Systemy liczbowe wokół nas kl.2b

Wojciech Dziuba System binarny

Powiedzieliśmy sobie, że można wymyślać dowolny system zapisu liczb Powiedzieliśmy sobie, że można wymyślać dowolny system zapisu liczb. Skoro tak, to, czemu miałby nie powstać system dwójkowy, składający się tylko z dwóch cyfr: 0 (zero) i 1 (jeden) ?

Zatem skąd to przyjechało ? Czyli Pochodzenie oraz „wynalazcy”

Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby. Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy jak w systemie dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.

Dobra dobra…. Ale czym to się je ? Czyli przeliczanie ,dodawanie, odejmowanie etc.

Zaraz wszystko wyjaśnię na konkretnym przykładzie Zaraz wszystko wyjaśnię na konkretnym przykładzie. Weźmy na przykład kilka pierwszych liczb naszego systemu dziesiętnego. Będziemy je konwertować na system dwójkowy, zwany również binarnym. Pierwsza liczba w naszym systemie to 0 (zero). W systemie dwójkowym, liczba ta również jest równa 0, gdyż istnieje tam taka cyfra. Kolejna liczba to 1 (jeden). W systemie dwójkowym, również taka cyfra istnieje, więc zapisujemy 1. Kolejna liczba to 2 (dwa). Wiemy, że nie istnieje tam taka cyfra, więc dodajemy kolejną pozycję, a pozycję wysuniętą na prawo, zerujemy. Zatem liczba 2 w systemie dziesiętnym ma postać "10" w systemie dwójkowym. Bynajmniej nie jest to "dziesięć" tylko "jeden, zero". Kolejne liczby w systemie dziesiętnym to: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 itd. W systemie dwójkowym wyglądają one odpowiednio: 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001. Jak widzimy, zasada jest cały czas taka sama.

Dodawanie Odejmowanie Jest analogiczne jak w systemie dziesiętnym.   Odejmowanie 1. Zamieniamy odjemnik na liczbę o znaku przeciwnym czyli zamiana wszystkich 1 na 0 i wszystkich 0 na 1, 2. Po czym dodajemy do tego 1, 3. Wykonujemy najprostsze w świecie dodawanie w systemie binarnym, przy czym najstarszą 1 pomijamy.

Mnożenie Dzielenie Analogiczne jak w systemie dziesiętnym 0*0=0 1*0=0 0*1=0 1*1=1 Kolejne liczby w systemie binarnym, począwszy od zera Dzielenie Oczywiście w systemie binarnym możemy również dzielić, ale jest to na tyle trudne, że bez dokładnej znajomości działania systemu binarnego nie jesteśmy w stanie go wykonać. W takim wypadku dużo łatwiej będzie przeliczyć dzielną i dzielnik na system np. dziesiętny, a następnie podzielić i ponownie przeliczyć na system dwójkowy.

Acha…. Tylko gdzie się tego używa ? Czyli układy scalone i bramki logiczne

Postawmy sobie pytanie: Po co komputerowi taki system? Więc, jak zapewne wszyscy wiedzą, komputer składa się z części elektronicznych. Wymiana informacji polega na odpowiednim przesyłaniem sygnałów. Podstawą elektroniki jest prąd elektryczny, który w układach elektronicznych albo płynie albo nie. Zatem, aby łatwiej było komputerowi rozpoznawać sygnały, interpretuje on płynący prąd jako "1" (jeden), a jego brak jako "0" (zero). Nie trudno się domyślić, że komputer operując odpowiednim ustawieniem, kiedy ma płynąc prąd, a kiedy nie ustawia różne wartości zer i jedynek. Procesor konwertuje je na liczby i w ten sposób powstają czytelne dla nas obrazy, teksty, dźwięk itd. Mam nadzieję, że w ten prosty sposób wyjaśniłem wam mniej więcej jak to się odbywa. Nie tylko w postaci sygnałów elektrycznych reprezentowane mogą być zera lub jedynki. Również na wszelkich nośnikach, np. płyta CD, na której nagrywarka wypala malutkie wgłębienia. Właśnie te wgłębienia są jedynkami, a "równiny" zerami (albo i odwrotnie).    

Zatem podsumujmy: komputer zna tylko zera i jedynki. Bity przyjmują tylko jedną z tych dwóch wartości. Osiem bitów to jeden bajt. Ustawienie ośmiu bitów decyduje o numerze, który może przyjąć maksymalnie 256. Numer decyduje o znaku, jaki komputer ma wykorzystać.

Wszystko fajnie….. Ale na co mi to ? Czyli wpływ na nasze codzienne życie

Ta specyfika systemu binarnego powoduje że za pośrednictwem komputerów jest wykorzystywany w prawie każdej dziedzinie życia i spotykany na każdym kroku. Jest używany, począwszy od bibliotek, poprzez szkoły, sterowanie uliczną sygnalizacją świetlną, produkty sprzedawane w sklepach (kod paskowy), banki, obsługę depozytów bankowych, weksli i innych transakcji finansowych, kierowanie startami i lądowaniem na lotniskach, komputerowy system rezerwacji linii lotniczych - CRS, przy budowie samochodów, przy prowadzeniu domu, a skończywszy na obliczaniu korekty torów lotu rakiet wynoszących satelity na orbitę.

Dobra… ale czy pokrywa się to z innymi systemami ? Czyli podobieństwa i przekształcenia systemu binarnego

Jest też na nim opartych kilka innych systemów liczbowych, np Jest też na nim opartych kilka innych systemów liczbowych, np. System Fibonacciego

System Fibonacciego Michał Raźny

-System Fibonacciego jest przekształceniem systemu Binarnego Fibona... jakiego ? -System Fibonacciego jest przekształceniem systemu Binarnego - Jest on oparty o ciąg Fibonacciego,

Dobrze….. Ale jak to wygląda ? Czyli zapis i przeliczanie W systemie Fibonacciego nigdy nie mogą mieć miejsca dwie jedynki po kolei, prowadziłoby to do różnych pomyłek np. 100(system Fibonacciego) i 11(system Fibonacciego), a to dlatego, iż przelicza się tak: 1000 (system Fibonacciego)= 5*1(do potęgi trzeciej) +3*0(do potęgi drugiej) +2*0(do potęgi pierwszej)+1* 0(do potęgi zero)=5+0+0+0=5  1000 w systemie fibonacciego to 5 w systemie binarnym, Kolejne cyfry liczby w systemie Fibonacciego mnożymy przez kolejne liczby Fibonacciego (pomijając początkowe 0 i 1)

No … Super…. Ale na co nam to ? Czyli zastosowanie w hazardzie System Fibonacciego ma bardzo szerokie zastosowanie w hazardzie, przede wszystkim w ruletce, ten sposób opiera się też po części na rachunku prawdopodobieństwa, Jest on również wykorzystywany przy rynku FOREX i zakładach bukmacherskich, ale żeby to wyjaśnić trzeba by dużo głębiej się w ten temat zanurzyć.

System czwórkowy

Mhm… Tjaaa…. No przecież to oczywiste ! Czyli zapis i przeliczanie - Przeliczanie z systemu czwórkowego na dziesiętny i odwrotnie jest analogiczne do binarnego, tylko że jako podstawę bierzemy cyfrę 4 zamiast 2, Do zapisu służą nam cyfry od 0 do 3, Przykład konwersji, bierzemy liczbę 25 w systemie dziesiętnym: 25:4=6 reszta 1 6:4=1 reszta 2 1:4=0 reszta 1 Czytamy reszty od dołu…I wiemy już, iż 25 w dziesiętnym to w systemie czwórkowym 121

System ósemkowy Rządzi nim taka sama zasada jak czwórkowym i binarnym, wszystkie liczby zapisujemy w nim za pomocą cyfr od 0 do 7, ma on ogromne zastosowanie w informatyce( w językach C, C++, Java i wielu wielu innych).

Skąd to , po co to, i na co to ? Czyli analogia do innych systemów , geneza oraz zastosowania System czwórkowy jest całkowicie analogiczny do systemów: binarnego, ósemkowego i szesnastkowego. Ma on zastosowania m.in. W genetyce, krzywych Hilberta oraz transmisji danych (np. w telegrafie).

System dwunastkowy Rafał Januszewski

Okej…. To może nam powiecie skąd, to przyjechało ? Czyli pochodzenie oraz zastosowania Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A i B z czego A =10 a B=11. -System dwunastkowy był stosowany na bliskim wschodzie do obliczeń w takich naukach jak astronomia. -Dziś w Polsce jest używany do określania jednostek miary (np. cal) i jednostek ilości ( np. tuzin)

No dobra ale… Czym to się je ? Czyli przeliczanie i znaki Przeliczanie na system dziesiętny jest identyczne jak innych systemach pozycyjnych np. ósemkowy , czwórkowy. Wynik zawsze czytamy od tyłu! 66612=6 x122 + 6 x121 + 6 x 120=94210 1000 :12 = 83 r. 4 83 :12= 6 r. B 6 :12= 0 r.6 100010=6B412

System szesnastkowy

Eee… Aaa… Dobra.. Ale oco chooodziii… Czyli geneza i zastosowania Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15. System szesnastkowy jest kolejnym systemem pozycyjnym. System ten jest używany do : -podawania adresów sprzętowych Mac-a, -zapisywania adresów IP (255.255.255.010 a w szesnastkowym F36E2D716) -oraz do przeróbki obrazu.

W takim razie jak to wygląda w praktyce Czyli konwersja i działania Konwersja jest analogiczna do wcześniejszych systemów pozycyjnych. 66616 = 6 · 162 + 6 · 161 + 6 · 160 = 163810 590 : 16 = 36, reszty E 36 : 16 = 2, reszty 4 2 : 16 = 0, reszty 2 59010 = 24E16 Działania : -AE + DC = 18A -DC – AE = 2E

Azjatyckie Systemy Liczbowe

Japoński system liczbowy Japoński: Odmiana sys. dziesiętnego. W systemie tym do zapisu cyfr wykorzystuje się osobne znaki graficzne. W Japonii podobnie jak w Chinach oprócz zapisu liczb codziennych istnieje też forma zapisu liczb używana oficjalnie tj. w urzędach, szpitalach, i innych instytucjach państwowych, a to dlatego że znak odpowiadający „1” można łatwo przerobić na odpowiadający „2”, a nawet „3”.

Zapis liczb w Japonii Zapis liczb kompletnie różni się od naszego chcąc zapisać liczbę 45 musimy postawić znak „4”za nim znak „10” a dopiero po nich znak „5” odczytujemy to jako : 4*10+5=45, gorzej jest z większymi liczbami, ponieważ łatwo można się zgubić np. chcąc zapisać liczbę 2037 należy zapisać znak „2”, potem „1000”, potem „3”, potem „10” i na końcu „7”(2*1000+3*10+7). Co się tyczy dużych liczb to potęgi liczby 10 zwiększają się tam o 4, a nie jak na zachodzie o 3 to znaczy, że u nas większe liczby to 10^6, 10^9, 10^12 itd., a u nich 10^4, 10^8, 10^12 itd.. W dzisiejszych czasach w Japonii stosuje się też zapis za pomocą cyfr arabskich.

Chiński system liczbowy Chiński: Odmiana sys. dziesiętnego. Jest to system niemalże niczym nie różniący się od japońskiego(można też powiedzieć że to japoński nie różni się od chińskiego, ponieważ nie wiadomo kiedy dokładnie 1-i i 2-y zaczęli je stosować) po za kilkoma znakami graficznym, podobnie jak w Japonii w Chinach istnieje konieczność stosowania osobnych znaków urzędowych, lecz najważniejszymi różnicami są po pierwsze: różnice regionalne na które trzeba uważać spowodowane ogromem obszaru Chin. Po drugie: w liczbach w których wysokie rzędy występują obok rzędów niskich np.: 1001,3004,9001 itp. w zapisie występuje przynajmniej jeden znak odpowiadający „0”, ilość tych znaków uzależniona jest od długości odstępu między rzędami i jest zawsze o 1 mniejsza niż ilość zer przedzielających rzędy np. 1001-„1”, „1000”, „0”, „1”. 90003-„9”„10000”, „0”, „0”, „3” .

Wietnamski system liczbowy Kolejna odmiana sys. dziesiętnego. Występują tu 2 rodzaje liczebników rodzimy (popularniejszy), oraz zapożyczony z Chin(rzadszy), różnica polega na tym, że w Japonii i Korei chiński sys. zapisu jest używany częściej niż rodzimy, a w Wietnamie z Chin zapożyczono tylko część znaków i nie jest on tak powszechny jak ich własny.

Wietnam ciąg dalszy W Wietnamie powraca się do zapisywania liczb co 3 tak jak u nas tj. 123456789 zapisuje się 123 456 789 a nie jak w Chinach, Japonii, czy Korei 1 2345 6789. po za tym system ten nie różni się niczym szczególnym, dalej stosuje się tu sposób zapisu większych liczb taki sam jak w 3 poprzednich przypadkach.

Koreański system liczbowy Czwarta już odmiana sys. dziesiętnego. Występują tu 2 rodzaje liczebników: własny, oraz zapożyczony z Chin, w przeciwieństwie do Wietnamu zchińszczony system zapisu wyparł już prawie ich własny system . Podobnie jak reszta sys. z tej grupy zapisywany jest za pomocą znaków graficznych i podobnie jak w Chinach czy Japonii zapisywany jest w mirandach(czwórkach tj. np. 123456789=1 2345 6789). Koreańczycy stosują z własny zapis do zapisywania godzin w trybie 24 godzinnym oraz od 0 do 100, stosują też czasem zapis mieszany.

Zapis Chińskich liczebników

C.d

C.d

Zapis Liczebników Koreańskich Zapis liczb sino-koreańskich 1 kolumna od lewej-cyfra arabska 2 kolumna-cyfra z zapisu chińskiego,3 kolumna-liczebnik sino koreański

Patyczki Liczbowe, czyli jak to się zaczęło Patyczki liczbowe (stosowane w całej powyższej grupie): To małe pręciki, zwykle mające 3–14 cm długości, używane przez matematyków w Chinach, Japonii, Korei i Wietnamie. Są one rozkładane poziomo lub pionowo aby przestawić dowolną liczbę lub ułamek. Opierają się one na rzędach i są one świetnym przykładem sys. pozycyjnego, każdej liczbie jest przypisany odpowiedni „układ” patyczków, a żeby ułatwić sobie liczenie stosowano także specjalne maty do liczenia tak aby nie pomylić np. rzędów wielkości, używano także różnych kolorów gdyż był to najprostszy sposób na rozróżnienie liczb dodatnich i ujemnych

C.d czyli coś więcej o patyczkach Ten system zapisu był jednym z najprostszych, a zarazem najczytelniejszym systemem z tych obowiązujących w tamtych latach. Stosowali go i matematycy i wieśniacy, ponieważ był on na tyle prosty, że każdy mógł go zrozumieć, wraz z biegiem lat „układy” patyczków przypisane poszczególnym liczbom zaczęły się zmieniać i w końcu system ten przestał być używany, nie zmienia to jednak faktu, że był on używany przez kilka tysięcy lat i jest stosowany do dziś w najmniej rozwiniętych częściach Azji.

System Suzhou Suzhou (Chiny): Ostatni z grupy systemów azjatyckich stosowany w Chinach wywodzi się on z patyczków liczbowych i jest protoplastą zapisu chińskich liczb, co prawda posiada on osobne znaki do zapisu niż klasyczne Chińskie liczebniki, lecz był on przed nimi. Zapisywany jest w 2 rzędach, jeden określa ilość/wielkość, a drugi jednostki, ponieważ był to system kupiecki.

Netografia: -jkkulczewski@wp.pl -wikipedia.pl -edu.godula.com -eioba.pl -math.edu.pl -radziun.org - typy.bukmacherskie.pl

Za uwagę dziękują: Wojciech Dziuba Michał Raźny Rafał Januszewski Mikołaj Postawka