Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: I Liceum Ogólnokształcące im. Powstańców Wlkp. w Koźminie Wlkp. ID grupy: 97/32_G2 Opiekun: Jarosław Kucharski Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Jak się waha wahadło? Semestr/rok szkolny: IV/2011/2012

WPROWADZENIE Tematem naszego projektu było udzielenie odpowiedzi na pytanie: „Jak się waha wahadło?”. Głównym celem projektu było poznanie i opracowanie niezbędnych wiadomości pozwalających zrozumieć mechanizmy ruchu drgającego. Najważniejsze zagadnienia przedstawione w części teoretycznej prezentacji to: Cechy ruchu drgającego, pojęcia opisującego ruch drgający Rodzaje wahadeł i ich charakterystyka Analiza ruchu drgającego na podstawie symulacji komputerowych i przeprowadzonych doświadczeń

Zakres i podział zadań Na początku pracy nad projektem każdemu uczestnikowi grupy przydzielono zagadnienia do opracowania w formie prezentacji, które następnie zostały zaprezentowane przed całą grupą. Podsumowaniem tych opracowań jest prezentacja końcowa. Grupa matematyczna zajęła się przygotowaniem zadań i problemów związanych z wykonaniem mniej lub bardziej skomplikowanych obliczeń matematycznych (wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego, zadania związane z ruchem harmonicznym). Grupa fizyczna opracowała wiadomości z zakresu tematyki ruchu drgającego starając się wyczerpująco odpowiedzieć na postawione w temacie projektu pytanie „Ja się waha wahadło?”. Przygotowała i przeprowadziła proste eksperymenty fizyczne i symulacje komputerowe . Głównymi odpowiedzialnymi za całokształt pracy byli Mateusz i Przemek.

Ruch harmoniczny Cechy ruchu drgającego: Jest to ruch powtarzający się Prędkość ciała ulega zmianie, zmienia się jej wartość i zwrot Ciało zbliża się do położenia równowagi ruchem przyspieszonym, a oddala się od niego opóźnionym W położeniu maksymalnego wychylenia szybkości ciała drgającego jest równa zeru Podczas przechodzenia przez położenie równowagi ciało ma maksymalną szybkość

Ruch harmoniczny Pojęcia opisujące ruch drgający : Położenie równowagi – położenie ciała przed wprawieniem go w ruch drgający Wychylenie (x) – współrzędna położenia ciała drgającego w pewnej chwili Amplituda (A) – maksymalne wychylenie z położenia równowagi Okres drgań (T) – czas, w którym ciało wykonuje jedno pełne drgania Częstotliwość drgań (v) – informuje nas, jaka jest liczba drgań w jednej sekundzie.

Wahadło Ciało stałe zawieszone ponad swoim środkiem ciężkości, wykonujące drgania (wahania) pod wpływem siły grawitacyjnej.

Podział Wahadeł Matematyczne Fizyczne Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego. Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wahadło fizyczne Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń: gdzie: d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości, g - przyspieszenie ziemskie, I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu, m - masa ciała.

Wahadło foucalta Jest to duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa spowodowanej obrotem Ziemi, płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi. Ściśle mówiąc płaszczyzna wahań jest stała w układzie inercjalnym, zatem musi obracać się w układzie wirującym. Obserwowany okres obrotu płaszczyzny ruchu wahadła można zapisać w postaci przybliżonej jako: gdzie ϕ, to szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło.

Wahadło Foucalta w Poznaniu

Wahadło torsyjne Ciało wykonujące wahadłowy ruch obrotowy, siłą kierującą jest siła sprężystości. Może to być ciało, zawieszone na sprężystym drucie. Okres drgań takiego wahadła wynosi: gdzie: I - jest momentem bezwładności, D - momentem siły skręcającej przypadającym na jednostkowy kąt skręcenia.

Zegar stołowy z wahadłem torsyjnym (widocznym pod tarczą zegara) Wahadło torsyjne ze sprężyną w postaci drutu poddawanego naprężeniom skręcającym

Wahadło zegarowe Wahadło fizyczne stosowane w zegarach w charakterze podzespołu odmierzającego jednakowe odcinki czasu. Wykonuje manewr trzęsący się element z częstotliwością niezmiernie bliską swojej częstotliwości rezonansowej. Regulacja okresu wahadła (strojenie zegara) odbywa się na przemian wypieranie ciężarka albo dokręcenie śruby, której punkt wpływa na bezwładności wahadła.

