Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM ID grupy: 97-27/MF-G2 Opiekun: IWONA WENDT Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: RÓWNANIA FUNKCYJNE Semestr/rok szkolny: V, 2011/2012

Augustin louis couchy Urodzony 21 sierpnia 1789w Paryżu zm. 23 maja1857w Sceaux pod Paryżem. Francuski matematyk. Zapoczątkował projekt postulujący i przedkładający dowody twierdzeń analizy matematycznej w ścisłej formalnej postaci. Zawdzięczamy mu również kilka ważnych twierdzeń analizy zespolonej oraz zapoczątkowanie studiów nad grupami permutacyjnymi. Swą dogłębnością oraz precyzją Cauchy wywarł wielki wpływ na metodologię pracy ówczesnych matematyków oraz ich nowoczesnych następców. Jego publikacje obejmują w pełni ówczesną matematykę oraz fizykę matematyczną.

Augustin louis couchy Geniusz Cauchy'ego przejawiał się: w prostym rozwiązaniu problemu Apoloniusza, tzn. zagadnienia znalezienia okręgu stycznego do trzech danych okręgów, jakie odkrył w 1805 roku, jego uogólnieniu twierdzenia Eulera o wielościanach w 1811, a także kilku innych podobnych problemów. Większe znaczenie posiada jednak jego praca o rozprzestrzenianiu się fal, która została uhonorowana Grand Prix Instytutu w 1816 roku.

Augustin louis couchy Liczne traktaty i 789 publikacji jego autorstwa w czasopismach naukowych obejmują badania nad: teorią ciągów (sprecyzował m.in. pojęcie zbieżności ciągu), teorią liczb i liczb zespolonych, teorią grup, teorią funkcji, zagadnieniami równań różniczkowych Zagadnieniami wyznaczników.

Nierówność cauchy’ego o średnich Oznacza to, że Nierówność cauchy’ego o średnich Nierówność Cauchy'ego o średnich dla liczb dodatnich a1, a2, ..., an stwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, ..., an jest nierosnący. ŚREDNIA KWADRATOWA ŚREDNIA ARYTMETYCZNA ŚREDNIA GEOMETRYCZNA ŚREDNIA HARMONICZNA

Równanie cauchy’ego typu   Przykład: Kontrprzykład:

Równanie typu   Przykład: Kontrprzykład:

Równanie typu    

Funkcja złożona  

Funkcja złożona  

pochodna funkcji złożonej Niech f i g będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli: f ma w punkcie x pochodną f ′(x), oraz g ma w punkcie y = f(x) pochodną g ′(y), to: funkcja złożona gof ma w punkcie x pochodną równą g ′(f(x))·f ′(x). Przygotowała Anna Mencel, klasa 3a

Rozwiązać nierówność f[f(x)]- [f(x)]<6x. ZADANIE 1 TREŚĆ: Dana jest funkcja f(x)=x2+2x. Rozwiązać nierówność f[f(x)]- [f(x)]<6x.

3) f[f(x)]- [f(x)]<6x (x2+ 2x)2+ 2(x2+2x)- (x2+ 2x)2<6x ROZWIĄZANIE f(x2+ 2x)= (x2+ 2x)2+ 2(x2+2x) [f(x)]2=(x2+ 2x)2 3) f[f(x)]- [f(x)]<6x (x2+ 2x)2+ 2(x2+2x)- (x2+ 2x)2<6x 2x2+ 4x- 6x <0 2x2-2x <0 x2- x <0 x(x-1) <0 Odp. x (0,1) Przygotowała Paulina Trawińska, klasa 3a

Dany jest wielomian . Dla jakich x spełniona jest nierówność: ? ZADANIE 2 Dany jest wielomian . Dla jakich x spełniona jest nierówność: ?

Odp. Przygotowała Marta Jurkiewicz, klasa 3a

Zadanie z funkcją Liniową Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dla każdej funkcji liniowej f , prawdziwa jest równość: f(2n+1)+f(2n-1)=2f(2n)

Zadanie z funkcją Liniową Szukane: f(2n+1) = ? f(2n-1) = ? 2f(2n) = ? wzór ogólny funkcji liniowej: f(x)=y=ax+b T: f(2n+1)+f(2n-1)=2f(2n) przekształcenie wzoru ogólnego funkcji liniowej: f(2n+1)= a(2n+1)+b przekształcenie wzoru ogólnego funkcji liniowej: f(2n-1)=a(2n-1)+b przekształcenie wzoru ogólnego funkcji liniowej: 2f(2n) = 2[a(2n)+b] Z: D:

Zadanie z funkcją Liniową T: f(2n+1)+f(2n-1)=2f(2n) Po wyliczeniu podstawiamy do wzoru: f(2n+1)+f(2n-1)=2f(2n) a(2n+1)+b + a(2n-1)+b = 2[a(2n)+b] Po wymnożeniu otrzymujemy: 2na+a+b + 2na-a+b = 4an + 2b 4an + 2b = 4an + 2b L = P cnd. Odp. Wynika z tego, że równanie jest tożsamością. Przygotowała Magda Olek, klasa 3a

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE gdzie: Przygotowała Martyna Maciaszczyk i Ania Mencel, klasa 3a

PRZYKŁADY 1) Przygotowała Martyna Maciaszczyk i Ania Mencel, klasa 3a

2) Przygotowała Martyna Maciaszczyk i Ania Mencel, klasa 3a