Bonus Matematyczny Bonus część druga. Tablice, wyjaśnienia, wszystko czego potrzebujesz do rozumienia matematyki… Bonus część druga.

Spis treści Słowo wstępu Wyjaśnienie Geometria analityczna Statystyka

Słowo wstępu Witamy Was po raz drugi !! Fakt, że tu jesteście oznacza, że już nabyliście książeczki matmujSię.pl! Jesteśmy za to bardzo wdzięczni. Jak już wiecie kupując nasze książeczki dokładacie SWOJĄ cegiełkę i przekazujecie część ZAINWESTOWANEJ złotówki na Fundację Jaśka Meli „Poza Horyzonty”. Doceniamy WASZE zaangażowanie w pomoc i chęć zgłębiania MATEMATYKI! Dlatego teraz obdarowujemy Was bonusem w postaci: wyjaśnień głównych wzorów podanych w TABLICACH MATEMATYCZNYCH. Jeśli są jeszcze jakieś nieznane Wam wzory w TABLICACH, które chcielibyście dokładniej omówić, to prosimy o przekazanie tej informacji na naszej stronie 

Wyjaśnienie Działy Bonusu Matematycznego są zgodne z numeracją działów Tablic Matematycznych (link do Tablic jest także umieszczony na stronie www.matmujsie.pl). W omawianym pliku przedstawione zostaną : 9. Geometria analityczna 10. Statystyka Wzory w POMARAŃCZOWYCH ramkach są pobrane bezpośrednio z Tablic Matematycznych.

9. GEOMETRIA ANALITYCZNA Zad.9.1. Oblicz długość odcinka |AB|, gdy mamy dane punkty 𝐴(−2,−1)i 𝐵(3,2) 𝑥 1 =−2 𝑦 𝐴 =−1 𝑥 𝑩 =𝟑 𝒚 𝑩 =𝟐 AB = (𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 ) 2 + ( 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ) 2 AB = 3−(−2) 2 + [ 2−(−1)] 2 = (3+2) 2 + (2+1) 2 = 25+9 = 34 |𝐀𝐁|≈𝟓,𝟖

Zad.9.2. Oblicz długość odcinka |𝐶𝐵|, gdy mamy dane punkty 𝐵(1,1) i 𝐶(−1,−4). Widzimy, że przy obliczaniu odcinka |𝐶𝐵| należy od współrzędnych punktu B odjąć punkt C. 𝒙 𝑩 =𝟏 𝒙 𝑪 =−𝟏 𝒚 𝑩 =𝟏 𝒚 𝑪 =−𝟒 |𝐶𝐵|= ( 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐶 ) 2 +( 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐶 ) 2 𝐶𝐵 = 1− −1 2 + 1− −4 2 = = 2 2 + 5 2 = 4+25 = 29 |𝐂𝐁|≈𝟓,𝟒

Zad.9.3. Oblicz środek odcinka |𝐾𝑀|, gdy mamy dane punkty 𝐾(2,6) i M(−11,5). Ogólny zapis w tablicach matematycznych wygląda tak: W naszym zadaniu nazwijmy punkt C punktem środkowym odcinka |𝐾𝑀|. Teraz odpowiednio za 𝑥 𝐴 , 𝑥 𝐵 , 𝑦 𝐴 , 𝑦 𝐵 należy podstawić 𝑥 𝐾 , 𝑥 𝑀 , 𝑦 𝐾 𝑖 𝑦 𝑀 . Rozw. Pierwsza współrzędna punktu C wynosi: 𝑥 𝐶 = 𝑥 𝐾 + 𝑥 𝑀 2 𝑥 𝐶 = 2−11 2 = −9 2 =−4,5 analogicznie 𝑦 𝐶 = 𝑦 𝐾 + 𝑦 𝑀 2 = 6+5 2 = 11 2 =5,5 Punkt C ma współrzędne (−𝟒,𝟓; 𝟓,𝟓) 𝒙 𝑨 + 𝒙 𝑩 𝟐 ; 𝒚 𝑨 + 𝒚 𝑩 𝟐

Wektory 𝑨𝑩 =[ 𝒙 𝑩 − 𝒙 𝑨 ; 𝒚 𝑩 − 𝒚 𝑨 ] Zad.9.4. Oblicz współrzędne wektora 𝐴𝐵 wiedząc, że 𝐴(−2,1) i 𝐵(6,−4). Rozw. Należy zastosować wzór z tabl. mat.: W naszym zadaniu 𝑥 𝐴 =−2 𝑥 𝐵 =6 𝑦 𝐴 =1 𝑦 𝐵 =−4 zatem, po podstawieniu do wzoru 𝐴𝐵 otrzymamy: 𝐴𝐵 = 6− −2 ;−4−1 𝐴𝐵 = 6+2;−5 𝑨𝑩 = 𝟖;−𝟓 𝑨𝑩 =[ 𝒙 𝑩 − 𝒙 𝑨 ; 𝒚 𝑩 − 𝒚 𝑨 ]

a) sumę wektorów 𝑢 = 3,−1 i 𝑘 =[2,2] Zad.9.5. Oblicz: a) sumę wektorów 𝑢 = 3,−1 i 𝑘 =[2,2] b) różnicę wektorów 𝑢 = −2,−6 i 𝑘 =[3,−1] Rozw. a) 𝒖 + 𝒌 = 3,−1 + 2,2 = 3+2,−1+2 = 5,1 b) 𝒖 − 𝒌 = −2,−6 − 3,−1 = −2−3;−6− −1 𝒖 − 𝒌 = −𝟓;−𝟔+𝟏 = −𝟓;−𝟓 Oblicz iloczyn wektora 𝑢 = 4,−2 przez liczbę −3. −3∙ 𝑢 =−3∙ 4,−2 = −3∙4; −3 ∙ −2 = −12;6

Prosta Wyjaśnijmy informacje podane w tablicach matematycznych. Wytłumaczymy: Równanie ogólne prostej Jeżeli 𝑨=𝟎 to prosta jest równoległa do osi 𝑂𝑥 Jeżeli 𝑩=𝟎 to prosta jest równoległa do osi 𝑂𝑦 Jeżeli 𝑪=𝟎 to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych Wyróżniamy dwie postaci prostej: - ogólną: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 - kanoniczną: 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Zad.9.6. Zapisz w postaci ogólnej prostą: 𝒚=𝟐𝒙+𝟑 𝒚= 𝟑 𝟐 𝒙+𝟒 Rozw. Aby zapisać prostą w postaci ogólnej w pierwszej kolejności należy przenieść na jedną stronę równania 𝟐𝒙+𝟑−𝒚=𝟎 Teraz należy zapisać wyrazy w odpowiedniej kolejności: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 𝟐𝒙−𝒚+𝟑=𝟎 Wówczas odpowiednio współczynniki wynoszą: 𝑨 = 𝟐 𝑩 = −𝟏 𝑪 = 𝟑

Z postaci ogólnej wypiszemy współczynniki: 𝒚= 𝟑 𝟐 𝒙+𝟒 3 2 𝑥+4−𝑦=0 /∙2 3𝑥+8−2𝑦=0 3𝑥−2𝑦+8=0 𝑨 = 𝟑 𝑩 = −𝟐 𝑪 = 𝟖 Zad.9.7. Sprowadź postać ogólną do postaci kierunkowej i przedstaw ją w układzie współrzędnych: 𝟑𝒚−𝟒=𝟎 −𝟔𝒙+𝟐=𝟎 Rozw. a) Sprowadzamy 3𝑦−4=0 do postaci kanonicznej 3𝑦=4 / :3 y= 4 3 Z postaci ogólnej wypiszemy współczynniki: 𝑨=𝟎 𝑩=𝟑 𝑪=−𝟒. W postaci kanonicznej 𝒚=𝒂𝒙+𝒃 w naszym przykładzie y= 4 3 , tzn., że 𝒚=𝒃. Gdy 𝑨=𝟎 lub 𝒚=𝒃 wówczas prosta jest równoległa do osi OX. Mnożymy przez 2, w celu usunięcia ułamków, następnie porządkujemy wyrazy.

𝒚= 𝒂(𝒙− 𝒙 𝟎 )+ 𝒚 𝟎 −𝟔𝒙+𝟐=𝟎 𝑨 = −𝟔, 𝑩 = 𝟎, 𝑪 = 𝟐 −6𝑥=−2 / : (−6) −6𝑥=−2 / : (−6) 𝑥= −2 −6 𝒙= 𝟏 𝟑 Gdy 𝐵=0 lub 𝑥= 1 3 , wówczas prosta jest równoległa do osi OY. Wytłumaczmy I sposób Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt P=( 𝐱 𝟎 , 𝐲 𝟎 ): 𝒚= 𝒂(𝒙− 𝒙 𝟎 )+ 𝒚 𝟎

np. gdy mamy 𝑦=2𝑥+𝑏 i 𝑃(3,5) I sposób 𝑦=2(𝑥−3)+5 𝑦=2𝑥−6+5 𝑦=2𝑥−1 II sposób Podstawiamy 𝑃 3,5 do 𝑦=2𝑥+𝑏 Za 𝑥=3, za 𝑦=5. 5=2∙3+𝑏 5=6+𝑏 5−6=𝑏 −1=𝑏 Wracamy do wzoru 𝑦=2𝑥+𝑏 i otrzymujemy 𝒚=𝟐𝒙−𝟏

Tłumaczymy zapis I sposób: Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty 𝑨 𝒙 𝑨 , 𝒚 𝑨 ,𝑩( 𝒙 𝑩 , 𝒚 𝑩 ): 𝒚− 𝒚 𝑨 𝒙 𝑩 − 𝒙 𝑨 − 𝒚 𝑩 − 𝒚 𝑨 𝒙− 𝒙 𝑨 =𝟎 Zad.9.8. Napisz równanie prostej jeżeli wiemy, że należą do niej dwa punkty 𝐴(−1,6) i 𝐵(2,−2). Zastosujmy podany powyższej wzór. Wiemy, że 𝒙 𝑨 =−𝟏; 𝒚 𝑨 =𝟔; 𝒙 𝑩 =𝟐; 𝒚 𝑩 =−𝟐 Rozw. (𝑦−6)[2−(−1)]−(−2−6)[𝑥−(−1)]=0 (𝑦−6)∙3−(−8)(𝑥+1)=0 3𝑦−18+8(𝑥+1)=0 3𝑦−18+8𝑥+8=0 3𝑦−10+8𝑥=0 3𝑦=−8𝑥+10 / :3 𝐲=− 𝟖 𝟑 𝒙+ 𝟏𝟎 𝟑

6−(−2)=−𝑎−2𝑎+𝑏−𝑏 6+2= −3𝑎+0 8=−3𝑎 / : (−3) 𝒂=− 𝟖 𝟑 II sposób Za x odpowiednio podstawić 𝑥 𝐴 =−1 𝑖 𝑥 𝐵 =2, a za y podstawiamy 𝑦 𝐴 =6 𝑖 𝑦 𝐵 =−2. Tworzymy układ równań podstawiając 𝐴 −1,6 𝑖 𝐵 2,−2 do wzoru 𝐲=𝐚𝐱+𝐛 − 6 = − a + b −2 = 2 a + b 6−(−2)=−𝑎−2𝑎+𝑏−𝑏 6+2= −3𝑎+0 8=−3𝑎 / : (−3) 𝒂=− 𝟖 𝟑 Wyznaczone a podstawiamy np. do wzoru 6=−𝑎+𝑏 6=− − 8 3 +𝑏 6= 8 3 +𝑏 6− 8 3 =𝑏 6−2 2 3 =𝑏 3 1 3 =𝑏 𝟏𝟎 𝟑 =𝒃 Podstawiamy pod wzór 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 i otrzymujemy 𝐲=− 𝟖 𝟑 𝒙+ 𝟏𝟎 𝟑

Prosta i punkt 𝑨=𝟑 𝑩=𝟒 𝑪=𝟓 3 4 𝑥+ 5 4 +𝑦=0 I∙4 3𝑥+5+4𝑦=0 3𝑥+4𝑦+5=0 Zad.9.9. Oblicz odległość punktu 𝐴(5,2) od prostej 𝐲=− 𝟑 𝟒 𝒙− 𝟓 𝟒 Rozw. Najpierw przekształcamy postać kanoniczną do postaci ogólnej 𝐲=− 𝟑 𝟒 𝒙− 𝟓 𝟒 3 4 𝑥+ 5 4 +𝑦=0 I∙4 3𝑥+5+4𝑦=0 3𝑥+4𝑦+5=0 𝑨=𝟑 𝑩=𝟒 𝑪=𝟓 Z punktu 𝐴(5,2) odczytujemy 𝑥 0 =5 𝑖 𝑦 0 =2 Teraz podstawiamy wszystkie dane pod wzór: 𝐝= |𝟑∙𝟓+𝟒∙𝟐+𝟓| 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐 = |𝟏𝟓+𝟖+𝟓| 𝟐𝟓 = |𝟐𝟖| 𝟓 = 𝟐𝟖 𝟓 𝐝= |𝑨 𝒙 𝟎 + 𝑩𝒚 𝟎 +𝑪| 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐

Para prostych 𝒂 𝟏 ∙𝒂 𝟐 = −𝟏 Zad.9.10. Napisz dowolne równanie: prostej prostopadłej; prostej równoległej do prostej o równaniu 3𝑦+9𝑥−1=0 Rozw. W pierwszej kolejności musimy przekształcić prostą 𝟑𝒚+𝟗𝒙−𝟏=𝟎 do postaci kanonicznej 3𝑦1=−9𝑥+1 / :3 𝑦 1 =− 9 3 𝑥+ 1 3 𝒚 𝟏 =−𝟑𝒙+ 𝟏 𝟑 Z tablic matematycznych odczytujemy, iż proste są do siebie prostopadłe, gdy nasze 𝑎 1 =−3, zatem: −3∙𝑎 2 =−1 / : (-3) 𝑎 2 = −1 −3 = 1 3 współczynnik b może przyjmować dowolną wartość 𝑦 2 = 1 3 𝑥+𝟏𝟎 𝑙𝑢𝑏 𝑦 2 = 1 3 𝑥−𝟐𝟎𝟏𝟐 𝑙𝑢𝑏 𝑦 2 = 1 3 𝑥−𝟏𝟑, czyli jak widzimy wyraz b może przyjmować dowolną wartość . zatem: 𝑦 2 =−3𝑥+𝟏𝟎 𝑙𝑢𝑏 𝑦 2 =−3𝑥+𝟒𝟔𝟓 𝑙𝑢𝑏 𝑦 2 =−3𝑥 𝑙𝑢𝑏… 𝒂 𝟏 ∙𝒂 𝟐 = −𝟏 Dwie proste są równoległe, gdy 𝒂 𝟏 = 𝒂 𝟐

Kąty w okręgu Zad.9.11. Oblicz sumę miar kątów α i β zaznaczonych na rysunku Rozw. Z tablic matematycznych odczytujemy: W zadaniu jest podany kąt środkowy 𝐴𝑂𝐵=120°, kąt wpisany α w okrąg oparty na tym samym łuku co kąt środkowy 𝐴𝐷𝐵=120°: 2=60°, kąt β czyli kąt 𝐴𝐵𝐶=90°, gdyż oparty jest on na łuku okręgu i jego ramię przechodzi przez średnicę okręgu! 𝜶 + 𝜷 = 𝟔𝟎°+ 𝟗𝟎°= 𝟏𝟓𝟎° „miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łyku”

TWIERDZENIE O KĄCIE MIĘDZY STYCZNĄ I CIĘCIWĄ Zad.9.12. Oblicz kąt α pokazany na rysunku, jeżeli wiadomo, że kąt 𝜷 = 𝟏𝟑𝟎° Rozw. Na stronie 10 w tablicach matematycznych jest napisana zależność, że W naszym zadaniu ∢𝐾𝑂𝑀 =2∙|∢𝑆𝐾𝑀| Kąt ∢𝑺𝑲𝑴= 𝟏𝟑𝟎 𝟎 zatem ∢𝑲𝑶𝑴= 𝟔𝟓 𝟎 gdy jest styczna do okręgu w punkcie A, wtedy |∢AOB|=2∙|∢𝐶𝐴𝐵||

Zad. 9. 13. Oblicz miarę kąta α pokazanego na poniższym rysunku. Rozw Zad.9.13. Oblicz miarę kąta α pokazanego na poniższym rysunku. Rozw. Suma miar (w czworokącie wpisanym w okręg) przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 1800 𝛽+𝜑=𝛼+1400=1800 𝛼+1400=1800 𝛼=1800−1400 𝜶=𝟒𝟎0

10. Statystyka Zad.10.1. Oblicz odchylenie standardowe oraz wyznacz medianę uzyskanych ocen przez uczniów w klasie 1a. Rozw. W celu obliczenia odchylenia standardowego należy najpierw wyznaczyć średnią arytmetyczną, a następnie wariancję. 1O Średnia arytmetyczna 𝑎 = 𝑎 1 + 𝑎 2 +…+ 𝑎 𝑛 𝑛 , gdzie n to liczba wyrazów 𝑎 = 2∙1+2∙9+3∙5+4∙6+5∙2+6∙1 2+9+5+6+2+1 = 2+18+15+24+10+6 25 = 75 25 =3 Oceny 1 2 3 4 5 6 Liczba uczniów 9

δ 𝟐 = (𝒂𝟏− 𝒂 ) 𝟐 + (𝒂𝟐− 𝒂 ) 𝟐 + …+ 𝒂𝒏− 𝒂 𝟐 𝒏 2O Wariancja δ 𝟐 = (𝒂𝟏− 𝒂 ) 𝟐 + (𝒂𝟐− 𝒂 ) 𝟐 + …+ 𝒂𝒏− 𝒂 𝟐 𝒏 δ 𝟐 = 𝟐(𝟏−𝟑) 𝟐 + 𝟗(𝟐−𝟑) 𝟐 + 𝟓(𝟑−𝟑) 𝟐 + 𝟔(𝟒−𝟑) 𝟐 + 𝟐(𝟓−𝟑) 𝟐 + (𝟔−𝟑) 𝟐 𝟐𝟓 𝜹 𝟐 = 𝟒𝟎 𝟐𝟓 =𝟏,𝟔 3O Odchylenie standardowe 𝜹= 𝟏,𝟔 =𝟏,𝟐𝟓 4O Mediana Porządkujemy rosnąco uzyskane stopnie: 1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6 12 ocen 12 ocen Wybieramy wartość środkową, wynosi ona 3.

Zad. 10. 2. Wyznacz medianę wzrostu Zad.10.2. Wyznacz medianę wzrostu. Dane do zdarzenia są podane w poniższej tabeli: Wzrost [cm] 150 155 160 170 175 Liczba uczniów 1 3 2 Rozw. 150,155,160,160,160,170,170,175,175,175 5 5 W tym zadaniu mamy parzystą ilość wyrazów, dlatego też nie ma pojedyńczego wyrazu środkowego. Należy wybrać dwa środkowe wyrazy i policzyć ich średnią 𝒎 𝒆 = 𝟏𝟔𝟎+𝟏𝟔𝟎 𝟐 =𝟏𝟔𝟎

Ciąg dalszy nastąpi… Dziękujemy za pobranie drugiej części bonusu. Jeżeli chcecie omówić dodatkowe tematy z tablic matematy-cznych to ZAPRASZAMY do pozosta-wienia mailowej informacji.  Do zobaczenia wkrótce!!! Team MatmujSię.pl