Podstawowe parametry wahadła okres wahań długość zredukowana – długość wahadła matematycznego o takim samym okresie amplituda – kąt pomiędzy maksymalnym wychyleniem a położeniem równowagi dobroć – stosunek energii mechanicznej wahadła do energii rozpraszanej w ciągu jednego okresu (dobroć wahadeł pracujących w powietrzu sięga 10 000) Okres wahań wahadła zegarowego zmienia się pod wpływem zmian: przyspieszenia ziemskiego – jego wzrost powoduje zmniejszenie okresu wahań temperatury otoczenia – wzrost temperatury powoduje powiększenie okresu na skutek wydłużenia wahadła w wyniku rozszerzalności cieplnej amplitudy – wzrost wychyleń wahadła powoduje wzrost okresu (jest to tzw. błąd kołowy) ciśnienia atmosferycznego – wzrost ciśnienia powoduje wydłużenie okresu na skutek siły wyporu powietrza działającej na wahadło oraz zwiększenia oporu powietrza

Rysunek techniczny wahadła zegarowego

Wahadło ciekłe y l Jeśli rurkę o kształcie U i stałym przekroju S napełnimy cieczą o gęstości , ustala się po pewnym czasie równowaga dla której poziom cieczy określa linia przerywana. Słup cieczy w kształcie litery U ma długość l. Jeśli w jednej rurce przesuniemy o y poziom cieczy, powstaje różnica poziomów 2y między rurkami. Ciężar wystającego słupa cieczy o masie m2y powoduje pojawienie się siły zwrotnej. Zgodnie z prawem Newtona mamy :

Nadmiarowa masa wynosi : Rozwiązanie tego równania jest następujące : Równanie różniczkowe dla drgającej cieczy ma postać : Rozwiązanie tego równania jest następujące :

Bibliografia http://pl.wikipedia.org/wiki/Wahad%C5%82o http://www.walter-fendt.de/ph14pl/pendulum_pl.htm http://www.bryk.pl/teksty/liceum/fizyka/ruch_i_jego_powszechno%C5%9B%C4%87/13073- pomiar_przyspieszenia_ziemskiego_przy_u%C5%BCyciu_wahad%C5%82a_matematyczne go.html P. Walczak, G. Wojewoda, Fizyka i astronomia 2, wyd. Operon, Gdynia 2003 M. Fiałkowska, K. Fiałkowski, B. Sagnowska, Fizyka dla szkół ponadgimnazjalnych, wyd. Zamkor, Kraków 2002

REALIZACJA PRZEBIEGU ZADAŃ Źródło: http://fizyka.org/?teoria,9,5

Analiza ruchu wahadła matematycznego Wykorzystano programik demonstrujący zmiany wychylenia, prędkości, przyspieszenia, siły i energii podczas drgań wahadła (przy założeniu, że nie ma oporów ruchu). Można w nim zmieniać następujące parametry symulacji: długość nici, masę punktu materialnego, maksymalny kąt wychylenia. Wybierając jeden zparametrów: wychylenie, prędkość, przyspieszenie, siła, energia można obserwować na rysunku zmiany odpowiedniej wielkości fizycznej w czasie, a na wykresach zależność od czasu: wychylenia, energii oraz współrzędnych prędkości, przyspieszenia i siły. Wniosek: okres wahań nie zależy ani od masy zawieszonego ciała, ani od amplitudy (potwierdzono to również wykonując doświadczenie z rzeczywistym wahadłem – ciężarek zawieszony na nitce)

Analiza ruchu wahadła matematycznego http://www.walter-fendt.de/ph14pl/pendulum_pl.htm

Analiza ruchu wahadła sprężynowego Wykorzystano applet Javy, który demonstruje zmiany wychylenia, prędkości, przyspieszenia, siły oraz energii podczas drgań wahadła sprężynowego (przy założeniu braku oporów ruchu). http://www.walter-fendt.de/ph14pl/springpendulum_pl.htm

