Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZSPiG Krobia ID grupy: 98/77_mf_g1 Kompetencja: Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Paradoksy w matematyce Semestr/rok szkolny: czwarty / 2011/2012

Spis treści Pojęcie paradoksu i sofizmatu Najbardziej znane paradoksy Równość 1,0 = 0,(9) Prędkość średnia 1 = 2 ? Podwyżka i obniżka Długość okręgu Iluzje optyczne

Paradoks Paradoks (gr. parádoksos – nieoczekiwany, nieprawdopodobny) – twierdzenie logiczne prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Sprzeczność ta może być wynikiem błędów w sformułowaniu twierdzenia, przyjęcia błędnych założeń a może też być sprzecznością pozorną, sprzecznością z tzw. zdrowym rozsądkiem. sofizmat Sofizmat (z gr. "sophisma" - wybieg, wykręt) czyli sztuka "wykręcania kota ogonem", zwodniczy "dowód" matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający rozmyślnie wprowadzony błąd logiczny, trudny do wykrycia na pierwszy rzut oka; wypowiedź lub sformułowanie, w którym świadomie został ukryty błąd rozumowania nadający pozory prawdy fałszywym twierdzeniom.

Najbardziej znane paradoksy Paradoks kłamcy Paradoks golibrody Paradoks Zenona z Elei Paradoks Monty Halla

Paradoks kłamcy Paradoks kłamcy zwany także paradoksem Eubulidesa lub antynomią kłamcy, mówi o niemożliwości zdefiniowania pojęcia prawdy w obrębie języka, do którego to pojęcie się odnosi. Paradoks brzmi następująco: Pewien człowiek twierdzi: "ja teraz kłamię". Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczności. Jeśli kłamie, to stwierdzając "ja teraz kłamię" wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie. Należy rozróżnić kłamstwo od fałszu (jednego ze stanów logicznych). Fałsz, to brak prawdy (obiektywnej). Natomiast kłamstwo to zdanie niezgodne z przekonaniami osoby je wypowiadającej – kłamstwo zatem jest przedmiotem zainteresowania pragmatyki. W powyższym przykładzie pojęcie "kłamać" użyte jest w znaczeniu "mówić nieprawdę". Zdanie skonstruowane tak, że nie można z niego wywnioskować żadnej prawdy (obiektywnej), jest w oczywisty sposób fałszywe. Paradoks ten można uznać za wyjściowy dla całej grupy paradoksów jak chociażby dla "paradoksu kartki papieru". Polega on na napisaniu na jednej stronie kartki papieru zdania "Zdanie na przeciwnej stronie kartki jest prawdziwe" natomiast na drugiej "Zdanie na przeciwnej stronie kartki jest fałszywe", lub: "Poniższe zdanie jest fałszywe. Powyższe zdanie jest prawdziwe." Próbując rozstrzygnąć prawdziwość tych zdań dojdziemy do podobnych sprzeczności jak w paradoksie kłamcy.

Paradoks golibrody W pewnym mieście jest fryzjer, który goli wszystkich mężczyzn, którzy nie golą się sami, natomiast nie goli tych mężczyzn, którzy golą się sami. Czy ów fryzjer goli się sam? Jeśli goli się sam, to nie może golić się sam, a jeśli należy do mężczyzn, którzy nie golą się sami, to goli się sam!

Paradoks Zenona z Elei Achilles i żółw Jeden z najbardziej znanych paradoksów w historii świata. Był argumentem używanym przez filozofów, którzy negowali istnienie ruchu. Wyobraźmy sobie następującą sytuację: Achilles i żółw zaczynają się poruszać w tą samą stronę. Achilles biega dwa razy szybciej niż żółw, więc na początku żółw powędrował na połowę dystansu. Żółw zaczyna się poruszać i przemieszcza się o niewielki dystans. Achilles rozpoczyna pościg: kiedy dobiega do miejsca, w którym stał żółw, zwierzątko jest już dalej. Achilles dalej goni żółwia: kiedy dobiega do miejsca, w którym stał przed chwilą zwierzak, jego już tam nie ma: przesunął się o niewielki dystans. Takie rozumowanie można ciągnąć w nieskończoność. Nasuwa się jedyny logiczny wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, a ruch nie istnieje.

Paradoks monty halla Zawodnik stoi przed trzema zasłoniętymi bramkami. Za jedną z nich (za którą – wie to tylko prowadzący program) jest nagroda (umieszczana całkowicie losowo). Gracz wybiera jedną z bramek. Prowadzący program odsłania inną bramkę (co istotne – anonsując, że jest to bramka pusta), po czym proponuje graczowi zmianę wyboru. Intuicyjnie nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje się jednak, że jest inaczej. Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Natomiast przy wyborze "strategii zmiany" wynosi 2/3. Oznacza to, że zawodnikowi opłaci się zmienić bramkę, ponieważ ma wtedy dwa razy większe szanse na wygraną. Paradoks wynika z niedocenienia informacji jaką "między wierszami" przekazuje prowadzący. Informacją tą jest wskazanie (zawsze!) pustej bramki. Innymi słowy poprzez otwarcie jednej z pustych bramek, prowadzący zmniejsza liczność zbioru "pustych bramek", a w rezultacie prawdopodobieństwo przegranej z 2/3 do 1/3. "Pozostałe" prawdopodobieństwo wygranej musi wynosić więc obecnie 2/3.

Równość 1,0 = 0,(9)

samo długo z prędkością v1 i z prędkością v2 !!! Prędkość średnia na trasie, której połowę pokonano z prędkością V1 , a drugą z prędkością v2 Oblicz prędkość średnią ciała, które pierwsze 100m poruszało się z prędkością 20m/s, a kolejne 100m z prędkością 40m/s. Mogłoby się wydawać, ze prędkość średnia będzie równa 30m/s, jednak obliczenia pokazują coś zupełnie innego. Prędkość średnia to iloraz całkowitej drogi przez czas, w którym trwał ten ruch. Zatem: Całkowita trasa jest równa 200m s1=100m v1=20m/s s2=100m v2=40m/s t1 = s1 / v1 = 100 / 20 = 5s t2 = s2 / v2 = 100 / 40 = 2,5s t = t1 + t2 = 5s + 2,5s = 7,5s Prędkość średnią można obliczać jako średnią arytmetyczną poszczególnych prędkości, jeśli pojazd porusza się tak samo długo z prędkością v1 i z prędkością v2 !!!

1 = 2 ? Załóżmy, że: Mnożąc stronami przez (-2) i dodając stronami równania otrzymujemy : Przenosimy na jedną stronę równania litery ze współczynnikami 1, a na drugą z 2: Zatem :

Podwyżka i obniżka o ten sam procent Cenę towaru obniżono o 10%, a następnie podwyższono o 10% Wydawać mogłoby się, że cena końcowa jest równa wyjściowej, jednak nie jest to prawdą. Pokażemy to wykonując obliczenia: x – cena początkowa towaru Po obniżce o 10%: x - 10% z x = 0,9 x Podwyżka o 10% 0,9 x + 10% z 0,9 x = 0,9 x + 0, 09 x = 0,99 x = 99% x Widać, że ostatecznie cena końcowa jest niższa o 1 % od początkowej. Podobne rozumowanie można przeprowadzić, kiedy najpierw następuje podwyżka, a później obniżka ceny o taki sam procent

Wszystkie okręgi mają taki sam obwód ! Mamy dwa współśrodkowe okręgi o różnych promieniach. Jeden z nich przetaczamy po linii prostej. Droga, jaką przebył jest równa obwodowi tego okręgu. Możemy jednak zauważyć, że okrąg o mniejszym promieniu przebył identyczną drogę, mimo że wykonał również tylko jeden obrót ! Oba okręgi mają więc identyczny obwód !

Iluzje optyczne czy Rzymianin stoi za kolumną? Ile jest kolumn?? Patrząc na cztery obrazki obok, czy widzisz, aby one się ruszały? Ciekawa iluzja, lecz naprawdę to one stoją w miejscu :) Czy te proste są równoległe?

Iluzje optyczne c.d. Ile słoń ma nóg? Twarz kobiety czy muzyk ? Czy ludzie stoją na piętrze czy na parterze?