowo powinno to wyglądać w taki sposób: (9 3) – = 27 – = = 30 (zł) Dlaczego? Nie można dodać do całości 2 zł, skoro wcale ich nie dostaliśmy. Jeżeli ubyło nam dwóch złotych to należy je odjąć od całości. Kiedy to zrobimy otrzymujemy 25 zł. Następnie trzeba dodać te 5 zł, które udało nam się teoretycznie zaoszczędzić na promocji.

Paradoksy zawarte w pozornie łatwych zadaniach Jeśli butelka z sokiem kosztuje 1,10 zł, a sam sok jest o 1 zł droższy od butelki, to ile kosztuje butelka, a ile sok?Jeśli butelka z sokiem kosztuje 1,10 zł, a sam sok jest o 1 zł droższy od butelki, to ile kosztuje butelka, a ile sok? Takie zadania najlepiej rozwiązywać układając równanie – mamy wtedy pewność, że nie pomylimy się w pozornie prostych obliczeniach. Rozwiązanie: x – cena butelki x+1 – cena soku x + x + 1 = 1,10 zł 2x = 1,10 zł – 1 zł 2x = 0,10 zł / :2 x = 0,05 zł cena butelki 1 zł + 0,05 zł = 1,05 zł cena soku Jeszcze tylko upewnienie się, że wynik na pewno nam się zgadza :) 1,05 zł + 0,05 zł = 1,10 zł Rozwiązanie: x – cena butelki x+1 – cena soku x + x + 1 = 1,10 zł 2x = 1,10 zł – 1 zł 2x = 0,10 zł / :2 x = 0,05 zł cena butelki 1 zł + 0,05 zł = 1,05 zł cena soku Jeszcze tylko upewnienie się, że wynik na pewno nam się zgadza :) 1,05 zł + 0,05 zł = 1,10 zł Spis Treści

Jeśli cenę towaru obniżono o 10%, a później podwyższono o 10%, to jaka jest aktualna cena? Na pierwszy rzut oka każdy odpowie, że cena się nie zmieniła. Jest to jeden z najczęstszych błędów. Tak, dobrze przeczytaliście – błędów. Jeśli cena została obniżona o 10% to oznacza, że nie jest już taka sama. Tym samym podwyższenie o 10% obecnej ceny nie da nam początkowej liczby. Cena po takich zmianach będzie niższa od początkowej. Nie wierzycie? Sprawdźmy. Spodnie kosztowały 250 zł, jednak w promocji przedświątecznej cenę tą obniżono o 20%. Zaraz po świętach cenę ponownie zmieniono – zwiększono ją o 20%. Ile kosztują one aktualnie? Rozwiązanie: 20% z 250 zł to 50 zł 250 zł – 50 zł = 200 zł 20% z 200 zł to 40 zł 200 zł + 40 zł = 240 zł Odp.: Aktualnie spodnie te kosztują 240 zł.

Spis Treści Może jeszcze jedno zadanie na utrwalenie wiadomości? :) Pan Marcin przed urlopem ważył 80 kg, ale w czasie urlopu przytył o 15%. (uuu współczuje) Po półroczu ciężkiej pracy schudł o 10%. O ile procent musiałby schudnąć, aby uzyskać swoją poprzednią wagę? Ile waży teraz po zgubieniu 10%? Rozwiązanie: 15% z 80kg to 12 kg 80 kg + 12 kg = 92 kg 10% z 92 kg to 9,2 kg 92 kg – 9,2 kg = 82,8 kg aktualna waga 92 kg – 100% 80kg – x 92x – 8000 x = 86,9% w przybliżeniu 87% 100% - 87% = 13% Odp.: Aby odzyskać początkową wagę musiałby schudnąć 13%. Aktualnie waży 82,8 kg.

Paradoksy logiczne Na czym polegają?Na czym polegają? Paradoks kłamcy – pewien człowiek twierdzi: "ja teraz kłamię". Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczności. Jeśli kłamie, to stwierdzając "ja teraz kłamię" wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie. Paradoks kłamcy – pewien człowiek twierdzi: "ja teraz kłamię". Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczności. Jeśli kłamie, to stwierdzając "ja teraz kłamię" wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie. Paradoks golibrody – W pewnym mieście jest golibroda, który goli tych, którzy nie golą się sami. Czy golibroda powinien się sam ogolić? Paradoks golibrody – W pewnym mieście jest golibroda, który goli tych, którzy nie golą się sami. Czy golibroda powinien się sam ogolić? Paradoks Arystotelesa – Dlaczego woda, która jest niezbędna do życia jest tania, podczas gdy diamenty są bardzo drogie, choć można się bez nich obejść?". Paradoks Arystotelesa – Dlaczego woda, która jest niezbędna do życia jest tania, podczas gdy diamenty są bardzo drogie, choć można się bez nich obejść?". Spis Treści

Jakie jest rozwiązanie?Jakie jest rozwiązanie? Paradoks kłamcy – rozwiązanie jest dość brutalne i może być dość irracjonalny dla większości ludzi. O co chodzi? Po prostu stwierdza się, że zdania nie powinny wypowiadać się same o sobie. Tego rodzaju wnioskowanie jest nieuprawnione. Prawdziwość zdań (także teorii) jest określana z zewnątrz", przez metajęzyk", metateorię. Paradoks kłamcy – rozwiązanie jest dość brutalne i może być dość irracjonalny dla większości ludzi. O co chodzi? Po prostu stwierdza się, że zdania nie powinny wypowiadać się same o sobie. Tego rodzaju wnioskowanie jest nieuprawnione. Prawdziwość zdań (także teorii) jest określana z zewnątrz", przez metajęzyk", metateorię. Paradoks Golibrody – W gruncie rzeczy jest to uproszczona wersja paradoksu Cantora, pokazującego, że nie może istnieć zbiór wszystkich zbiorów. Paradoks Golibrody – W gruncie rzeczy jest to uproszczona wersja paradoksu Cantora, pokazującego, że nie może istnieć zbiór wszystkich zbiorów. Paradoks Arystotelesa – Diament jest czymś bardzo rzadko spotykanym na Ziemi w porównaniu do wody, której jest naprawdę dużo. Ludzie już tak mają, że jeśli mają czegoś pod dostatkiem nawet jak jest to niezbędne do życia to od razu traci to dla nich na wartości. Paradoks Arystotelesa – Diament jest czymś bardzo rzadko spotykanym na Ziemi w porównaniu do wody, której jest naprawdę dużo. Ludzie już tak mają, że jeśli mają czegoś pod dostatkiem nawet jak jest to niezbędne do życia to od razu traci to dla nich na wartości. Spis Treści

Paradoks Monty Halla Może zaczniemy od samego początku. Czyli odpowiedzi na pytanie – kim właściwie jest Monty Hall?Może zaczniemy od samego początku. Czyli odpowiedzi na pytanie – kim właściwie jest Monty Hall? Monty Hall, urodzony 25 sierpnia 1921 roku, kanadyjski aktor i piosenkarz, gospodarz popularnych programów telewizyjnych. Od jego nazwiska pochodzi znany w rachunku prawdopodobieństwa paradoks Monty Halla. Każdy z nas spotkał się z tym paradoksem oglądając chociażby teleturniej Idź na całość. Spis Treści

Wszyscy pamiętamy przebieg rozgrywki. Gracz wybiera jedną z trzech bramek. Bramkę nr 1, nr 2 lub nr 3. Następnie prowadzący otwiera jedną z bramek, które nie zostały wybrane i ukazuje nagrodę niższej rangi. Na placu gry pozostają dwie bramki. Wybrana przez gracza i ta nieodsłonięta. Pytanie brzmi: czy gracz powinien zmienić swój wybór, czy raczej pozostać przy wyborze pierwotnym? Jakie znaczenie ma zmiana decyzji?Wszyscy pamiętamy przebieg rozgrywki. Gracz wybiera jedną z trzech bramek. Bramkę nr 1, nr 2 lub nr 3. Następnie prowadzący otwiera jedną z bramek, które nie zostały wybrane i ukazuje nagrodę niższej rangi. Na placu gry pozostają dwie bramki. Wybrana przez gracza i ta nieodsłonięta. Pytanie brzmi: czy gracz powinien zmienić swój wybór, czy raczej pozostać przy wyborze pierwotnym? Jakie znaczenie ma zmiana decyzji? Innymi słowy, jeśli gracz wybrał bramkę nr 1, a prowadzący odsłonił zawartość bramki nr 2 ukazując zonka (czyli przegraną), to czy nowy samochód kryje się za bramką nr 1 czy raczej za bramką nr 3?Innymi słowy, jeśli gracz wybrał bramkę nr 1, a prowadzący odsłonił zawartość bramki nr 2 ukazując zonka (czyli przegraną), to czy nowy samochód kryje się za bramką nr 1 czy raczej za bramką nr 3? Spis Treści

W tym miejscu, górę biorą neurony i sposób ludzkiego pojmowania. Mózg informuje bowiem, że skoro jedna z bramek została otwarta, to szanse na to, że nagroda kryje się w jednej z pozostałych dwóch, wynoszą 50% czyli inaczej pół na pół. Jednak prawda jest inna. Zostało matematycznie dowiedzione, że jeśli gracz dokona zmiany wyboru z bramki nr 1. na bramkę nr 3. (zgodnie z przykładem na poprzednim slajdzie), jego szanse na wygraną wzrosną dwukrotnie.W tym miejscu, górę biorą neurony i sposób ludzkiego pojmowania. Mózg informuje bowiem, że skoro jedna z bramek została otwarta, to szanse na to, że nagroda kryje się w jednej z pozostałych dwóch, wynoszą 50% czyli inaczej pół na pół. Jednak prawda jest inna. Zostało matematycznie dowiedzione, że jeśli gracz dokona zmiany wyboru z bramki nr 1. na bramkę nr 3. (zgodnie z przykładem na poprzednim slajdzie), jego szanse na wygraną wzrosną dwukrotnie. Spis Treści

Jak to możliwe? Nie jest to intuicyjne, ale poprawne. Wielcy matematycy głowili się nad tym problemem przez długi czas. Rozwiązanie jest znane dzisiaj.Jak to możliwe? Nie jest to intuicyjne, ale poprawne. Wielcy matematycy głowili się nad tym problemem przez długi czas. Rozwiązanie jest znane dzisiaj. Rozpatrzmy problem od strony matematycznej:Rozpatrzmy problem od strony matematycznej: Wyobraźmy sobie trzy teleturniejowe bramki i gracza, który wybiera jedną z nich. W tym momencie dzieli on bramki na dwa zestawy. Wyobraźmy sobie trzy teleturniejowe bramki i gracza, który wybiera jedną z nich. W tym momencie dzieli on bramki na dwa zestawy. Zestaw A) wybrana bramka Zestaw B) bramki, które nie zostały wybrane Zestaw A) wybrana bramka Zestaw B) bramki, które nie zostały wybrane W tym miejscu, każda z bramek posiada indywidualną szansę na zwycięstwo równą 1 do 3. Biorąc jednak pod uwagę istnienie zestawów A i B, szanse te wyglądają nieco inaczej. Zestaw A jest zestawem zwycięskim z prawdopodobieństwem 1/3. Zestaw B natomiast posiada dwie bramki, a zatem prawdopodobieństwo, że to właśnie B zawiera zwycięską bramkę wynosi 2/3. W tym miejscu, każda z bramek posiada indywidualną szansę na zwycięstwo równą 1 do 3. Biorąc jednak pod uwagę istnienie zestawów A i B, szanse te wyglądają nieco inaczej. Zestaw A jest zestawem zwycięskim z prawdopodobieństwem 1/3. Zestaw B natomiast posiada dwie bramki, a zatem prawdopodobieństwo, że to właśnie B zawiera zwycięską bramkę wynosi 2/3. Zestaw A) - szansa na zwycięstwo = 1/3 Zestaw B) - szansa na zwycięstwo = 2/3 Zestaw A) - szansa na zwycięstwo = 1/3 Zestaw B) - szansa na zwycięstwo = 2/3 Spis Treści

Kiedy prowadzący odsłania jedną z bramek - w zestawie B - ukazując, że jedna z nich nie jest zwycięska, zestaw B wciąż z prawdopodobieństwem równym 2 do 3 jest w naszym schemacie zestawem najlepszym, podczas gdy szansa na zwycięstwo w zestawie A wciąż wynosi tylko 1 do 3. Odsłaniając zawartość jednej z bramek w zestawie B, szanse na to, że druga z nich zawiera nagrodę główną są większe niż początkowy wybór gracza - bramka z zestawu A.Kiedy prowadzący odsłania jedną z bramek - w zestawie B - ukazując, że jedna z nich nie jest zwycięska, zestaw B wciąż z prawdopodobieństwem równym 2 do 3 jest w naszym schemacie zestawem najlepszym, podczas gdy szansa na zwycięstwo w zestawie A wciąż wynosi tylko 1 do 3. Odsłaniając zawartość jednej z bramek w zestawie B, szanse na to, że druga z nich zawiera nagrodę główną są większe niż początkowy wybór gracza - bramka z zestawu A. Spis Treści

David Hilbert - niemiecki matematyk; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.David Hilbert - niemiecki matematyk; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej. Paradoks Hilberta – paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia ilości elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Paradoks ten znany jest też pod nazwą paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta.Paradoks Hilberta – paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia ilości elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Paradoks ten znany jest też pod nazwą paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta. Hotel Hilberta Spis Treści

Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: Klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie można powiedzieć że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta...Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: Klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie można powiedzieć że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta... Spis Treści

Będąc portierem w naszym nieskończonym hotelu mamy jeszcze więcej możliwości. Nawet jeśli przyjedzie do nas nieskończona (ale przeliczalna) liczba autobusów z nieskończoną (przeliczalną) liczbą klientów w każdym z nich, to nadal możemy ich wszystkich zakwaterować dokonując kolejnego, nieco bardziej złożonego triku z zamianami pokojów.Będąc portierem w naszym nieskończonym hotelu mamy jeszcze więcej możliwości. Nawet jeśli przyjedzie do nas nieskończona (ale przeliczalna) liczba autobusów z nieskończoną (przeliczalną) liczbą klientów w każdym z nich, to nadal możemy ich wszystkich zakwaterować dokonując kolejnego, nieco bardziej złożonego triku z zamianami pokojów. Spis Treści

Najpierw trzeba opróżnić pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich gości w np. autobusie nr 1. Klientów z autobusu nr 1 umieszczamy w międzyczasie w pokojach z numerami 3 n, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje będą oczywiście nieparzyste, czyli już wcześniej opróżnione). Potem umieszczamy klientów z autobusu 2 w pokojach o numerach 5 n. Następny autobus pójdzie do pokojów 7 n. Najpierw trzeba opróżnić pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich gości w np. autobusie nr 1. Klientów z autobusu nr 1 umieszczamy w międzyczasie w pokojach z numerami 3 n, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje będą oczywiście nieparzyste, czyli już wcześniej opróżnione). Potem umieszczamy klientów z autobusu 2 w pokojach o numerach 5 n. Następny autobus pójdzie do pokojów 7 n. Ogólnie, będziemy umieszczali klientów kolejnych autobusów w pokojach m (n) n gdzie m (n) to kolejne liczby pierwsze. Potęgi liczb pierwszych większych od 2 są nieparzyste, a że zbiory kolejnych potęg liczb pierwszych są parami rozłączne, więc nie ma ryzyka, że poślemy nowych klientów do już zajętych pokojów. Wreszcie klientów, wcześniej wykwaterowanych z pokojów nieparzystych, wysyłamy do pokojów o numerach m (n+1) n i wszyscy są już szczęśliwi... Ogólnie, będziemy umieszczali klientów kolejnych autobusów w pokojach m (n) n gdzie m (n) to kolejne liczby pierwsze. Potęgi liczb pierwszych większych od 2 są nieparzyste, a że zbiory kolejnych potęg liczb pierwszych są parami rozłączne, więc nie ma ryzyka, że poślemy nowych klientów do już zajętych pokojów. Wreszcie klientów, wcześniej wykwaterowanych z pokojów nieparzystych, wysyłamy do pokojów o numerach m (n+1) n i wszyscy są już szczęśliwi... Spis Treści

Może najpierw powiemy kim był Zenon z Elei?Może najpierw powiemy kim był Zenon z Elei? Zenon z Elei (ok p.n.e.) - filozof grecki, wg Arystotelesa - twórca dialektyki.Zenon z Elei (ok p.n.e.) - filozof grecki, wg Arystotelesa - twórca dialektyki. Posługując się wyszukanymi argumentami rozumowymi bronił tezy o niezmienności i niepodzielności bytu. Sformułował słynne paradoksy, które miały dowodzić, że ruch (zmiana) nie istnieje. Przeciwko wielości rzeczy wysuwał twierdzenie, że nie można w nieskończoność dzielić czegoś, bo uzyska się w końcu części nie posiadające wymiarów, a suma części bez wymiarów musi być równa zeru. Paradoks Zenona z Elei Spis Treści

W tej prezentacji zajmiemy się tylko jednym paradoksem opracowanym przez Zenona z Elei – ciekawscy zawsze mogą zajrzeć na google i poszukać więcej informacji ;)W tej prezentacji zajmiemy się tylko jednym paradoksem opracowanym przez Zenona z Elei – ciekawscy zawsze mogą zajrzeć na google i poszukać więcej informacji ;) Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o ½ całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do ½ dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do ¾ dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie ¾ dystansu, żółw znowu mu ucieknie pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność.Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o ½ całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do ½ dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do ¾ dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie ¾ dystansu, żółw znowu mu ucieknie pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość. Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość. Achilles i żółw Spis Treści

Jakie jest rozwiązanie tego paradoksu?Jakie jest rozwiązanie tego paradoksu? W matematyczny sposób można łatwo udowodnić, że w tym przypadku suma nieskończonej liczby odcinków daje odcinek o skończonej długości, a więc czas potrzebny do pokonania go również jest skończony.W matematyczny sposób można łatwo udowodnić, że w tym przypadku suma nieskończonej liczby odcinków daje odcinek o skończonej długości, a więc czas potrzebny do pokonania go również jest skończony. Paradoks dotyczący Achillesa i żółwia można rozwiązać za pomocą wykresu pokazującego stosunek drogi do czasu i punkt, w którym Achilles zrówna się z żółwiem.Paradoks dotyczący Achillesa i żółwia można rozwiązać za pomocą wykresu pokazującego stosunek drogi do czasu i punkt, w którym Achilles zrówna się z żółwiem. Spis Treści

Na początku wspomnieć można, że teoretycznie nie jest to nic trudnego, jednak w praktyce wszystko wygląda nieco inaczej. O co dokładnie chodzi?Na początku wspomnieć można, że teoretycznie nie jest to nic trudnego, jednak w praktyce wszystko wygląda nieco inaczej. O co dokładnie chodzi? Płatek Kocha nazywany inaczej krzywą Kocha. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie.Płatek Kocha nazywany inaczej krzywą Kocha. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie. Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na trzy części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej odcinka) tak, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na trzy części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej odcinka) tak, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka. Płatek Kocha Spis Treści

W przybliżeniu wygląda to właśnie tak:

Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers - niemiecki astronom, lekarz i fizyk, z wykształcenia inżynier. Po 1780 r. praktykował medycynę w Bremie i prowadził obserwacje komet.Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers - niemiecki astronom, lekarz i fizyk, z wykształcenia inżynier. Po 1780 r. praktykował medycynę w Bremie i prowadził obserwacje komet. 28 marca 1802 r. odkrył drugą w historii planetoidę - 2 Pallas. 29 marca 1807 r. odkrył planetoidę 4 Westa. 6 marca 1815 r. odkrył także periodyczną kometę nazwaną jego imieniem 13P/Olbers. Ogólnie odkrył sześć komet.28 marca 1802 r. odkrył drugą w historii planetoidę - 2 Pallas. 29 marca 1807 r. odkrył planetoidę 4 Westa. 6 marca 1815 r. odkrył także periodyczną kometę nazwaną jego imieniem 13P/Olbers. Ogólnie odkrył sześć komet. Sformułował także Paradoks Olbersa. Na cześć uczonego jedną z planetoid nazwano 1002 Olbersia.Sformułował także Paradoks Olbersa. Na cześć uczonego jedną z planetoid nazwano 1002 Olbersia. Paradoks Olbersa Spis Treści

