Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: IX Liceum Ogólnokształcące w Poznaniu ID grupy: 97/44_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Liczby Fibonacciego. Semestr/rok szkolny: IV / 2011/2012

Spis treści Ciągi Spirala Fibonacciego Leonardo Fibonacci Złoty podział odcinka Ciąg Fibonacciego Co wiemy o złotej liczbie Przykładowe własności ciągu Fibonacciego Związek złotej liczby z ciągiem Fibonacciego Szukamy ciągu Fibonacciego Liczy Lucasa Bibliografia Ciąg Fibonacciego w przyrodzie

Pojęcie ciągu Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Ciąg nazywamy liczbowym, gdy jego wartości są liczbami. Ciąg o wyrazach: zapisujemy: (an). Funkcje określone na skończonym zbiorze początkowych kolejnych liczb naturalnych nazywamy ciągiem skończonym.

Sposoby określania ciągu Ciąg, podobnie jak funkcja może być podany w różny sposób, np. za pomocą: Opisu słownego, np. „Każdej liczbie naturalnej dodatniej n≤12 przyporządkowujemy liczbę dni w kolejnym n-tym miesiącu roku 2011.” Wzoru ogólnego, np.: Wykresu, np.: Wzoru rekurencyjnego.

Sposoby określania ciągu c.d. Wzór rekurencyjny – wzór służący do wyznaczania wyrazów pewnego ciągu, który uzależnia wartość dowolnego (ogólnego) wyrazu tego ciągu od wartości poprzedzających go wyrazów, np.: Kolejnymi wyrazami tego ciągu są:

Monotoniczność ciągu Ponieważ ciągi są funkcjami, więc możemy badać ich monotoniczność: Ciąg (an) jest rosnący Ciąg (an) jest malejący

Ciąg arytmetyczny Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza, jest stały dla danego ciągu. Ciąg arytmetyczny może być skończony lub nieskończony, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy. Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to: Przykład ciągu arytmetycznego: 2, 7, 12, 17, 22, 27,… dla którego wzór ogólny ma postać:

Ciąg GEOMETRYCZNY Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym stosunek dowolnego wyrazu ciągu do wyrazu, który go bezpośrednio poprzedza, jest stały dla danego ciągu. Ciąg geometryczny może być skończony lub nieskończony, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy. Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q≠0 , to: Przykład ciągu geometrycznego: 2, 4, 8, 16, 32, 64,… dla którego wzór ogólny ma postać:

Fibonacci, Leonardo z Pizy ur. ok.1180, zm. ok.. 1250, matematyk, autor dzieła Liber Abaci (Księga Abaku), w którym przedstawił całą ówczesną wiedzę z zakresu arytmetyki i algebry, podał tam również dziesiątkowy układ liczbowy, napisał również Practica geometriae (Geometria praktyczna), dzieło o zastosowaniu algebry do geometrii

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Ciąg Fibonacciego Wzór rekurencyjny określa ciąg liczbowy o początkowych wyrazach: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … zw. ciągiem Fibonacciego

Wzór Bineta Ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,21,… można określić również wzorem:

Przykładowe własności ciągu Fibonacciego Własność 1 Dowód: c.k.d. dodając równości stronami =1

Przykładowe własności ciągu Fibonacciego Własność 2 (dotyczy sumy liczb o wskaźnikach nieparzystych) Dowód: c.k.d. dodając równości stronami

Przykładowe własności ciągu Fibonacciego Własność 3 (dotyczy sumy liczb o wskaźnikach parzystych) Dowód: Korzystając z wcześniej udowodnionych własności możemy zapisać c.k.d. odejmując równości stronami

Szukamy ciągu fibonacciego … Zad.1. „Przyjmijmy, że króliki żyją nieskończenie długo i że każdego miesiąca każda para rodzi nową parę, a ta może mieć młode, gdy ma dwa miesiące. Zaczynamy hodowlą od jednej, właśnie narodzonej pary. Ile par królików mamy w kolejnych miesiącach?”

Szukamy ciągu fibonacciego … Zad.2. (H. Dudeney ‘a) „Jeżeli krowa rodzi swoje pierwsze cielę -jałówkę w wieku dwóch lat (w trzecim roku od urodzenia), a potem nową jałówkę każdego roku, to ile krów będzie po 12 latach - przy założeniu, że żadna nie padnie?” (przyjmując, że każda jałówka po 2 latach także zacznie rodzić cielęta – jałówki)

Szukamy ciągu fibonacciego … Zad.3. „Gałęzie niektórych drzew rozrastają się w bardzo regularny sposób. Co rok każda gałąź przyrasta o pewną długość, a gałęzie mające co najmniej dwa lata, nie tylko wydłużają się, ale wypuszczają też odrosty, czyli rozdwajają się. Ile gałęzi ma drzewo w kolejnych latach po posadzeniu?”

Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Zauważono, że: łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego, liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin, niektóre gatunki kwiatów posiadają liczbę płatków, odpowiadającą liczbom ciągu Fibonacciego,

Kilka przykładów

Spirala Fibonacciego Warto wspomnieć również o spirali Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. W przekroju muszli widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej.

Złoty podział odcinka Jeżeli odcinek podzielimy w następujący sposób taki, że stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części, to liczbę wyrażająca stosunek złotego podziału nazywamy złotą liczbą i ozn. grecką literą φ. a b a + b

Co wiemy o złotej liczbie: złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: wartość złotej liczby wynosi: złoty podział wykorzystuje się często w proporcjonalnych dziełach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, złota liczba zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

Co wiemy o złotej liczbie c.d.: Złota liczba została wykorzystana przy budowie piramid w Gizie. Przekrój Wielkiej Piramidy, jest trójkątem prostokątnym, nazywanym Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku. Złoty podział został wykorzystany w konstrukcji Partenonu

Związek złotej liczby z ciągiem fibonacciego Wykonując dzielenie kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego przez wyraz poprzedni otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby φ: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… … 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… a ciąg Fibonacciego wyraża się wzorem (Bineta):

Liczby Lucasa Liczby Lucasa tworzone są w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, jednak początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda następna liczba Lucasa jest sumą dwóch poprzednich 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364… Wzór rekurencyjny: Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do złotej liczby φ. Stosunek Ln/Un między odpowiednimi liczbami Lucasa i Fibonacciego dąży do .

Bibliografia Księga liczb – John Conway i Richard Guy Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape Encyklopedia Szkolna Matematyka „Wstęp do liczb Fibonacciego”, Agata Cywińska, Joanna Kozioł http://www.askompetencji.eduportal.pl/ http://www.math.edu.pl http://www.swiatmatematyki.pl http://urbanim.republika.pl/fibonacci.html http://wazniak.mimuw.edu.pl http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=fibonacci

Dziękujemy za uwagę!