Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: Gimnazjum Publiczne im. Ireny Sendler w Lamkach ID grupy: 98/45_mf_g2 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Twierdzenia i pojęcia geometryczne oraz ich ilustracja za pomocą fotografii Semestr/rok szkolny: Semestr II/2010/2011

GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY PRAWIDŁOWE, WIELOKĄTY FOREMNE

Graniastosłupem nazywamy taki wielościan, którego dwie ściany (podstawy), są wielokątami przystającymi leżącymi na płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany (ściany boczne), są równoległobokami. Graniastosłup, którego krawędzie są prostopadłe do podstaw nazywamy graniastosłupem prostym. Graniastosłup prosty, którego podstawy są prostokątami nazywamy prostopadłościanem. Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem. Graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi nazywamy graniastosłupem prawidłowym.

Rysowanie 1.Rysujemy podstawę naszej figury. 2.Dorysowujemy 3 równoległe linie tej samej długości, biegnące w dół. 3.Łączymy te linie i otrzymujemy graniastosłup.

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana (podstawa), jest wielokątem, a pozostałe ściany (ściany boczne), są trójkątami o wspólnym wierzchołku, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Ostrosłup nazywamy prostym, gdy na jego podstawie można opisać okrąg, a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie. Ostrosłupem prawidłowym nazywamy ostrosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny. Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem. Czworościan foremny jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym.

Ostrosłup jest ostrosłupem prostym wtedy i tylko wtedy, gdy jego wszystkie krawędzie boczne są równej długości. W ostrosłupie prawidłowym wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, przystającymi. wierzchołek ostrosłupa krawędź ściany bocznej wierzchołek podstawy krawędź podstawy

Rysowanie 1.Rysujemy podstawę. 2.Punkt przecięcia przekątnych wyznacza punkt z którego zaczynamy rysować wysokość. Po narysowaniu wysokości łączymy wierzchołki podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa.

Wielokątem (n-kątem) nazywamy figurę płaską posiadającą n boków Wielokątem (n-kątem) nazywamy figurę płaską posiadającą n boków. Suma kątów wewnętrznych takiego wielokąta jest zależna od ilości boków i wynosi Wielokątem foremnym nazywamy n-kąt, którego wszystkie boki są równe. Wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta foremnego są równej miary. Wielokąty foremne:

Odcinki, tworzące wielokąt, nazywamy jego bokami, a punkty ich przecięcia wierzchołkami wielokąta. Sumę wszystkich boków nazywamy obwodem wielokąta. Linię łamaną ABCDEA ograniczającą wielokąt nazywamy brzegiem wielokąta. Brzeg wielokąta dzieli płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony, nazywamy go wewnętrznym, drugi jest nieograniczony i nazywamy go obszarem zewnętrznym. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który łączy dwa niekolejne wierzchołki wielokąta. Kąty utworzone przez dowolne dwa kolejne boki nazywamy kątami wewnętrznymi wielokąta. Kąt zewnętrzny wielokąta - to kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego wielokąta. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg, a środki tych okręgów pokrywają się. Każda symetralna boku wielokąta foremnego jest osią symetrii tego wielokąta. Każda dwusieczna kąta wewnętrznego wielokąta foremnego zawiera się w osi symetrii tego wielokąta.

Rysowanie -pięciokąt Na prostej rysujemy okrąg zaznaczając środek O i punkty przecięcia A i B. Wystawiamy w środku okręgu prostą prostopadłą i zaznaczamy punkt C. Odcinek OB. połowimy i zaznaczamy tam punkt S. Z punktu S, promieniem SC zakreślamy łuk i zaznaczamy na odcinku AO, punkt przecięcia T. Poczynając od punktu C zakreślamy łuki promieniem TC, oznaczając kolejno przecięcia łuków z wyjściowym okręgiem, jako D,E,F,G.

Rysowanie -sześciokąt Sześciokąt jest najłatwiejszą figurą do skonstruowania- wystarczy z dowolnego punktu na okręgu, zakreślać łuki o promieniowi równym promieniu koła.

Cień stożka jest trójkątem równoramiennym

Cień stożka

Cień stożka jest kołem

Wielokąty, ostrosłupy i graniastosłupy w ŻYCIU CODZIENNYM…

Architektura Piramidy- ostrosłup czworokątny Piramida na dziedzińcu Luwru ( zbudowana ze szklanych trójkątów i rombów) Piramida Cheopsa

W Paryżu - w miasteczku nauki i techniki La Vilette - znajduje się mająca intrygujący kształt Geoda (w jej wnętrzu mieści się kino 3D). Oglądana z daleka wygląda jak kula, ale w istocie budynek ten jest wielościanem o trójkątnych ścianach. Podobną konstrukcję wykorzystano przy projektowaniu słynnego londyńskiego "ogórka", czyli wieżowca Swiss Tower.

Takie rozwiązania często są wykorzystywane do przykrywania dużych powierzchni bez konieczności stosowania wewnętrznych filarów. Podobny kształt ma m.in. dach centrum handlowego "Złote tarasy" w Warszawie oraz szkielet centrum festiwalowego, które w czasie wakacji rozbijane jest na wrocławskim rynku. Takie konstrukcje noszą nazwę kopuł geodezyjnych.

Często spotykanym elementem zdobniczym są rozmaite gwiazdy Często spotykanym elementem zdobniczym są rozmaite gwiazdy. Na Dolnym Śląsku, w Czechach i na wschodzie Niemiec rozpowszechnione są tzw. gwiazdy morawskie. Można je zobaczyć np. na wrocławskim Rynku w zwieńczeniu jednej z kamienic i na Ostrowie Tumskim, na pomniku św. Jana Nepomucena.

Latarnie… Oryginalny wielościenny kształt mają osłony na reflektory umieszczone przy warszawskim pomniku Armii Krajowej Kształty rozmaitych wielościanów mają też często latarnie i żyrandole. 

Wielościenne opakowania Najczęściej spotykamy wśród nich rozmaite graniastosłupy np. pudełko po czekoladkach w kształcie graniastosłupa, którego podstawą jest siedmiokąt gwiaździsty lub ośmiokąt wypukły nieforemny, ale są też znacznie bardziej skomplikowane kształty, np. pudełko zozoli, które jest sześcio-ośmiościanem rombowym małym.

W Strasbourgu można zobaczyć drzewa przycięte do ”linijki”, „zapakowane” w sześcian.

Kąt środkowy I Wpisany Kąt środkowy – kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona wyznaczone są przez wychodzące z niego promienie. W sytuacji na rysunku, kąt AOB jest środkowy i mówimy, że jest oparty na łuku AB. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Jeśli więc kąt środkowy oznaczymy jako 2α, to kąt wpisany będzie wynosił α. Miara kąta środkowego jest taką częścią kąta pełnego, jaką częścią okręgu jest łuk, na którym ten kąt jest oparty.

Kąt środkowy I Wpisany

Kąt Wpisany Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają pewne cięciwy tego koła nazywa się kątem wpisanym. Wg oznaczeń na rysunku obok, kąt AO’ B jest wpisany i mówimy, że jest oparty na łuku AB. Jeżeli kąt wpisany oparty jest na półokręgu, to mówimy również, że jest oparty na średnicy. Z pojęciem kąta wpisanego związane jest pojęcie kąta środkowego.

SYMETRIA Symetia względem prostej

Symetria – właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego zbioru lub innego obiektu matematycznego (można mówić np. o symetrii równań), polegająca na tym, iż istnieje pewne nietrywialne przekształcenie, które odwzorowuje dany zbiór na niego samego bez zmiany kształtu lub pewnych rozważanych własności. Na przykład odbicie zwierciadlane kwadratu zamienia miejscami jego wierzchołki, czyli po wykonaniu tej symetrii nie mamy do czynienia z tym samym kwadratem (np. ma on inną orientację). Jednak nadal mamy do czynienia z kwadratem i w tym sensie symetria ta zachowuje niektóre wzajemne relacje boków figury. Dla figur i brył, w zależności od rodzaju przekształcenia, wyróżniana jest m.in. :

symetria zwierciadlana – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem zadanej prostej zwanej osią symetrii lub bryły względem płaszczyzny zwanej płaszczyzną symetrii, element A i A' są w stosunku do siebie jak przedmiot do obrazu w zwierciadle płaskim.

Symetria kryształów, właściwość kryształów pozwalająca przekształcić dany kryształ sam w siebie w wyniku operacji symetrii. Symetria translacyjna, cecha wyróżniająca kryształy spośród innych faz skondensowanych. Występowania symetrii translacyjnej w budowie wewnętrznej kryształów dowodzi zachodzenie na nich zjawiska dyfrakcji promieni X (rentgenografia), a także dyfrakcji strumieni cząstek elementarnych (elektronografia, neutronografia).

Symetria ornamentów

Hermann Weyl (ur. 9 listopada 1885 w Elmshorn — zm Hermann Weyl (ur. 9 listopada 1885 w Elmshorn — zm. 8 grudnia 1955 w Zurychu) niemiecki matematyk, fizyk i filozof. Profesor Politechniki w Zurychu, następnie Uniwersytetu w Getyndze, a od 1933 roku Uniwersytetu w Princeton.

Pary figur symetrycznych Odbicie lustrzane Odbicie w wodzie Para figur symetrycznych

Oś symetrii Przykłady figur z jedną osią symetrii: -trójkąt równoramienny -trapez równoramienny -deltoid Przykłady figur z dwiema osiami symetrii: -odcinek -prostokąt -romb  Przykład figury z trzema osiami symetrii: -trójkąt równoboczny Przykład figury z nieskończoną ilością oś symetrii: -koło Oś symetrii figury, jest prostą, względem, której ta figura jest do siebie osiowo symetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części. Środek symetrii figury jest punktem, względem którego ta figura jest do siebie środkowo symetryczna. Figura obrócona o 1800 wokół swego środka symetrii nałoży się na siebie.

Figury które mają środek symetrii Koło ratunkowe Gwiazda Dawida London eye

FIGURY, KTÓRE MAJĄ OŚ SYMETRII Wieża Eiffla Tadż Mahal Petronas Towers

Pary figur symetrycznych względem prostej i punktu

Raz, dwa, trzy origami patrzy! huehuehue

What’s up? Origami (jap. 折り紙 origami) – sztuka składania papieru, pochodząca z Chin, rozwinięta w Japonii i dlatego uważa się ją za tradycyjną sztukę japońską. W XX w. ostatecznie ustalono reguły origami: punktem wyjścia ma być kwadratowa kartka papieru, której nie wolno ciąć, kleić i dodatkowo ozdabiać i z której poprzez zginanie tworzone są przestrzenne figury.

Co możemy zrobić za pomocą origami ???

Praktycznie wszystko 

SZEŚCIAN

A oto efekt (przynajmniej taki powinien być ) :

Nasze zmagania… … i efekt końcowy 

OŚMIOŚCIAN

Każdą kartkę osobno zaginamy wzdłuż wszystkich osi symetrii kwadratu - formując rozgwiazdę. I to właściwie już koniec.  Powstałych 6 elementów nasuwamy jeden na drugi, po dwa z każdego z trzech prostopadłych kierunków (jeden z góry, drugi z dołu, trzeci z przodu, czwarty z tyłu, piąty z prawej, szósty z lewej) uważając, aby co drugie ramię rozgwiazdy wypadało na wierzchu, a co drugie wewnątrz konstrukcji.

KULA

Wyjściowa kartka powinna mieć kształt prostokąta, najlepiej będącego połową kwadratu, choć można wypróbować także inne proporcje. Najważniejsze jest, aby wszystkie kartki były tego samego rozmiaru. Gotowy moduł wygląda jak dwa złączone trójkąty prostokątne, równoramienne z dwiema kieszeniami na zgięciu. Takich modułów potrzeba bardzo dużo (w zależności od wielkości planowanego modelu od 200 do 1000). Pierwsze moduły wsuwamy na przemian w kieszenie kolejnych modułów. Moduły należy ze sobą przeplatać tak, aby na końcu połączyć je w pierścień. Od nas zależy, czy w środku pozostanie duże, czy tylko niewielkie oczko. Moduły tworzące kolejne warstwy nakładamy tak, aby kieszenie jednego modułu nasunięte były na ramiona dwóch modułów z warstwy niższej.

CHIŃSKIE GWIAZDKI SZCZĘŚCIA

Papierowy pasek (niezbyt szeroki, najlepiej ok Papierowy pasek (niezbyt szeroki, najlepiej ok. 1-2 cm) zaginamy wzdłuż linii przerywanych, wykonując w pierwszym kroku węzeł pięciokątny węzeł. Wystającą część zaginamy do wewnątrz modelu. Pozostałą część paska zaginamy wzdłuż boków pięciokąta kilkukrotnie, tak aby na każdym boku były przynajmniej 2 warstwy papieru. Następnie przytrzymujemy płaski pięciokąt w prawej ręce przykładając palec wskazujący do boku A, a kciuk do B. Kciukiem lewej ręki wciskamy środek boku C do wnętrza modelu. To samo powtarzamy na pozostałych bokach i podziwiamy, jak z płaskiego pięciokąta powstaje trójwymiarowa gwiazdka.

CZAS NA GEOGEBRĘ…

ELIPSA c: 1032,57x2 + 651,76xy + 1864,87y2 – 12470,64x – 20601,63y = -51947,75

PARABOLE

HIPERBOLE

KĄTY

ŁUK

A=(-4.26, 3.3) B=(1.28, 3.92) C=(7.66, 2.16)

„PĘK PROSTYCH”

SYMETRALNA E=4.46, 4.8 F=4.68, 2.98 c= -0.22x+0.78y=0.55

JEDNOKŁADNOŚĆ b=1.48x-1.38y=3.32

Uczestnicy 98/57_MF_G1 98/45_MF_G2 Hubert Rudzki Jakub Drygas Sara Oleksiak Patrycja Garbacz Oliwia Krzyżaniak Alicja Kędziora Patryk Kuras Małgorzata Sikora Marta Bukowska Agata Owczarek Agata Walczuk Iwona Wolnicka Sławek Gryciuk Piotr Hubert Emila Wicińska Anna Świątek Sebastian Bikuń Agnieszka Brdys Agata Marcinkowska Krystian Szczepaniak

Bibliografia www.matematyka.wroc.pl www.megamatma.pl www.wikipedia.pl www.wsipnet.pl www.matematyka.pl www.math.edu.pl