Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Liceum Ogólnokształcące im. J. Dąbrowskiego w Międzychodzie ID grupy: 97/31_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Elementy geometrii trójkąta Semestr/rok szkolny: 5/2011/2012

TRÓJKĄT - CO TO ZA FIGURA? Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółlniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów

Rodzaje Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów. A, B, C – wierzchołki a, b, c – boki α, β, γ – kąty

Podział ze względu na boki trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości; trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary różnoboczny równoramienny równoboczny

WŁASNOŚCI TRÓJKĄTA RÓWNOBOCZNEGO Każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę: Wysokość ma długość: Pole powierzchni jest równe: Długość promienia okręgu wpisanego wynosi: Długość promienia okręgu opisanego wynosi:

Podział ze względu na kąty trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre; trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej; trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

Podział ze względu na kąty ostrokątny prostokątny rozwartokątny

Wysokość trójkąta Wysokość trójkąta – najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta, zwany podstawą. Słowem wysokość określa się również długość tego odcinka.

Środkowa trójkąta Środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe. Każda ze środkowych dzieli trójkąt na dwie części o równych polach.

Symetralna trójkąta Symetralna odcinka – prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka. symetralne i okrąg opisany

Dwusieczne kąta Dwusieczna kąta – półprosta, która dzieli kąt na dwie figury przystające. Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii. Opis konstrukcji dwusiecznej: 1. Z wierzchołka O danego kąta dowolnym promieniem zakreślić łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach A, B 2. Z punktów A i B większą rozwartością cyrkla zakreślić łuki, które przetną się w punkcie C 3. Półprosta OC jest dwusieczną

Dwusieczne kąta

Nierówności trójkąta W każdym trójkącie o bokach a,b,c, zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

TWIERDZENIE PITAGORASA W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

WZORY NA POLE TRÓJKĄTA Przyjmując dla trójkąta ABC następujące oznaczenia: a, b, c - długości boków; h - wysokości opuszczone na boki; - kąty leżące naprzeciw boków; S - pole powierzchni; R - promień okręgu opisanego; r - promień okręgu wpisanego; p - połowa obwodu; dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni:

TWIERDZENIE SINUSÓW W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

TWIERDZENIE COSINUSÓW W dowolnym trójkącie zachodzi następujący wzór cosinusów:

ZADANIA Zad.1 W trójkącie prostokątnym, przeciwprostokątna ma miarę 9cm, a kąt ostry 30. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta

Zad 1 Dane: c= 9cm Rozwiązanie: Sin30=

ZADANIA Zad. 2 Oblicz pole trójkąta równoramiennego o długości podstawy=8 i długości ramienia =5. Rozwiązanie: Korzystając z tw. Pitagorasa wyznaczamy długość wysokości trójkąta. h =5 2 h 2 =25-16=9 h=3 Pole trójkąta jest równe: P=0.5*a*h=0.5*8*3=12

ZADANIA Zad.3 Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 5 i przyprostokątnej równej 4. Jakie jest jego pole powierzchni? Rozwiązanie: Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość drugiej przyprostokątnej (oznaczmy ją jako a): a =5 2 a 2 =25-16 a 2 =9 a=3 Stąd pole trójkąta jest równe: P=0.5*3*4=6

ZADANIA Zad.4 Dwa trójkąty równoboczne o obwodach po 18 cm nałożono na siebie tak, że odpowiednie pary ich boków są do siebie równoległe. Jaki jest obwód zacieniowanego sześciokąta?

ZADANIA Zad.4 Rozwiązanie: Zauważmy, że każdy z zaznaczonych na rysunku trójkątów jest równoboczny. Zatem suma trzech przekreślonych odcinków jest równa długości boku trójkąta, czyli 6cm. Podobnie z pozostałymi 3 bokami. Więc obwód zacieniowanego sześciokąta wynosi 12cm.

ZADANIA Zad.5 Odcinając narożnik danego trójkąta równobocznego, otrzymano trapez. Gdy ułożymy z dwóch takich trapezów równoległobok, to jego obwód jest o 10 cm większy od obwodu tego trójkąta równobocznego. Jaki jest obwód danego trójkąta równobocznego?

ZADANIA Zad.5 Rozwiązanie: Jeżeli oznaczymy bok trójkąta równobocznego przez a bok odciętego trójkąta równobocznego przez x, to łatwo podpisujemy długości odcinków, tak jak my to zrobiliśmy na rysunku. W takim razie obwód równoległoboku to : Stąd a=10, obwód jest równy 30.

ZADANIA Zad.6 W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Kąt ACB ma miarę 30 0, a kąt ADB ma miarę 45 o. Jaka jest miara kąta BAD ?

ZADANIA Zad.6 Rozwiązanie: Popatrzmy na trójkąt prostokątny BHC. Odcinek HD jest w nim środkową, więc DH= BD= DC. To jednak oznacza, że trójkąt BHD jest równoboczny. Zatem kąt HDA=15 0. To oznacza, że trójkąt BHD jest równoramienny, czyli AH =HD= BH czyli oznacza to, że trójkąt AHB jest równoramienny i prostokątny. Zatem: kąt BAH=45 0 a kąt BAD=30 0

BIBLIOGRAFIA Matematyka podręcznik dla liceum ogólnokształcącego klasa 3 WSIP

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie