Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1 Modele dynamiczne Przykłady podejść do modelowania systemów różnych kategorii rozpoczniemy od: Modeli dynamicznych typu white – box, czyli modeli fenomenologicznych Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym Przypadki, kiedy cele modelowania wymagają budowy modeli dynamicznych: chcemy badać w oparciu o model stany przejściowe (nieustalone) systemu; chcemy przeprowadzać w oparciu o model analizę stabilności, obserwowalności, sterowalności; chcemy generować sterowania systemem w oparciu o predykcję wyjść systemu (sterowanie predykcyjne) ………

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania2 Propozycja kroków budowy modelu dynamicznego Krok I: Dokładne określenie systemu, który ma być modelowany i jego wyodrębnienie z otoczenia Krok II: Obmyślenie idealizowanej reprezentacji systemu, której właściwości będą w dostatecznym stopniu zgodne w zakresie interesujących nas cech (wynikających m. in. z celów modelowania) z właściwościami systemu rzeczywistego Krok III: Budowa modelu matematycznego, który będzie opisywał idealizowaną reprezentację systemu

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania3 Krok I Wyodrębnienie obiektu Wyodrębnienie obiektu wyraża się wyborem wielkości wejściowych – tych wielkości, którymi otoczenie oddziałuje na obiekt oraz wielkości wyjściowych – tych wielkości, którymi obiekt oddziałuje na otoczenie

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania4 Krok II Idealizowana reprezentacja Pod pojęciem idealizowanej reprezentacji rozumiemy utworzony w myśli system, który odpowiada rzeczywistemu pod względem jego istotnych cech wynikających z celów modelowania, ale jest prostszy (idealniejszy) i dlatego łatwiej poddający się analizie Idealizowana reprezentacja obiektu powstaje poprzez przyjęcie szeregu założeń, które w modelowanym obiekcie rzeczywistym są spełnione w określonym stopniu

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania5 Lista często zakładanych przybliżeń: (a) pominięcie małych wpływów; (b) założenie, że modelowany system nie powoduje zmian w swoim otoczeniu; (c)zastąpienie parametrów rozłożonych przez parametry skupione; (d)przyjmowanie zależności liniowych pomiędzy wielkościami opisującymi przyczyny i skutki; (e)założenie, że parametry elementów systemu nie zmieniają się w czasie; (f)pomijanie szumów i nieokreśloności

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania6 Skutki zakładania przybliżeń (a)pominięcie małych wpływów Pomijanie małych wpływów w modelu idealizowanym zmniejsza liczbę zmiennych modelu, a przez to liczbę i stopień skomplikowania relacji modelu matematycznego Przykład: Schemat elektryczny przedstawiony na rysunku pominięto małą wartość indukcyjności i pojemności jaką wykazują rzeczywiste rezystory R 2 i R 3 pominięto małą wartość rezystancji upływnościowej kondensatora C

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania7 Przykład: 1) Wartość napięcia źródła napięciowego, wartość prądu źródła prądowego nie zależy odpowiednio od prądu płynącego przez źródło napięciowe, napięcia na źródle prądowym (b) założenie, że modelowany system nie powoduje zmian w swoim otoczeniu Przyjmowanie, że otoczenie jest niezależne od modelowanego systemu zmniejsza liczbę zmiennych modelu, a przez to liczbę i stopień skomplikowania relacji modelu matematycznego

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania8 (c) zastąpienie parametrów rozłożonych przez parametry skupione Zastąpienie parametrów rozłożonych parametrami skupionymi prowadzi do zastąpienia opisu równaniami różniczkowymi cząstkowymi, opisem równaniami różniczkowymi zwyczajnymi Przykłady: 1)Zastąpienie temperatury ciała temperaturą średnią; 2)Założenie jednolitego wymieszania w całej objętości mieszaniny; 3)Zastąpienie linii przesyłowej elektrycznej szeregowo połączonymi czwórnikami RLC; 4)Zastąpienie masy belki zginanej masą punktową; 5)......

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania9 (d) przyjmowanie zależności liniowych między wielkościami opisującymi przyczyny i skutki Przyjmowanie zależności liniowych prowadzi do zastąpienia opisu równaniami różniczkowymi nieliniowymi, opisem równaniami różniczkowymi liniowymi Możliwość skorzystania z właściwości: Proporcjonalności Addytywności czyli superpozycji Przykłady: 1)Przyjęcie, że rezystancja nie zależy od płynącego przez rezystor prądu; 2)Przyjęcie, że zależność między wydłużeniem sprężyny a siłą rozciągającą jest proporcjonalna; 3)......