Dlaczego w nocy niebo jest ciemne, skoro patrząc w każdym kierunku patrzę na jakąś gwiazdę?Dlaczego w nocy niebo jest ciemne, skoro patrząc w każdym kierunku patrzę na jakąś gwiazdę? Jeśli Wszechświat jest nieskończony i jednorodny, to patrząc w każdym kierunku powinienem widzieć światło gwiazdy. Co prawda – gwiazdy im są dalej, tym słabiej świecą, jednakże jest to jedynie pozorny argument. Rozważmy trzy sfery o środku w Ziemi i promieniach równych odpowiednio 1a, 2a, 3a. Gwiazdy leżące pomiędzy sferą 2 i 3 świecą średnio cztery razy słabiej niż te położone pomiędzy sferą 1 i 2, ale też jest ich osiem razy więcej, ponieważ natężenie światła maleje proporcjonalnie do powierzchni sfery, a ilość gwiazd rośnie proporcjonalnie do objętości kuli, ograniczanej przez tę sferę.Jeśli Wszechświat jest nieskończony i jednorodny, to patrząc w każdym kierunku powinienem widzieć światło gwiazdy. Co prawda – gwiazdy im są dalej, tym słabiej świecą, jednakże jest to jedynie pozorny argument. Rozważmy trzy sfery o środku w Ziemi i promieniach równych odpowiednio 1a, 2a, 3a. Gwiazdy leżące pomiędzy sferą 2 i 3 świecą średnio cztery razy słabiej niż te położone pomiędzy sferą 1 i 2, ale też jest ich osiem razy więcej, ponieważ natężenie światła maleje proporcjonalnie do powierzchni sfery, a ilość gwiazd rośnie proporcjonalnie do objętości kuli, ograniczanej przez tę sferę. Spis Treści

Drugim kontrargumentem jest nieprzeźroczystość Wszechświata. Być może światło z odległych gwiazd nie dociera do nas, gdyż napotyka po drodze na jakieś przeszkody w postaci nieświecącej materii. I ten kontrargument możemy jednak zbić. Zgodnie z pierwszym prawem termodynamiki owa zasłaniająca światło materia powinna się nagrzać i po odpowiednio długim czasie sama zacząć świecić. Jeśli Wszechświat byłby zatem taki, jak w założeniach Olbersa, noc wcale nie powinna być ciemna.Drugim kontrargumentem jest nieprzeźroczystość Wszechświata. Być może światło z odległych gwiazd nie dociera do nas, gdyż napotyka po drodze na jakieś przeszkody w postaci nieświecącej materii. I ten kontrargument możemy jednak zbić. Zgodnie z pierwszym prawem termodynamiki owa zasłaniająca światło materia powinna się nagrzać i po odpowiednio długim czasie sama zacząć świecić. Jeśli Wszechświat byłby zatem taki, jak w założeniach Olbersa, noc wcale nie powinna być ciemna. Alternatywne rozwiązanie paradoksu Olbersa podał Benoit Mandelbrot. Stwierdził on, że nie musimy koniecznie negować nieskończoności Wszechświata. Możemy zanegować jego jednorodność – materia według Mandelbrota nie jest rozłożona w przestrzeni jednorodnie. Dla kosmosu fraktalnego nie można zastosować modelu Friedmana, przewidującego jednorodną ekspansję Wszechświata.Alternatywne rozwiązanie paradoksu Olbersa podał Benoit Mandelbrot. Stwierdził on, że nie musimy koniecznie negować nieskończoności Wszechświata. Możemy zanegować jego jednorodność – materia według Mandelbrota nie jest rozłożona w przestrzeni jednorodnie. Dla kosmosu fraktalnego nie można zastosować modelu Friedmana, przewidującego jednorodną ekspansję Wszechświata. Spis Treści

Twórcą tego paradoksu jest Albert Einstein – chyba wszystkim znany niemiecki fizyk, który stworzył teorię względności, którą można zapisać wzoremTwórcą tego paradoksu jest Albert Einstein – chyba wszystkim znany niemiecki fizyk, który stworzył teorię względności, którą można zapisać wzorem E=mc ² Treść tego paradoksu: Jeśli ktoś podczas podróży w czasie wstecz zabije własnego dziadka przed poczęciem swojego ojca, to ten ktoś się nie narodzi i nie odbędzie podróży w czasie i nie zabije własnego dziadka, więc się narodzi i zabije własnego dziadka i tak w nieskończoność.Treść tego paradoksu: Jeśli ktoś podczas podróży w czasie wstecz zabije własnego dziadka przed poczęciem swojego ojca, to ten ktoś się nie narodzi i nie odbędzie podróży w czasie i nie zabije własnego dziadka, więc się narodzi i zabije własnego dziadka i tak w nieskończoność. Paradoks dziadka Spis Treści

