Homogenizacja Kulawik Krzysztof

Jeśli liczba niejednorodności w rozważanym ośrodku jest niewielka, to znalezienie rozwiązania tego zagadnienia jest, oczywiście, możliwe bądź analitycznie, bądź numerycznie. Jeśli jednak liczba niejednorodności jest bardzo duża, to rozwiązanie analityczne jest najczęściej niemożliwe, a rozwiązanie numeryczne coraz bardziej czasochłonne i wraz ze wzrostem liczby niejednorodności – coraz bardziej niestabilne. Obserwacja ciał rzeczywistych wskazuje, że reakcja materiału niejednorodnego (o bardzo dużej liczbie niejednorodności) jako całości, po odpowiednim uśrednieniu jest taka, jak gdyby materiał był jednorodny. Wobec tego, w celu określenia rozwiązania zagadnienia brzegowego sformułowanego dla ośrodka niejednorodnego o dużej liczbie niejednorodności, zastępuje się ten ośrodek hipotetycznym ośrodkiem jednorodnym.

Cel metody Celem metody homogenizacji jest sformułowanie dla zadanego ośrodka niejednorodnego równoważnego mu w sensie „średniego zachowania” ośrodka jednorodnego. W praktyce oznacza to założenie o tzw. makrojednorodności ośrodka, tzn. że z punktu widzenia obliczeń inżynierskich ośrodek taki może być traktowany jako jednorodny. W przypadku ośrodków gruntowych i skalnych hipoteza ta jest podstawą, w zasadzie wszystkich stosowanych w geotechnice metod obliczeniowych.

W skali mikro muszą zatem być dane: równania równowagi dla każdej fazy (każdego składnika) układu, warunki brzegowe na granicy rozdziału faz, związki konstytutywne wraz z parametrami, geometria.

Natomiast w procesie homogenizacji musimy otrzymać: równania równowagi, związki konstytutywne wraz z parametrami efektywnymi, prawo lokalizacji, tzn. związek pozwalający określić wszystkie pola fizyczne na poziomie mikroskopowym, gdy znane są makroskopowe pola fizyczne.

Metodologicznie proces homogenizacji formułowany jest w literaturze na dwa sposoby: Reprezentowanej elementarnej objętości (REO) Matematyczna teoria homogenizacji Pierwsze sformułowanie opiera się na pojęciu tzw. reprezentatywnej elementarnej objętości (REO) i polega na objętościowym uśrednieniu, w obrębie tej elementarnej objętości, analizowanych pól fizycznych. W rezultacie silnie nieciągłe pola fizyczne opisu mikroskopowego, poprzez proces uśrednienia ulegają wygładzeniu, stąd nazwa – metoda wygładzania. Drugie sformułowanie jest określane jako matematyczna teoria homogenizacji. Tym razem, w przeciwieństwie do metody wygładzania, proces przejścia z opisem matematycznym ze skali mikroskopowej do makroskopowej dokonuje się poprzez parametryzację opisu matematycznego parametrem ε > 0, będącym parametrem skali (np. reprezentującym typowy wymiar porów), a następnie poprzez żądanie, aby ε → 0.

Metoda wygładzania Podstawowym założeniem teorii homogenizacji, interpretowanej w sensie metody wygładzania, jest postulat o możliwości zdefiniowania w rozważanym ośrodku mikroniejednorodnym tzw. reprezentatywnej elementarnej objętości (REO). Przez pojęcie to rozumie się najmniejszą objętość rozważanego ośrodka, która zawiera wszystkie informacje potrzebne do kompletnego opisu struktury i własności całego materiału Proces przejścia „mikro–makro” jest oparty na operacji uśredniania Do uwzględnienia statystycznej natury mikrostruktury ośrodków losowych REO musi być odpowiednio duży, aby być statystycznie reprezentatywnym, tzn. musi zawierać wszystkie elementy możliwych mikrostrukturalnych konfiguracji ośrodka. Oznacza to, że REO powinien zawierać bardzo dużą liczbę występujących w ośrodku niejednorodności, takich jak ziarna, wtrącenia, pory, spękania itp. Równocześnie REO musi być odpowiednio mały w stosunku do całej objętości ośrodka, aby można było zdefiniować ekwiwalentny ośrodek makroskopowo jednorodny. (1) – miara objętości REO, m(y) – pewna funkcja wagi

Rys. 1. Schemat metody wygładzania

W procesie wygładzania wyróżnia się dwie rodziny zmiennych fizycznych, tzn.: zmienne makroskopowe opisujące stan ośrodka jednorodnego, którego właściwości poszukujemy, oraz zmienne mikroskopowe – opisujące stan ośrodka w obrębie REO (rys. 2) Rys. 2. Dwie rodziny zmiennych fizycznych definiowane w metodzie wygładzania

Uzupełnienie opisu lokalnego o warunki brzegowe na granicy REO umożliwia również określenie prawa lokalizacji, tj. zależności pozwalającej na obliczanie wartości i rozkładów mikroskopowych pól fizycznych, gdy dane są wartości makroskopowych zmiennych fizycznych i pełna informacja o mikrostrukturze.

Uszczegółowienie metody wygładzania Metody wagowego i objętościowego uśredniania - w mechanice ośrodków wielofazowych, Ciągła mikromechanika - do analizy procesu deformacji ośrodka, jak również do prognozowania właściwości efektywnych kompozytowych ośrodków stałych,

Matematyczna teoria homogenizacji Jeśli liczba niejednorodności jest bardzo duża (zdąża do nieskończoności), to rozwiązanie dla ośrodka niejednorodnego jest bliskie rozwiązaniu dla ośrodka makroskopowo jednorodnego. Przy ustalonej objętości ośrodka niejednorodnego wzrost liczby niejednorodności implikuje spadek wymiaru pojedynczej niejednorodności (rys. 3). Przypomnijmy, celem metody homogenizacji jest sformułowanie, dla zadanego ośrodka niejednorodnego (o bardzo dużej liczbie niejednorodności), równoważnego ośrodka makroskopowo jednorodnego.

Rys. 3. Schematyczny obraz matematycznej teorii homogenizacji

W matematycznym sformułowaniu metody homogenizacji, proces przejścia z jednej skali obserwacji do drugiej dokonuje się więc poprzez parametryzację mikroskopowego opisu matematycznego parametrem skali ε > 0 (np. wymiar niejednorodności), a następnie żądaniem, aby ε → 0. Otrzymane przy żądaniu ε → 0: granica rozwiązania oraz opis matematyczny spełniony przez tę granicę są poszukiwanymi: polem makroskopowym, opisem makroskopowym. Rozważa się więc cały zbiór zagadnień parametryzowanych przez ε, a nie jedną konkretną sytuację, jak w metodzie wygładzania.

Zależnie od rodzaju ośrodka, tj Zależnie od rodzaju ośrodka, tj. czy jest to ośrodek periodyczny czy losowy, przy dowodzeniu zbieżności stosuje się, odpowiednio, twierdzenia o zbieżności ciągu funkcji okresowych (homogenizacja dla struktur periodycznych) lub twierdzenia ergodyczne (homogenizacja stochastyczna).

Pod względem „narzędzia” oraz pojęć matematycznych stosowanych do opisu ośrodka losowego oraz dowodzenia zbieżności, homogenizacja stochastyczna jest o wiele bardziej skomplikowana (pojęcia z teorii miary, ergodyczności, systemów dynamicznych etc.) niż homogenizacja struktur periodycznych. Świadczy o tym kolejność otrzymywanych wyników, tj.: najpierw ekwiwalentny opis matematyczny dla ośrodka o strukturze periodycznej, a następnie rozszerzenie ważności na ośrodki losowe Jednocześnie wyniki te potwierdzają, intuicyjnie przewidywane stwierdzenie, że struktura opisu matematycznego dla równoważnego ośrodka jednorodnego powinna być taka sama, niezależnie od tego, czy mikrostruktura ośrodka jest losowa czy periodyczna, przynajmniej dla pewnych klas ośrodków i procesów.

Zastosowanie metod homogenizacji Jest podstawą, w zasadzie wszystkich stosowanych w geotechnice metod obliczeniowych dla ośrodków gruntowych i skalnych, Modelowanie naprężeń własnych w kompozytach,

Literatura [1]. ŁYDŻBA D., „Zastosowania metody asymptotycznej homogenizacji w mechanice gruntów i skał”, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2002 [2]. Golański D., Modelowanie naprężeń własnych w kompozytach MMC z wykorzystaniem metody homogenizacji i techniki cyfrowej obróbki obrazu”, Kompozyty (Composites) 2(2002)5, 354-358.