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania10 (e) założenie, że parametry elementów systemu nie zmieniają się w czasie (są stałe w czasie) Przyjęcie założenia o stałości parametrów modelu prowadzi do zastąpienia opisu równaniami niestacjonarnymi (o zmiennych w czasie współczynnikach), opisem równaniami różniczkowymi stacjonarnymi (o stałych współczynnikach) Przykłady: 1)Przyjęcie, że współczynnik chropowatości rurociągu sieci wodociągowej nie zmienia się w ciągu tygodnia; 2)Przyjęcie, że upływność izolacji nie zmienia się w ciągu miesiąca; 3)......

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania11 (f) pomijanie szumów i nieokreśloności Pomijanie szumów i nieokreśloności i przyjęcie, że wszystkie wielkości i parametry mają określone i dokładnie znane wartości, usuwa potrzebę podejścia do modelowania na gruncie stochastycznym Przykłady: 1)Przyjęcie, że współczynnik ma wartość średnią ze zbioru pewnych wartości; 2)Przyjęcie, że zakłócenia mają określony przebieg w czasie 3)......

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania12 Krok III Budowa modelu (struktury) w oparciu o: (a)Wykorzystanie praw zachowania lub innych podstawowych praw o charakterze bilansowym (np. prawa Kirchhoffa, Newtona, zachowania masy, itd..) (b)zasadę najmniejszego działania, zwaną często zasadą Hamiltona

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania13 Wyprowadzenie równań modelu poprzedzamy: właściwym wyborem zmiennych, które będą opisywać chwilowy stan systemu Od idealizowanej reprezentacji systemu do modelu matematycznego

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania14 Zmienne modelu dogodnie jest podzielić na zmienne: przepływu, naporu Zmienne przepływu są zmiennymi systemu, które wyrażają intensywność przepływu określonej wielkości przez element systemu, bądź szybkość zmian w czasie określonej wielkości Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – prędkość liniowa wyrażona np. w metrach/sekundę lub prędkość kątowa wyrażona np. w radianach/sekundę; 2) W systemach elektrycznych – natężenie prądu wyrażone np. w amperach (kulombach/sekundę); 3) W systemach płynowych – objętościowe natężenie przepływu wyrażone np. w metrach sześciennych/sekundę, lub masowe natężenie przepływu wyrażone w np. w kilogramach/sekundę; 4) W systemach cieplnych – natężenie przepływu ciepła wyrażone np. w joulach/sekundę

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania15 Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – siła działająca na element wyrażona np. w niutonach; 2) W systemach elektrycznych – napięcie wyrażone np. w woltach; 3) W systemach płynowych – spadek ciśnienia wyrażony np. w pascalach 4) W systemach cieplnych – temperatura wyrażona np. w stopniach Celsjusza Zmienne naporu są zmiennymi systemu, które są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu systemu, wyrażają napór jakiemu poddany jest element

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania16 Centralne zagadnienie wyprowadzenia równań dynamiki Sformułowanie zależności (równań) wyrażających warunki równowagi, poprzez podanie bilansów wielkości właściwych dla rozważanego systemu, które muszą zachodzić dla całego systemu i jego podsystemów lub zależności (równań) wyrażających warunki spójności dynamiki, które muszą zachodzić pomiędzy elementami systemu ze względu na sposób w jaki elementy te łączą się ze sobą

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania17 Zależności równowagi są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i nazywane są czasem zależnościami dla węzłów lub zależnościami ciągłości (I prawo Kirchhoffa, równanie ciągłości strugi, równanie sił w węźle,...) Zależności spójności są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi naporu (II prawo Kirchhoffa, spadek ciśnienia na połączonych kolejno odcinkach rurociągu,...)

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania18 Po wyprowadzeniu równań wynikających z praw zachowania rozwijamy (uszczegóławiamy) je przez uwzględnienie w nich zależności wiążących wielkości związane z poszczególnymi elementami systemu Uwzględniamy również - przyjęte założenia - występujące w systemie tożsamości Systematyczny porządek: 1) wybór zmiennych; 2) zestawienie równań równowagi lub spójności; 3) uwzględnienie zależności wiążących, założeń, tożsamości a wynikowe równania zestawiamy w układ, w którym pozostawiamy jedynie wybrane przez nas zmienne niezależne i zależne

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania19 Zależności wiążące są zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i spadku dla każdego poszczególnego elementu systemu (np.,...)

Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania20 Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu