Dane informacyjne Nazwa szkoły: Zespół Szkół Usługowo –Gospodarczych w Pleszewie ID grupy: 97/18_MF_G1 Opiekun: Magdalena Karczewska Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: IV/ 2011/2012

METODY KOMBINATORYCZNE W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Czym jest kombinatoryka? Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka jest sztuką liczenia - zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza głównie rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych.

Twierdzenie o mnożeniu Jeżeli zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to liczba różnych par (x, y) takich, że x∈A i y∈B wynosi m· n.

Przykład Ile różnych wyników można otrzymać przy rzucie monetą i kostką? 2 · 6 = 12 (O, 1), (O, 2), (O, 3),(O, 4), (O, 5), (O, 6) (R, 1), (R, 2), (R, 3),(R, 4), (R, 5), (R, 6)

Pojęcia którymi posługuje się kombinatoryka Zbiór Ciąg {x1 , x2, ..., xn} oznacza zbiór o elementach x1 , x2, ..., xn. Każdy zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, to znaczy każdy element traktujemy tak, jakby występował tylko jeden raz, a kolejność elementów zbioru nie odgrywa roli. (a1 , a2, ..., an) oznacza ciąg o wyrazach a1 , a2, ..., an. Kolejność ustawienia wyrazów w ciągu jest bardzo ważna. Zmieniając kolejność wyrazów w ciągu otrzymujemy inny ciąg. Ciąg może zawierać wyrazy identyczne lub nie.

Silnia Symbol n! - oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = 1∙2∙3∙…∙n przy czym 0!= 1 . Przykłady: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

Symbol Newtona

Permutacja Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczba permutacji zbioru n-elementowego jest równa: n!

Wariacja bez powtórzeń Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k=n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Wariacja z powtórzeniami Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Należy zauważyć, iż kolejność elementów ma znaczenie. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:

Kombinacja bez powtórzeń Kombinacja bez powtórzeń to każdy podziór zbioru skończonego. Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (0 ≤ k ≤ n). Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k". Liczba kombinacji z n po k wyraża się wzorem:

Tabela przedstawiająca algorytm postępowania przy rozwiązywaniu zadań

Przykłady zadań kombinatorycznych

Permutacja Na ile sposobów może wsiąść do autobusu, pojedynczo, jednymi drzwiami grupa licząca 6 kobiet i 4 mężczyzn jeżeli kolejność wsiadania jest dowolna. Rozwiązanie

Rozwiązanie 6 kobiet + 4 mężczyzn = 10 osób 10!=1∙2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10=3628800 Odp. Grupa ta może wsiąść na 3628800 sposobów Powrót

Permutacja Na ile sposobów może wsiąść do autobusu pojedynczo, jednymi drzwiami grupa licząca 6 kobiet i 4 mężczyzn jeżeli najpierw wsiadają kobiety później mężczyźni? Rozwiązanie

Odp. Jest 17280 sposobów wsiadania Rozwiązanie Najpierw wsiada 6 kobiet na 6! Sposobów, a następnie 4 mężczyzn na 4! sposobów, czyli: 6! ∙ 4! = 17280 Odp. Jest 17280 sposobów wsiadania Powrót

Permutacja W zespole tanecznym jest 10 dziewcząt i 10 chłopców. Każda dziewczynka tańczy z chłopcem. Ile jest różnych możliwości utworzenia 10 par tanecznych? Rozwiązanie

Odp. Jest 3628800 możliwości utworzenia 10 par. Rozwiązanie Zakładamy, że chłopcy stoją w jednym szeregu i nie zmieniają miejsc, a dziewczynki przemieszczają się, tworzymy 10 par 10! = 3628800 Odp. Jest 3628800 możliwości utworzenia 10 par. Powrót

Permutacja Ile liczb sześciocyfrowych możemy utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5,6 takich, że 1 i 2 sąsiadują ze sobą w kolejności wzrastania? Rozwiązanie

Odp. Można ułożyć 120 takich liczb. Rozwiązanie 1 i 2 można wstawić na 5 sposobów i pozostałe cyfry na 4! sposobów, czyli: 4!∙5=5!=120 Odp. Można ułożyć 120 takich liczb. Powrót

Permutacja Ile parzystych sześciocyfrowych liczb możemy utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5,6? Rozwiązanie

Rozwiązanie Parzyste będą te liczby, które mają cyfrę 2, 4 lub 6 na końcu. Pozostałe cyfry można ułożyć na 5! Sposobów, a więc: 5!∙3=360 Odp. Można ułożyć 360 liczb parzystych. Powrót

Wariacja bez powtórzeń Ile jest różnych czterocyfrowych liczb? Zakładamy, że cyfry nie mogą się powtarzać. Rozwiązanie

Rozwiązanie (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), czyli n=10 liczby czterocyfrowe, czyli k=4 Pierwszą cyfrą nie może być 0 więc: __ __ __ __ -liczba czterocyfrowa 9 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 4536 Odp. Jest 4536 takich liczb Powrót

Wariacja bez powtórzeń Ile jest różnych czterocyfrowych kodów PIN? Zakładamy, że cyfry nie mogą się powtarzać. Rozwiązanie

Rozwiązanie W kodzie PIN pierwszą cyfrą może być 0 __ __ __ __ -liczba czterocyfrowa 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 5040 Odp. Jest 5040 takich liczb Powrót

Wariacja bez powtórzeń Pewna firma chce drukować ulotki, w których jedna strona ma mieć dwukolorowe tło (górna połowa ma mieć inny kolor niż dolna). Ile jest wzorów takich ulotek, jeśli firma ma do dyspozycji 7 kolorów? Rozwiązanie

Rozwiązanie Jedna strona ma 2 kolory, czyli k=2 i jest 7 kolorów, czyli n=7 Odp. Są 42 wzory takich ulotek. Powrót

Wariacja bez powtórzeń Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, podzielnych przez 25? Rozwiązanie

Rozwiązanie 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 czyli wybieramy z 10 cyfr _ _ _ 2 5 __ __ __ __ __ - liczba pięciocyfrowa, czyli k=5 Liczby będą podzielne przez 25 gdy liczba wyrażona dwoma ostatnimi cyframi to: 25; 50; 75. Pozostałe cyfry można ułożyć: _ _ _ 2 5 7∙ 7 ∙ 6 = 294 (ponieważ pierwsze nie może być 0)

7 ∙7 ∙6 = 294 (ponieważ pierwsze nie może być 0) _ _ _ 5 0 8∙ 7 ∙ 6 = 336 (ponieważ 0 zostało już wykorzystane na końcu) _ _ _ 7 5 7 ∙7 ∙6 = 294 (ponieważ pierwsze nie może być 0) 294+336+294=924 Odp. Jest 924 takich liczb Powrót

Wariacja z powtórzeniami Ile jest różnych czterocyfrowych liczb? Zakładamy, że cyfry w liczbie mogą się powtarzać. Rozwiązanie

Rozwiązanie liczby czterocyfrowe, czyli k=4 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, czyli n=10 Pierwszą cyfrą nie może być 0 więc: __ __ __ __ - liczba czterocyfrowa 9∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 9000 Odp. Jest 9000 takich liczb Powrót

Wariacja z powtórzeniami Ile jest różnych czterocyfrowych kodów PIN? Zakładamy, że cyfry mogą się powtarzać. Rozwiązanie

Rozwiązanie Kody są czterocyfrowe, czyli k=4 i jest 10 cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, czyli n=10 Pierwszą cyfrą może być 0 104 = 10000 Odp. Jest 10000 takich liczb Powrót

Wariacje z powtórzeniami Na ile sposobów można pięciu osobom przyporządkować ocenę z matematyki? Rozwiązanie

Rozwiązanie Każdemu z pięciu uczniów możemy przyporządkować jedną z 6 ocen 5 uczniów, czyli k=5 6 ocen, czyli n=6 65 = 7776 Odp. Jest 7776 sposobów podporządkowania ocen. Powrót

Kombinacje Z urny, w której znajduje się 7 kul losujemy 2 kule. Ile jest możliwych wyników losowania? Rozwiązanie

Rozwiązanie Jest 7 kul, czyli n=7, wybieramy 2 kule, czyli k=2 Odp. Jest 21 różnych wyników losowania . Powrót

Kombinacje Na ile sposobów z grupy liczącej 6 chłopców i 3 dziewczynki można wybrać trzyosobową delegację w skład której wejdą same dziewczynki Rozwiązanie

Rozwiązanie Odp. Jest tylko jeden sposób wyboru. W grupie są 3 dziewczynki więc n=3, wybieramy 3 osoby zatem k=3 Odp. Jest tylko jeden sposób wyboru. Powrót

Kombinacja W klasie jest 15 dziewcząt i 16 chłopców. Spośród uczniów tej klasy wybieramy czteroosobową delegacje. Na ile sposobów można to zrobić, tak aby w delegacji znalazły się co najmniej dwie dziewczynki? Rozwiązanie

12600+21840+1365=35805 Odp. Delegacje można wybrać na 35805 sposobów. Rozwiązanie Wybór 2 dziewczynek i 2 chłopców Wybór 3 dziewczynek i 1 chłopca Wybór 4 dziewczynek 12600+21840+1365=35805 Odp. Delegacje można wybrać na 35805 sposobów. Powrót

Kombinacje Z okazji zjazdu koleżeńskiego spotyka się dwunastu przyjaciół. Każdy wita się z każdym poprzez podanie ręki. Ile nastąpi powitań? Rozwiązanie

Rozwiązanie Każe powitanie to dwuelementowa kombinacja zbioru dwunastoelementowego. Odp. Nastąpi 66 powitań Powrót

Źródła http://bajan.net.pl/?gal=8 http://zimowisko2009.blox.pl/resource/liczby.gif http://www.gadudodatki.pl/uploads/produkty/galerie/thumb1/7f/7f424c85de5b796dfa8f612f617556dd175d45fc.jpg http://www.druk-reklama.com/grafika/strony/ulotki/ulotki-top.jpg www.edukator.pl/portal-edukacyjny/kombinatoryka/760.html M.Kurczab, E.Kurczab, E.Świda Matematyka, zbiór zadań dla liceów i techników http://files.students.ch/uploads/a/2010/04/23/powitanie.gif J.Lingman, E.Stachowski, A.Zalewska Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa dla uczniów szkół średnich