1

DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Miejskie Gimnazjum w Darłowie, Gimnazjum Publiczne im. Ireny Sendler w Lamkach ID grupy: 98/57_MF_G2, 98/45_MF_G1 Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych. Semestr/rok szkolny: III/2010/2011 2

Projekt ,,Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ. I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT 3

Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych

CELE TEMATU PROJEKTOWEGO: kształcenie umiejętności samodzielnego korzystania z różnych źródeł informacji, gromadzenie, selekcjonowanie i przetwarzanie zdobytych informacji, doskonalenie umiejętności prezentacji zebranych materiałów, rozwijanie własnych zainteresowań, samokształcenie, wyrabianie odpowiedzialności za pracę własną i całej grupy, kształcenie umiejętności radzenia sobie z emocjami oraz godnego przyjmowania niepowodzeń i ich właściwej interpretacji.

MATEMATYKA :( ;) Potęgi: oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych, zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy potęg o takich samych podstawach, iloczyny i ilorazy potęg o takich samych wykładnikach oraz potęgę potęgi, porównuje potęgi o różnych wykładnikach naturalnych i takich samych podstawach oraz porównuje potęgi o takich samych wykładnikach naturalnych i różnych dodatnich podstawach, zamienia potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych, zapisuje liczby w notacji wykładniczej.

SYSTEM DZIESIĘTNY, ÓSEMKOWY I DWÓJKOWY System ósemkowy: Początkowo był stosowany, obecnie jednak jego zastosowanie jest znikome. System dziesiętny: Używany jest do wszelkich obliczeń. System dwójkowy: Używany w elektronice cyfrowej. 7

SYSTEMY LICZBOWE Systemy liczbowe dzielimy na pozycyjny i niepozycyjny. W systemach pozycyjnych wartość liczby zależy od położenia cyfr w liczbie. (system dziesiątkowy, dwójkowy, ósemkowy itd.) Przykładem systemu niepozycyjnego jest system rzymski, w którym wartość liczby jest sumą wartości znaków.

SYSTEM RZYMSKI CYFRY W SYSTEMIE RZYMSKIM I - 1 VIII – 8 II – 2 IX – 9 III – 3 X – 10 IV – 4 L - 50 V – 5 M – 1000 VI – 6 C – 100 VII – 7 D – 500

ZAPIS LICZBY W SYSTEMIE RZYMSKIM Jeśli cyfry zapisane są malejąco, to liczba jest równa sumie cyfr. Np.: CII = 100 + 2 = 102 Jeśli przed większą cyfrą występuje mniejsza to należy wykonać odejmowanie. Np.,: CIL = 100 + ( 50 – 1 ) = 149

SYSTEM DZIESIĄTKOWY POZYCYJNY (SYSTEM ARABSKI) Do zapisu liczb używamy cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. W zapisie liczb wyróżniamy kolejno (rozpatrując od końca ) rzędy: jedności, dziesiątek, setek, tysięcy, itd…

SYSTEM DWÓJKOWY W systemie dwójkowym występują tylko dwa cyfry 0 i 1. Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b. Aby zapisać liczbę w systemie dwójkowym należy podzielić ją przez 2. Np. liczba 457 : 457 1 228 0 114 0 57 1 28 0 14 0 7 1 3 1 1 1 0

SYSTEM DWÓJKOWY Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach: 1+ 0 = 1 1 + 1 = 10 1* 0 = 0 1 * 1 = 1 10 - 1 = 1

Czyli w systemie dwójkowym liczbę 457 możemy zapisać :

ZAMIANA LICZBY Z SYSTEMU DWÓJKOWEGO NA DZIESIĄTKOWY: Aby zamienić liczbę zapisaną w systemie dwójkowym (binarnym) na zapis w systemie dziesiątkowym postępujemy tak : Np.. liczba

SYSTEM SZESNASTKOWY System szesnastkowy zwany także heksadecymalnym posługuje się szesnastoma symbolami z tym, że nie używa liczb od 0 do 15 lecz cyfr od 0 do 9 a pozostałych sześć liczb zastępuje pierwszymi, wielkimi literami alfabetu A, B, C, D, E, F.W zapisie tym występują oczywiście także potęgi liczby 16, która jest podstawą tego systemu.

ZAMIANA NA SYSTEM SZESNASTKOWY I ODWROTNIE Zamiany na system szesnastkowy, (czwórkowy, itp.) dokonujemy podobnie jak w przypadku systemu dwójkowego - należy jednak liczbę dzielić przez 16 (8,…) i wówczas bierzemy resztę z tego dzielenia zapisaną w odwrotnej kolejności. Jeśli chcemy powrócić z systemu szesnastkowego do dziesiątkowego, wówczas podstawą potęgi nie jest liczba 2, tylko 16.

CIEKAWE WŁASNOŚCI KWADRATÓW LICZB ,,JEDYNKOWYCH'': 1111*1111111=1234444321 111111111²=12345678987654321 11111111²=123456787654321 1111111²=1234567654321 111111²=12345654321 11111²=123454321 1111²=1234321 111²=12321 11²=121 1²=1

Bit - Jest to najmniejsza jednostka informacji używana w odniesieniu do sprzętu komputerowego, a oznaczana jest za pomocą „b”. Bajt - najmniejsza adresowalna jednostka informacji pamięci komputerowej, składająca się z bitów. W praktyce przyjmuje się, że jeden bajt to 8 bitów. Jednostka składająca się z ośmiu bitów zwana jest również oktetem. Bywa też że "bajt" definiuje się jako 8 bitów, a najmniejszą adresowalną jednostkę pamięci – char. 19

JEDNOSTKI PAMIĘCI: Bajt - 2³ bitów = 8 bitów Kilobajt - 210 bajtów = 1 024 bajty Megabajt - 220 bajtów = 1 048 576 bajty Gigabajt - 230 bajtów = 1 073 741 824 bajty Terabajt – 240 bajtów = 1 099 511 627 776 bajty

21

A OTO MAŁA SZTUCZKA Z ODCZYTYWANIEM MYŚLI...;) Pomyśl dowolną liczbę naturalną. Podnieś tę liczbę do kwadratu. Dodaj wynik do pomyślanej liczby. Podziel rezultat przez liczbę pomyślaną. Dodaj do wyniku – powiedzmy – 17. Odejmij pomyślaną przez siebie na początku liczbę. Wynik podziel przez 6.

CIĄG DALSZY SZTUCZKI... Ciekawe dlaczego ? Czy wynik, który otrzymałeś na końcu wynosi: Ciekawe dlaczego ? Musimy wspólnie nad tym pomyśleć...;)

NAZWY DUŻYCH LICZB 1000000000 MILIARD 1000000000000 BILION 1000000000000000 BILIARD 1000000000000000000 TRYLION 1000000000000000000000 TRYLIARD

… i tak dodając po trzy zera tworzymy kolejne liczby olbrzymy: sekstylion, sekstyliard, septylion, septyliard, oktylion, oktyliard, nonylion, nonyliard, decylion, decyliard, undecylion, undecyliard, dodecylion, dodecyliard, tridecylion, tridecyliard, kwatuordecylion, kwatuordecyliard, kwindecylion, kwindecyliard, seksdecylion, seksdecyliard, centylion…. Kto zgadnie dalej?

NAJWIĘKSZĄ POZNANĄ LICZBĄ, JEST: 1 i 100 zer to Googol

Patrząc na liczby olbrzymy można powiedzieć: ,,Co tam być milionerem, gdyby zostać centylionerem albo googolnerem ;)''

DUŻE LICZBY MOŻNA ZAPISAĆ PROŚCIEJ NAZYWAMY TO NOTACJĄ WYKŁADNICZĄ. ZAPIS WYKŁADNICZY NAZWA 1024 KWADRYLION 1027 KWADRYLIARD 1033 KWINTYLIARD 1039 SEKSTYLIARD 1063 DECYLIARD 1099 SEKSTYLIARD

Z DUŻYMI LICZBAMI CZĘSTO MOŻEMY SIĘ SPOTKAĆ I NIE CHODZI TU O GOTÓWKĘ Szybkość światła - 3*108 m/s Odległość Ziemi od Słońca zwana Jednostką Astronomiczną -15*10 10 m Rok świetlny, jednostka odległości stosowana w astronomii – 9,46*1015 m Parsek, jednostka odległości stosowana w astronomii - 3,08*1016 m Bar jednostka ciśnienia – 105 Pa Ładunek elektronu – 1,76*1011 C/kg Liczba atomów we Wszechświecie - 1080 Gęstość neutronu – 1018 kg/m3

LICZBY LILIPUTY: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 03 kg=3*10-26kg (masa cząsteczki wody) 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg =1,6726*10-27kg (masa cząsteczki protonu) 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 95 =9,1095*10-31kg (masa elektronu)

LICZBA PRZEDROSTEK OZNACZENIE PRZEDROSTKI W ,,SI'' LICZBA PRZEDROSTEK OZNACZENIE 10^-1 DECY d 10^-2 CENTY c 10^-3 MILI m 10^-6 MIKRO µ 10^-9 NANO n 10^-12 PIKO p 10^-15 FEMTO f 10^-18 ATTO a

MAŁE LICZBY W PRZYRODZIE W przyrodzie występuje wiele gatunków zwierząt i roślin, których rozmiary i nie tylko można wyrazić za pomocą potęg o wykładniku całkowitym (nie naturalnym). Czy wiecie na przykład, że: •modliszka łapiąc swoje ofiary wysuwa przednie łapy w ciągu 0,000 3 sekundy czyli 3*10-4s

Najmniejszy owad świata pochodzący z rodziny błonkówek (ich skrzydła pokrywa cienka, przezroczysta błona), ma długość 0,17 milimetra czyli 17*10-2mm, tzn. 17*10-5m.

•komar waży 0,000 001 5 kilograma czyli 15*10-7kg •pyłek niezapominajki waży 0,000 000 000 000 14 kg czyli 14*10-14kg

Mnożenie potęg o jednakowych podstawach: DZIAŁANIA NA POTĘGACH Mnożenie potęg o jednakowych podstawach: Przykład : 35

Dzielenie potęg o jednakowych podstawach a n : a m = a n - m Przykład: 5 17 : 5 2 = 5 17-2 = 5 15 36 36

Potęga potęgi ( a m ) n = a m · n Przykład: (5 5) 5 = 5 5∙5 = 5 25 37

Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach a n · b n = (a · b) n Przykład: 3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2 = 36 38

ANKIETA DOTYCZĄCA LICZB BARDZO MAŁYCH Którą potęgą liczby 10 jest jedna biliardowa ? A. 9 B. -8 C. -15 D. -9 2. Jaka jest potoczna nazwa liczb bardzo małych ? A. milionowe B. malutkie C. karły D. liliputy 3. to słownie jedna A. milionowa B. miliardowa C. biliardowa D. jeden 4. kg to masa cząsteczki A. wodoru B. chloru C. wody D. amoniaku

5. Jeden bajt, ile to bitów. A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 6 5. Jeden bajt, ile to bitów ? A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 6. Czego jednostką jest bit ? A. pola B. czasu C. masy D. informacji 7. Przedrostek „nano” oznacza części : A. bilionowe B. trylionowe C. biliardowe D. miliardowe 8. Jedna milionowa tony to : A. 10 g B. 1 g C. 10 dag D. 1 dag ? 9. jest równe : A. 0 B. -1 C. 1,1 D. 1 ? 10. Pikometr, ile to metrów ? A. 0,01 B. C. 100 D.

POPRAWNE ODPOWIEDZI: C B A D 10. D

KONIEC ;)

Źródła: http://www. bazywiedzy. com/dzialania-na-potegach 43

44