w Gimnazjum w Zespole Szkół Projekt Edukacyjny w Gimnazjum w Zespole Szkół im. Armii Krajowej w Brańsku w roku szkolnym 2011/2012

Seria brył Cele projektu: Czas realizacji Wykonawcy: -utrwalamy i rozszerzamy wiadomości o bryłach -co matematycznego powinno łączyć bryły? -budujemy serie składającą się z trzech brył Czas realizacji -semestr pierwszy 2011/2012 Wykonawcy: Dawid Borowski ,Wojciech Dąbrowski, Karol Gołko, Mateusz Jakoniuk, Paweł Kamiński, Kacper Malinowski, Anna Pietrzykowska, Marcin Wiszniewski Opiekun: Elżbieta Wisłocka

Seria brył Wielościany

Wielościan Definicje Stereometria jest działem geometrii euklidesowej, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Wielościan- część przestrzeni (bryła) ograniczona ze wszystkich stron wielokątami, leżącymi w różnych płaszczyznach w taki sposób, że każdy bok jest wspólny dla dwóch wielokątów wraz z tymi wielokątami. Wielościan wypukły - wielościan będący bryłą wypukłą, czyli taki, że dowolny odcinek o końcach w wielościanie zawiera się w nim cały. Bryłą nie spełniającą tego warunku nazywa się bryłą wklęsłą. Modele

Graniastosłupy Graniastosłupem nazywamy taki wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są wielokątami przystającymi leżącymi na płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami. Modele

Charakterystyka graniastosłupa n-kątnego Opis graniastosłupa Charakterystyka graniastosłupa n-kątnego ściana boczna wierzchołek krawędź boczna krawędź podstawy podstawa n + 2 ilość ścian (n ścian bocznych i 2 podstawy ) 3n ilość krawędzi (n krawędzi bocznych i 2n krawędzi podstaw ) 2n ilość wierzchołków

Rodzaje graniastosłupów Graniastosłupy Proste ściany boczne są prostokątami (są prostopadłe do podstaw) Pochyłe ściany boczne są równoległobokami (nie są prostopadłe do podstaw) Graniastosłupy proste – szczególne przypadki prostopadłościan – wszystkie jego ściany są prostokątami sześcian - wszystkie jego ściany są kwadratami

Bryły wykonał-Karol Gołko

Ostrosłupy Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedną ze ścian, zwaną podstawą, jest wielokąt, a pozostałe ściany są trójkątami posiadającymi jeden wspólny wierzchołek, zwany wierzchołkiem ostrosłupa. Trójkąty te nazywamy ścianami bocznymi. Modele

Opis ostrosłupa Charakterystyka ostrosłupa n-kątnego wierzchołek krawędź boczna ściana boczna krawędź podstawy podstawa n + 1 ilość ścian (n ścian bocznych i 1 podstawa) 2n ilość krawędzi (n krawędzi bocznych i n krawędzi podstaw) n + 1 ilość wierzchołków Ostrosłupy - szczególne przypadki Czworościan foremny - wszystkie jego ściany są trójkątami równobocznymi Czworościan - wszystkie jego ściany są trójkątami

Rodzaje ostrosłupów Ostrosłup prawidłowy jest to ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są jednakowymi trójkątami równoramiennymi Ostrosłupy Pochyłe Proste

Przykłady przekrojów wielościanów Przekroje graniastosłupów Przekroje ostrosłupów

Wielościany niewypukłe Bryłą nie spełniającą warunku wypukłości nazywa się bryłą wklęsłą. Przykłady graniastosłup prawidłowy pięciokątny  gwiaździsty ośmiowklęsły ośmiościan - wklęsły wielościan jednorodny, powstaje z ośmiościanu foremnego.

oznaczmy: n liczba krawędzi podstawy w graniastosłupie mamy: S=n+2 W=2n K=3n wtedy: S + W- K=(n+2)+2n-3n=2 np. w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy: S=6+2=8 W=2•6=12 K=3•6=18 wtedy: S+W-K=9+12-18 = 2 w ostrosłupie mamy: S=n+1 W=n+1 K=2n wtedy: S+W- K=(n+1)+(n+1)- 2n =2 np. w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy: S=6+1=7 W=6 +1= 7 K=2•6=12 S+W-K=7+7-12 = 2

Właściwości Szczególnymi przykładami wielościanów są wielościany foremne. Wielościan foremny - wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian. Istnieje dokładnie pięć wypukłych wielościanów foremnych. Noszą one wspólną nazwę brył platońskich. Modele brył platońskich

Elementy wielościanów foremnych czworościan foremny tetraedrem prostopadłościan foremny heksaedr ośmiościan foremny oktaedr dwunastościan foremny dodekaedr dwudziestościan foremny ikosaedr S= 4 trójkąty K= 6 W= 4 S=6 kwadratów K=12 W=8 S=8 trójkątów W= 6 S= 12 pięciokątów K=30 W=20 S=20 trójkątów K= 30 W=12

Dlaczego „bryły platońskie”  To właśnie Platon wyobrażał sobie, że wszechświat tworzą cztery elementy: ogień, ziemia, woda i powietrze, a każda z tych żywiołów zbudowany jest z cząsteczek, które mają kształt wielościanów foremnych. U Platona cząsteczki ognia mają kształt czworościanów, sześcian symbolizował ziemię, ośmiościan symbolizował powietrze, dwudziestościan symbolizował wodę, dwunastościan miał symbolizować eter (wg filozofów była to substancja wypełniająca cały wszechświat). Źródło:http://gnosis.art.pl  W starożytności bryłom tym przypisywano też pięć znanych wówczas planet : czworościan był uosobieniem planety Jowisz, sześcian- Saturn, ośmiościan – Merkury, dwunastościan - Mars, dwudziestościan - Wenus. - stąd do dziś nazwa "wielościany kosmiczne".  W XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego - układu słonecznego. Bryły te były umieszczone wewnątrz sfery reprezentującej orbitę Saturna.  Dziś już dzięki Euklidesowi możemy dowieść, że jest ich dokładnie pięć. Źródło:http://en.wikipedia.org/

Dlaczego wielościanów foremnych jest tylko 5

O liczbie wielościanów foremnych możemy przekonać się z twierdzenia Eulera. Oznaczmy: W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, W ≥ 4, K - ilość jego wszystkich krawędzi, K ≥ 6, S - ilość ścian, S ≥ 4 p = ilość krawędzi w jednej ścianie, , p ≥ 3, q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku q ≥ 3. . Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności: Sp=2K     qW=2K Stąd : S= 2K/p, W = 2K/q, podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2  dla wielościanów daje zależność: 2K/q +2K/p - K = 2 , która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie: 1/p +1/q= 1/2+ 1/K Ono oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2.  Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary  p ≥ 3,q ≥ 3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p ≥ 6 lub q ≥ 6 związek ten już nie zachodzi. Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych

wnioski liczbami ścian wielościanu foremnego mogą być tylko liczby 4, 6, 8, 12, 20. jedynymi wielokątami foremnymi, które mogą być ścianami brył foremnych są te dla których liczba boków b {3, 4, 5}. 3 jest najmniejszą liczbą, dla której mamy wielokąt, dla b = 6 nie jesteśmy już w stanie uzyskać bryły. Sześciokąt foremny ma kąt wewnętrzny 120, a skoro w dowolnym wierzchołku bryły spotkać się muszą co najmniej z = 3 ściany, gdyż 120 × 3 = 360. dla b = 4, 5 w jednym wierzchołku mogą się spotkać jedynie z = 3 ściany, dla b = 3 mogą się spotkać 3, 4, 5 ściany, czyli z  {3, 4, 5}. w × z = b × s 2k = b × s, podstawiając te wyniki do wzoru Eulera dostajemy : s = s(b, z) = 4z/ 2z + 2b − bz rozważając wszystkie przypadki mamy: s(3, 3) = 4 s(4, 3) = 6 s(3, 4) = 8 s(3, 5) = 20 s(5, 3) = 12 .

Bryły platońskie (ze ścianami i bez ścian) narysowane przez Leonarda da Vinci do książki Luca Pacioli pt. Boska proporcja (1509r)  ośmiościan dwunastościan  czworościan  sześcian  dwudziestościan

 Dwunastościan na obrazie "Ostatnia wieczerza" Salvadora Dali.  Studium fontanny Loenarda Da Vinci (w środku m.in. czworościan wpisany w sześcian) Leonardo Da Vinci - Sześciany

Dwunastościan gwiaździsty mały znajduje się na posadzce bazyliki św Dwunastościan gwiaździsty mały znajduje się na posadzce bazyliki św. Marka w Wenecji –autor Paolo Uccello Nagrodzony Noblem trójwymiarowy model struktury atomowej węgla C60 składający się ze ścian pięcio- i sześciokątnych

Ciekawostki

 Kilkadziesiąt lat temu znaleziono na terenie Szkocji bryły wykonane z kamienia, które do złudzenia przypominają platońskie bryły. Ich wiek datuje się na co najmniej 3 tys. lat. Są więc starsze od Platona (428-348 p.n.e.) o co najmniej o 500 lat... Kamienne bryły znajdują się w "Ashmolean Museum", w Oxford w Anglii. Oto one:  Dwunastościan i dwudziestościan z brązu z czasów rzymskich, których przeznaczenie nie jest znane.

Pszczeli sekret Pszczoły poza tym, iż są bardzo pracowite, mają też ogromną wiedzę matematyczną. Pszczoły budują z wosku komórki w kształcie prawidłowych graniastosłupów sześciokątnych. Graniastosłupy takie nie tylko szczelnie wypełniają przestrzeń, tworząc charakterystyczny "plaster miodu", ale jednocześnie zużywają najmniejszą ilość budulca.

Struktura hydratu metanu Kształty kryształów Struktura hydratu metanu Kryształ hexagonalny Kryształ soli kuchennej

Piłka futbolowa Wzór Eulera S + W - K= 2 Piłka futbolowa uszyta jest z wielokątów. Gdyby nie elastyczność materiału, z którego jest wykonana, byłaby wielościanem - dwudziestościanem ściętym. Dwudziestościan ścięty to wielościan półforemny o 32 ścianach w kształcie 20 sześciokątów foremnych i 12 pięciokątów foremnych. Posiada 90 krawędzi i 60 wierzchołków. Wzór Eulera S + W - K= 2 32 + 60 - 90 = 2 podana w tw. Eulera równość zachodzi.

Seria graniastosłupów o podstawach takich jak figury w tangramie i jednakowej wysokości, z których można złożyć jeden prostopadłościan

TANGRAM Tangram – chińska gra znana od ok. 3000 lat. Tangram to kwadrat, który składa się z 7 części (tan):

Siatki graniastosłupów o podstawach takich jak figury w tangramie i jednakowej wysokości

Wykonane przez nas graniastosłupy

Prostopadłościan- seria siedmiu graniastosłupów

Seria brył obrotowych o podstawach przystających

BRYŁY OBROTOWE Stożek Kula Walce

Seria brył obrotowych- takie same podstawy

Podsumowanie -Nauczyliśmy się rozpoznawać różne bryły (graniastosłupy, ostrosłupy, bryły obrotowe, wielościany platońskie). -Potrafimy rysować i sklejać siatki tych brył. -Umiemy składać nasze modele w serie brył. -Do tej pory o niektórych bryłach nie uczyliśmy się jeszcze na lekcjach matematyki

Bibliografia Matematyka dla klas I, II, III Gim.- podręcznik GWO. Matematyka w Szkole- nr. 17 listopad-grudzień 2002r. Internet: Wikipedia