III. Proste zagadnienia kwantowe Mechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 10 Kwantowa teoria momentu pędu
Plan wykładu orbitalny moment pędu – podstawowe informacje, konwencja sumacyjna, ogólny operator momentu pędu, operatory „podnoszący” i „obniżający”, wartości własne operatora kwadratu momentu pędu i składowej momentu pędu na wyróżniony kierunek.
Kwantowa teoria momentu pędu Operator orbitalnego momentu pędu podstawowe informacje
Kwantowa teoria momentu pędu Wielkość jest tensorem antysymetrycznym (trzeciego rzędu), tzw. symbolem Leviego-Civitty:
Kwantowa teoria momentu pędu Przykłady konwencji sumacyjnej (sumujemy od 1 do 3 indeksy powtarzające się)
Kwantowa teoria momentu pędu Postulujemy istnienie operatora J = (J1,J2,J3). Zakładamy, że spełnia on (J) dwa warunki: - operatory Ji to obserwable; - operatory Ji spełniają relacje komutacyjne: Operatory Ji to tzw. operatory momentu pędu.
Kwantowa teoria momentu pędu Wprowadzamy dodatkowo operator całkowitego momentu pędu zdefiniowany jako: oraz (niehermitowskie) operatory: - „podnoszący”: - „obniżający”:
Kwantowa teoria momentu pędu Podstawowe własności wprowadzonych operatorów
Kwantowa teoria momentu pędu Ponieważ operatory J2 i J3 komutują, więc mają wspólny zbiór wektorów własnych: gdzie: . Dodatkowo przyjmujemy: Można dowieść, że:
Kwantowa teoria momentu pędu Dla określonego lj wartość własna m jest ograniczona: Własności (sens nazw „podnoszący” i „obniżający”):
Kwantowa teoria momentu pędu Podsumowanie Liczba kwantowa j jest nieujemna, całkowita lub połówkowa:
Kwantowa teoria momentu pędu Podsumowanie Działanie operatorów podwyższającego i obniżającego na wektor
Kwantowa teoria momentu pędu Podsumowanie Otrzymaliśmy liczby kwantowe j i m oraz przedziały ich wartości. liczba j może odpowiadać: orbitalnej liczbie kwantowej; spinowej liczbie kwantowej (spin); liczba m może odpowiadać: magnetycznej liczbie kwantowej, magnetycznej spinowej liczbie kwantowej.