ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 4.

Analiza danych Aproksymacja danych

definicja Aproksymacja jest działem analizy numerycznej zajmującym się najbardziej ogólnymi zagadnieniami przybliżania funkcji, polegającymi na wyznaczaniu dla danej funkcji f(x) takich funkcji F(x), które w określonym sensie najlepiej przybliżają funkcję f(x).

zastosowanie gdy funkcja f(x) jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem gdy funkcja f(x) określona jest na dyskretnym zbiorze argumentów i znana jest postać funkcji aproksymującej otrzymuje się zależność ciągłą. Określa sie tylko wartości liczbowe parametrów, przy których przybliżenie danej funkcji jest najlepsze –wyznaczanie parametrów na podstawie danych doświadczalnych

rodzaje aproksymacja interpolacyjna aproksymacja jednostajna aproksymacja średniokwadratowa

aproksymacja interpolacyjna żąda się spełnienia warunku, aby funkcja dana f(x) i funkcja szukana F(x) przyjmowały dokładnie te same wartości na zbiorze z góry ustalonych punktów węzłowych. Czasem uzupełnia się warunkiem równości pochodnych w węzłach (jeżeli wartości pochodnych zostaną zadane).

aproksymacja jednostajna funkcję f(x) przybliżamy taką funkcją F(x) w całym przedziale [a,b], że maksymalne odchylenie osiąga minimum

aproksymacja średniokwadratowa funkcja aproksymująca wyznaczana jest z warunku, aby wartość wyrażenia była możliwie najmniejsza. Geometrycznie warunek ten wyraża żądanie, aby pole powierzchni między liniami reprezentującymi funkcję było najmniejsze Przy znanej postaci funkcji aproksymującej wartość E jest funkcją parametrów tej funkcji

aproksymacja średniokwadratowa W przypadku dyskretnego zbioru argumentów funkcja celu przyjmuje postać:

Jawna aproksymacja średniokwadratowa w MathCADzie Dzięki procedurze: minimize(funkcja, p1, p2,...) można tak dobrać szukane parametry funkcji aproksymującej aby zminimalizować sumę kwadratów odchyleń miedzy wartościami stabelaryzowanymi a obliczonymi z funkcji. funkcja – to funkcja obliczająca sumę kwadratów odchyłek miedzy wartościami danymi w zbiorze i obliczonymi funkcja aproksymującą. Argumentami są parametry funkcji aproksymującej

Algorytm: 1.Utworzenie funkcji dopasowującej. Argumentami są zmienna niezależna oraz szukane parametry 2.Nadanie licznikowi wartości z zakresu od 0 do ilość punktów danych w zbiorze –1 –Ilość danych w zbiorze można uzyskać stosując funkcję length, której argumentem jest dowolna kolumna danych 3.Utworzenie funkcji obliczającej sumę kwadratów odchyłek między doświadczeniem a wartościami obliczonymi z funkcji. Zmiennymi utworzonej funkcji są parametry funkcji aproksymującej 4.Założenie startowych wartości parametrów 5.Wykonanie procedury Minimize na utworzonej funkcji i parametrach.

Analiza danych Dowolna funkcja o parametrach wyznaczonych narzędziem genfit: c:=genfit(X, Y, c0, F) –c0 – startowy wektor szukanych parametrów funkcji –c - wektor szukanych parametrów –F – funkcja wektorowa zmiennej niezależnej i wektora c, składająca się szukanej funkcji oraz jej pochodnych po parametrach –X – zmienne niezależne ze zbioru danych –Y – zmienne zależne ze zbioru danych

Analiza danych Aproksymacja wielomianem: –aproksymacja średniokwadratowa –składnia Z:= Regress(X, Y, s) X wektor zmiennych niezależnych Y wektor zmiennych zależnych s – stopień wielomianu Wynikiem jest wektor Z, którego s+1 ostatnich elementów to parametry wielomianu

Analiza danych Kubiczna funkcja sklejana (Cubic Spline) –aproksymacja interpolacyjna –składnia Z:=lspline(X, Y) –Wynikiem jest wektor Z, parametrów funkcji sklejanej –Funkcja wymaga posortowania danych W:=csort(W,i), W – macierz danych, i – nr kolumny porządkującej

Analiza danych Funkcja interpretująca równanie interp uwalnia od konieczności pisania równania: F(x):=interp(Z, X, Y, x) odpowiada np. Y(x):=Z 4 +Z 5 x+Z 6 x 2 (przy Z wyznaczonym procedurą regress) –Z – wektor znaleziony przez procedurę aproksymującą –X, Y – wektory zmiennych zależnych i niezależnych ze zbioru danych –x – zmienna niezależna

Można różniczkować Można całkować