MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 6 09.04.2008 r

Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) h=0 oznacza ruch po paraboli (e=1): całka pól: łącząc powyższe równania otrzymujemy: P r υ Π q O

Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) Całkując otrzymane równanie dostajemy równanie Barkera: oznaczając ruch średni: i wykorzystując uzyskaną wcześniej zależność: można przepisać równanie Barkera w postaci: P r υ Π q O

Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) Różniczkując wyrażenie: i uwzględniając uzyskane wcześniej: otrzymujemy: które uzasadnia wcześniejszy wybór stałej k P r υ Π q O

Położenie punktu na orbicie h≠0 W tym wypadku mamy trzy możliwe rodzaje ruchu: liniowy – c=0 hiperboliczny – c≠0, h>0 eliptyczny – c≠0, h<0 O Rozpatrzmy równanie (5.5):

Położenie punktu na orbicie h≠0 oznaczając: O możemy przekształcić do postaci: a następnie korzystając z relacji (5.3): uzyskujemy:

Położenie punktu na orbicie h≠0 definiując nową zmienną ρ(E): otrzymujemy: O Rozwiązaniami takiego równania są (poza przypadkami ρ=1): (5.6)

Położenie punktu na orbicie h≠0 Podobnie jak to było robione dla przypadku h=0, z całkowania równania: dostajemy: O Używając tego w równaniach (5.6):

Położenie punktu na orbicie h<0 Drugie z otrzymanych równań odpowiada przypadkowi orbity eliptycznej. Uwzględniając trzecie prawo Keplera możemy je przekształcić do postaci: O Wprowadzając anomalię średnią M dostajemy ostatecznie równanie Keplera: które pozwala otrzymać T – czas przejścia przez perycentrum w ruchu eliptycznym Postępując podobnie otrzymamy analogiczne równanie dla hiperboli.

Położenie punktu na orbicie h<0 Równanie Keplera ma prostą postać, ale nie istnieje jego dokładne rozwiązanie. Jego przybliżone rozwiązania można podzielić na dwie grupy: a) analityczne – z własności funkcji sinus dokonuje się rozwinięcia w szereg b) numeryczne – wykorzystując różne metody rozwiązywania równań nieliniowych otrzymuje się przybliżenia o różnym stopniu zbieżności i dokładności O

Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera Na początku należałoby pokazać, że to równanie ma jedno i tylko jedno rozwiązanie. W tym celu rozpatrzymy funkcję: oraz załóżmy: W takim razie: Funkcja F(E) ma co najmniej jeden pierwiastek w rozpatrywanym przedziale

Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera Zróżniczkujmy funkcję F(E): iloczyn ecosE jest mniejszy od 1 (mamy do czynienia z elipsą), czyli funkcja jest rosnąca w całym przedziale. Wnioskujemy stąd, że mamy tylko jeden pierwiastek w przedziale (nπ,(n+1)π). Następnym krokiem w rozwiązaniu równania Keplera jest znalezienie zerowego przybliżenia rozwiązania.

Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera Zerowe przybliżenie może być liczone na wiele różnych sposobów. Jeśli mamy kilka wyznaczonych wartości E dla kilku dat to następną otrzymujemy poprzez ekstrapolację. Można skorzystać z jednej z wielu metod graficznych, np.: Znając M i e możemy także skorzystać z rozwinięcia w szereg: rysujemy w jednym układzie współrzędnych dwie krzywe: i znajdujemy E, dla którego przecinają się

Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera Znalezione zerowe przybliżenie, E0 może zostać uściślone w następujący sposób. Mamy: gdzie E jest dokładną wartością. Chcemy znaleźć ΔE0. Z równania Keplera: ponieważ ΔE0 jest bardzo małe więc: następnie powtarzamy procedurę aż do uzyskania założonej dokładności.

Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera (metoda Newtona-Raphsona) Metoda N-R pozwala znaleźć miejsce zerowe funkcji f(x). Liczymy jej pochodną w punkcie x1, przy czym f’(x1)≠0. znajdujemy x2: wzór ogólny: pozwala wyznaczyć miejsce zerowe z zadaną dokładnością

Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera (metoda Newtona-Raphsona) Metoda N-R dla równania Keplera: daje wzór ogólny postaci:

Położenie punktu na orbicie h<0 Do wyznaczenia położenia ciała na orbicie eliptycznej otrzymaliśmy następujący zestaw równań: O

Położenie punktu na orbicie h<0 Współrzędne prostokątne i składowe prędkości wyznaczamy z (ćwiczenia): Wróćmy do przypadku h>0 (ruch po hiperboli) O

Położenie punktu na orbicie h<0 S’ S a P P’ r O Π Q υ H całkujemy oznaczamy: E jest hiperboliczną anomalią mimośrodową

Położenie punktu na orbicie h<0 S’ S a P P’ r O Π Q υ H Porównując równania: otrzymujemy: a następnie:

Położenie punktu na orbicie h<0 Uzyskane równania można wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych wprowadzając nową zmienną H: wtedy: Z definicji funkcji hiperbolicznych: można pokazać, że: S’ S a P P’ r O Π Q υ H