Analiza ruchu wahadła sprężynowego Wnioski: ruch drgający jest wywołany siłą, której zwrot jest skierowany przeciwnie do wychylenia, a jej wartość jest proporcjonalna do wychylenia im większe jest wychylenie tym większa jest wartość siły wypadkowej okres wahań nie zależy od amplitudy drgań okres drgań jest tym większy, im większa jest masa ciała zawieszonego na sprężynie, lecz nie jest to zależność wprost proporcjopnalna okres wahań zależy od współczynnika sprężystości sprężyny i jest tym większy im mniejsza jest wartość współczynnika sprężystości

Analiza zjawiska rezonansu – układ wahadeł Żeby zaobserwować zjawisko rezonansu, odchylamy od pionu jedno z wahadeł o jednakowych długościach i puszczamy swobodnie. Obserwujemy zachowanie się wszystkich wahadeł: Czy dłuższe i krótsze wahadła odchylają sie od pionu? Czy odchyla sie drugie wahadło o takiej samej długości? Jakie są maksymalne odchylenia od pionu, czyli amplitudy drgań wahadeł? Co po pewnym czasie dzieje sie z wahadłem, które odchyliliśmy od pionu? http://www.mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta0308/rezonans.pdf

Analiza zjawiska rezonansu – układ wahadeł Wynik obserwacji: Juz po kilkunastu sekundach widzimy, że drugie wahadło o jednakowej długości zaczyna wykonywać drgania. Amplituda tych drgań powoli wzrasta. Jednocześnie maleje amplituda drgań wahadła, które na początku doświadczenia odchyliliśmy od pionu. Po pewnym czasie wahadło to zatrzymuje sie zupełnie, a drugie wahadło o takiej samej długości wykonuje drgania o maksymalnej amplitudzie. Wnioski: Energia drgań odchylonego na początku wahadła została przekazana drugiemu wahadłu o takiej samej długości, czyli o jednakowych okresach drgań. Energia ruchu drgającego może być przekazywana między układami drgającymi, jednak nie pomiędzy każdymi takimi układami http://www.mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta0308/rezonans.pdf

Analiza zjawiska rezonansu – układ wahadeł Podsumowanie: Zjawisko przekazywania energii drgań między ciałami o takiej samej częstotliwości drgań własnych nazywamy rezonansem. Drgania własne są to drgania ciała wyprowadzonego z położenia równowagi i puszczonego swobodnie. http://www.mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta0308/rezonans.pdf

DOŚWIADCZENIE WYZNACZENIE WARTOŚCI PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA MATEMATYCZNEGO Przebieg doświadczenia: wykorzystano podczas doświadczenia wahadło matematyczne (ciężarek oraz cienką nić), ramę do zawieszenia wahadła, stoper oraz miarkę do mierzenia długości wahadła. Po zmontowaniu zestawu wykonano pięciokrotny pomiar długości wahadła. Następnie również pięciokrotnie zmierzono czas 10 drgań. Wyniki zapisywano w przygotowanej tabelce. Po wykonaniu pomiarów przystąpiono do wykonania obliczeń. Policzono średnią długość wahadła, okres drgań i średnią wartość tego okresu. Na końcu wyznaczono wartości przyspieszenia ziemskiego, ze wzoru: l – długość wahadła T – okres wahań wahadła Źródło: P. Walczak, G. Wojewoda, podręcznik „Fizyka i astronomia cz. 2”, wyd. Operon, str. 83-84

DOŚWIADCZENIE WYZNACZENIE WARTOŚCI PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA MATEMATYCZNEGO Opracowanie wyników: Oszacowano niepewności pomiarowe: Długość wahadła – przyjęto, że maksymalną niepewność pomiarową wyznaczenia długości jest równa minimalnej działce miarki, czyli: ∆l = ± 0,001 m Okres wahań – przyjęto, że maksymalna niepewność pomiarowa wyznaczenia okresu wahań wynosi: ∆T = ± 0,1 s Niepewność wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego: Źródło: P. Walczak, G. Wojewoda, podręcznik „Fizyka i astronomia cz. 2”, wyd. Operon, str. 83-84

DOŚWIADCZENIE WYZNACZENIE WARTOŚCI PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA MATEMATYCZNEGO Opracowanie wyników: Z tabeli pomiarowej uzyskaliśmy następujące wyniki: g=9,64 m/s2 Niepewność wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego: ∆g=0,56 m/s2 Źródło: P. Walczak, G. Wojewoda, podręcznik „Fizyka i astronomia cz. 2”, wyd. Operon, str. 83-84

DOŚWIADCZENIE WYZNACZENIE WARTOŚCI PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA MATEMATYCZNEGO Analiza wyniku doświadczenia: Głównym źródłem błędu jest niedokładny pomiar okresu drgań wahadła wynikający z trudności włączenia i wyłączenia stopera dokładnie w chwili, kiedy wahadło zaczyna ruch, i w chwili, kiedy kończy 10 wahnięć Zbudowane przez nas wahadło matematyczne pozwoliło dość dokładnie zmierzyć wartość przyspieszenia ziemskiego. Nie dysponowaliśmy bardzo dobrym sprzętem, dlatego otrzymany przez nas wynik nie jest bardzo dokładny. Staraliśmy się, aby wahadło nie wychylało się o kąt większy niż ok. 7 stopni, gdyż wtedy wzór na przyspieszenie jest prawdziwy. Podczas pomiarów zauważyliśmy jednak, że okres drgań w naszych warunkach nie zależy od tego, jak bardzo wychyla się wahadło. Źródło: P. Walczak, G. Wojewoda, podręcznik „Fizyka i astronomia cz. 2”, wyd. Operon, str. 83-84

PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 1 Ciężarek który jest zawieszony na sprężynie posiada okres drgań T = 0,6 s. Jaką największą prędkość będzie mógł uzyskać ten ciężarek odciągnięty o x = 5 cm od położenia równowagi oraz puszczony swobodnie? Zadanie 2 Ciężarek o masie m = 200 g który jest zawieszony swobodnie na sprężynie wydłuża ją o x1= 10 cm. Jaką największą prędkość będzie mógł uzyskać ten ciężarek odciągnięty o x = 5 cm od położenia równowagi oraz puszczony swobodnie? Zadanie 3 Punkt drga ruchem harmonicznym. Okres tego ruchu równy jest cztery sekundy. Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia drgań wychylenie tego punktu będzie wynosiło połowę amplitudy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 4 Punkt materialny dokonuje drgań harmonicznych o okresie T = 4 s oraz amplitudzie A = 50 mm. Faza początkowa drgań równa jest zero. Odnajdą prędkość w chwili kiedy wychylenie punktu materialnego z położenia równowagi równe jest dwadzieścia pięć mm. Zadanie 5 Współczynnik k sprężyny równy jest 1 N/cm. Na sprężynie zawiesiliśmy kulę o masie 0,2 kg. Jaka jest częstotliwość drgań tej kuli? Źródło: http://www.bryk.pl/teksty/liceum/fizyka/ruch_i_jego_powszechność/19458-kilka_zadań_z_ruchu_drgającego_oraz_harmonicznego.html

PODSUMOWANIE PROJEKTU „Jak się waha wahadło?” Temat wybranego przez nas projektu okazał się bardzo ciekawy. Zakres wiedzy jaką obejmował był bardzo szeroki. Zdajemy sobie sprawę, że można by informacje ujęte w naszej prezentacji jeszcze rozszerzyć. Nie wszystkie zaplanowane doświadczenia udało nam się zrealizować, ale z efektu końcowego możemy być zadowoleni. Biorąc pod uwagę, że prace odbywały się równolegle do zajęć szkolnych (pierwszy semestr w klasie maturalnej – gorąca atmosfera przed egzaminem maturalnym, więcej nauki itp.) nie jeden raz trudno nam było skupić się na pracy nad projektem Pracując na projektem mieliśmy okazję powtórzyć wiadomości z klasy pierwszej i drugiej liceum, przy okazji je znacznie poszerzając. Projekt okazał się dla nas ponownie ciekawą przygodą i doświadczeniem naukowym.

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ KONIEC