Trójkąty prostokątne Renata Puczyńska

Spis treści 1. Twierdzenie Pitagorasa - Nr 1 Nr 2 - Pitagoras z Samos. - Przykłady Nr 1 , przykład Nr 2 2. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. - Ciekawostka 3. Zastosowanie twierdzenie Pitagorasa. Nr 1 Nr 2 4. Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych. 5.Przekątna kwadratu. 6. Wysokość trójkąta prostokątnego. 7. Trójkąty o kątach. 8. Trójkąty prostokątne – zadania uzupełniające.

Pitagoras z Samos Pitagoras z Samos (572 p.n.e. – 497 p.n.e.) żył w czasach, gdy w Indiach nauczał Budda, a w Chinach Konfucjusz. Założył Związek Pitagorejski – bractwo religijno – polityczne, które prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie długości powinny mieć dwie struny, aby razem (harmonijnie) brzmiały. Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od pita- gorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia Pitagorasa złożył bogom hekatombę, czyli ofiarą ze stu wołów. powrót

Twierdzenie Pitagorasa Starożytni matematycy odkryli następującą własność trójkątów prostokątnych: W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. P3 P2 P1 P1+P2 = P3 P1,P2 – pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych P3 – pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej powrót Nr 2

Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Pitagorasa możemy sformułować w inny sposób: W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. c a b a2 + b2 = c2 a, b – długości przyprostokątnych c – długość przeciwprostokątnych powrót Nr 1 Zadanie 1

Twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny. Uwaga. Nie zawsze, formułując twierdzenia odwrotnego, otrzymujemy zdanie prawdziwe . Na przykład prawdziwe jest twierdzenie: jeżeli czworokąt jest rombem, to przekątne przecinają się pod kątem prostym. Nie jest natomiast prawdą, że: jeżeli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym, to jest on rombem” powrót Zadanie 2

Ciekawostka Jeśli n i k są liczbami naturalnymi i n>k, to liczby: Mówimy, że trzy liczby naturalne a, b, c tworzą trójkę pitagorejską, jeśli spełniają równość a2 + b2 = c2. Archeolodzy znaleźli glinianą tabliczkę, na której starożytni Babilończycy zapisali listę takich trójek już tysiąc lat przed Pitagorasem! Przykłady trójek pitagorejskich: 3, 4, 5 6, 8, 10 5, 12, 13 Odkrycie ogólnej metody znajdowania trójek pitagorejskich przypisuje się greckiemu matematykowi Diofantosowi (III w. n. e.) Jeśli n i k są liczbami naturalnymi i n>k, to liczby: a = n2 – k2, b = 2nk, c = n2 + k2 Spełniają zależność a2 + b2 = c2. powrót

Przykład 1 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 cm i 3 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta? Wykonujemy rysunek pomocniczy; przez x oznaczmy szukaną długość odcinka. x 2 cm 3 cm 22 + 32 = x2 x2 = 13 x = Odp. Przeciwprostokątna ma długość cm, czyli około 3,6 cm. powrót

Przykład 2 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 9, a jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej. 9 x 6 x2 + 62 = 92 x2 = 81 – 36 x2 = 45 Odp. Druga przyprostokątna ma długość powrót

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Zadanie 1 Bok rombu ma długość 13 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 24 cm. Oblicz długości drugiej przekątnej. d f a a – długość boku d, f - przekątne powrót Odp. Druga przekątna ma długość 10 cm

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Zadanie 2 Przystanek autobusowy znajduje się przy prostokątnym skwerze. Niektórzy pasażerowie skracają sobie drogę do przystanku, niszcząc przy tym trawnik. Załóżmy, że osoba spiesząca się do autobusu biegnie z prędkością 8km/h (ok. 2,2 m/s). Ile czasu zaoszczędzi, wybierając drogę przez trawnik? P 10 cm 12 cm d P – przystanek autobusowy d – droga przez trawnik Odp. Wybierając drogę przez trawnik zaoszczędzi ok. 3 s. powrót

Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych Oblicz długość odcinka w punktach P=(-1,-3) i R=(4,3). R P y x 1 S IPSI = 5 IRSI = 6 IPRI2 = IPSI2 + IRSI 2 Odp. Długość odcinka PR wynosi . powrót Zadanie 3

Przekątna kwadratu. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy znaleźć wzór na długość przekątnej d. a d Długość przekątnej kwadratu: a – długość boku kwadratu Zadanie 4 wróć

Wysokość trójkąta równobocznego Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego. a 1/2a h Wysokość w trójkąta równobocznego: a - długość boku trójkąta równobocznego Zadanie 4 wróć

Własności trójkąta prostokątnego B a Trójkąt ABC jest połową kwadratu o boku a. Zatem przyprostokątna AC i AB ma długość a, a przeciwprostokątna ma długość a 30o 60o 2a M K L Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a. Zatem przeciwprostokątna KM ma długość 2a. Długość przyprostokątnej LM można obliczyć Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego: wróć Zadanie 5

Trójkąty prostokątne – zadania uzupełniające Zadanie 1 Zadanie 2 Zadanie 3 Zadanie 4 Zadanie 5 wróć

Zadanie 1 Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 6 i jest dwa razy krótsza od jednego z dwóch pozostałych boków. Oblicz obwód tego trójkąta. 6 lub więc więc Odp. … wróć pamiętaj zadania

Zadanie 2 Czy trójkąt o podanych bokach jest prostokątnym? Odp. Trójkąt o podanych bokach nie jest prostokątny. wróć pamiętaj zadania

Zadanie 3 Czy trójkąt o wierzchołkach A=(-3,-2), B=(4,1), C=(-1,3) jest równoramiennym? ICBI2= 52 + 22 ICBI2 = 25 + 4 ICBI2 = 29 IACI2 = 52 + 22 IACI2 = 25 + 4 IACI2 = 29 IABI2 = 72 + 32 IABI2 = 49 + 9 IABI2 = 58 A C B y x Odp. Ten trójkąt jest równoramienny. wróć pamiętaj zadania

Zadanie 4 Kwadrat i trójkąt równoboczny mają takie same obwody, równe 12 cm.Czy przekątna jest dłuższa od wysokości trójkąta? L1 - obwód trójkąta równobocznego L2 – obwód kwadratu a – bok kwadratu B – bok trójkąta L1 = L2 = 12 cm 4a = 12 cm 3b = 12 a = 3 cm b = 4 cm Odp. Przekątna jest dłuższa od wysokości trójkata. wróć pamiętaj1 pamiętaj2 zadania

Zadanie 5 Krótsza podstawa trapezu równoramiennego ma długość 10 cm. Ramię ma długość 4 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 30o. Oblicz pole tego trapezu. b – dłuższa podstawa 10 4 30o h c wróć pamiętaj zadania