Paradoks dziadka jest szczególnym przypadkiem sytuacji, gdy podczas podróży w czasie uniemożliwia się ją. Jednak jest proponowanych kilka rozwiązań tej sprzeczności, mających uczynić ją sprzecznością pozorną:Paradoks dziadka jest szczególnym przypadkiem sytuacji, gdy podczas podróży w czasie uniemożliwia się ją. Jednak jest proponowanych kilka rozwiązań tej sprzeczności, mających uczynić ją sprzecznością pozorną: Podczas podróży w czasie wstecz podróżnik przedostaje się tunelem czasoprzestrzennym do alternatywnego wszechświata, więc zabicie dziadka spowoduje jedynie to, że podróżnik nie narodzi się we wszechświecie do którego się dostał i w którym zabił dziadka, a nie nienarodzenie się podróżnika we wszechświecie, z którego przybywa;Podczas podróży w czasie wstecz podróżnik przedostaje się tunelem czasoprzestrzennym do alternatywnego wszechświata, więc zabicie dziadka spowoduje jedynie to, że podróżnik nie narodzi się we wszechświecie do którego się dostał i w którym zabił dziadka, a nie nienarodzenie się podróżnika we wszechświecie, z którego przybywa; Spis Treści

W czasie podróży w czasie wstecz nie można dokonać niczego, co mogłoby ją uniemożliwić; [nie można się cofać przed moment, w którym powstaje możliwość podróży w czasie wstecz].W czasie podróży w czasie wstecz nie można dokonać niczego, co mogłoby ją uniemożliwić; [nie można się cofać przed moment, w którym powstaje możliwość podróży w czasie wstecz]. Inną kwestią dotyczącą możliwości podróży w czasie jest istnienie twierdzenie fizyka Stephena Hawkinga na temat wehikułu czasu. Argumentem za tym, że nie istnieje on i nigdy nie powstanie, jest to, że w przeciwnym razie obecnie żyliby podróżnicy z przyszłości i dali tego świadectwo.Inną kwestią dotyczącą możliwości podróży w czasie jest istnienie twierdzenie fizyka Stephena Hawkinga na temat wehikułu czasu. Argumentem za tym, że nie istnieje on i nigdy nie powstanie, jest to, że w przeciwnym razie obecnie żyliby podróżnicy z przyszłości i dali tego świadectwo. Spis Treści

Jedna z poglądowych ilustracji paradoksu Russella. Dotyczy ciotki, która lubi tych, co siebie nie lubią i nie lubi tych, co siebie lubią. Odpowiedź na pytanie, czy ciotka lubi siebie prowadzi do paradoksalnej konkluzji, że ciotka lubi siebie wtedy i tylko wtedy, gdy siebie nie lubi.Jedna z poglądowych ilustracji paradoksu Russella. Dotyczy ciotki, która lubi tych, co siebie nie lubią i nie lubi tych, co siebie lubią. Odpowiedź na pytanie, czy ciotka lubi siebie prowadzi do paradoksalnej konkluzji, że ciotka lubi siebie wtedy i tylko wtedy, gdy siebie nie lubi. Łatwo zauważyć można podobieństwo tego paradoksu do paradoksu kłamcy czy golibrody, o których mówiliśmy wcześniej.Łatwo zauważyć można podobieństwo tego paradoksu do paradoksu kłamcy czy golibrody, o których mówiliśmy wcześniej. Paradoks ciotki Spis Treści

Średnica dzieli koło na dwie równe części. Jeżeli jednak za pomocą jednej średnicy powstają dwa półkola i jeżeli przeprowadzić przez środek nieskończenie wiele średnic, to okaże sie, ze półkoli Bedzie dwa razy więcej niż nieskończenie wiele.Średnica dzieli koło na dwie równe części. Jeżeli jednak za pomocą jednej średnicy powstają dwa półkola i jeżeli przeprowadzić przez środek nieskończenie wiele średnic, to okaże sie, ze półkoli Bedzie dwa razy więcej niż nieskończenie wiele. Paradoks Proklosa Spis Treści

Dziękujemy za uwagę

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA