Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Pokażemy, że jako ogólną postać bazy reguł rozmytych można rozważać bazę składającą się z reguł o następującej jednolitej postaci: gdzie, A ij oraz B i są zbiorami rozmytymi w X j  R oraz Y  R Ponadto oraz x oraz y są nazywane odpowiednio wejściami i wyjściem systemu rozmytego ()()

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Fakt 1. Ponieważ każdy system MIMO może zawsze być zdekomponowany do na systemy MISO, bez utraty ogólności możemy rozważać jako reprezentatywne systemy MISO Fakt 2. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek „niekompletne” reguły postaci gdzie, r < p Dowód. Niekompletna reguła jest równoważna regule gdzie, I 1 jest uniwersalnym zbiorem rozmytym na całej przestrzeni rozważań R

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Fakt 3. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły OR reguły postaci Dowód. Intuicyjne rozumienie operatora OR pozwala napisać następujące dwie reguły równoważne podanej regule OR a z faktu 2 mamy, że każda z tych reguł jest równoważna regule postaci (*)

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Fakt 4. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek stwierdzenie rozmyte Dowód. W istocie takie stwierdzenie rozmyte jest równoważne regule która ma formę reguły postaci (*)

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Fakt 5. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek „reguły stopniowane” postaci Dowód. Wyrażeniu „mniejszy x” można nadać formę stwierdzenia rozmytego przez zdefiniowanie zbioru rozmytego mniejszy x. Oznaczmy ten zbiór A. Podobnie można postąpić z wyrażeniem „większy y”. Oznaczmy reprezentujący je zbiór rozmyty B. Podana reguła stopniowana może być wówczas zapisana a z faktu 2 mamy, że taka reguła jest równoważna regule postaci (*)

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Fakt 6. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły „jeżeli nie” Dowód. Traktując która w oparciu o prawo de Morgana jest równoważna regule Intuicyjne rozumienie wyrażenia „jeżeli nie” pozwala napisać następującą regułę równoważną podanej jako odrębny zbiór rozmyty i opierając się na fakcie 3 możemy stwierdzić, że rozważana reguła jest równoważna (*)

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Fakt 7. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły twarde (wyraziste) Dowód. Jeżeli funkcje przynależności zbiorów A i,j oraz zbioru B i przyjmują tylko dwie wartości 0 oraz 1 to reguła (*) staje się regułą nie-rozmytą Podsumowanie: Biorąc pod uwagę Fakt 1 bez utraty ogólności możemy rozważać jako reprezentatywne systemy MISO Biorąc pod uwagę Fakt 2-7 bez utraty ogólności możemy rozważać modele lingwistyczne w postaci koniunkcyjnej jako ogólne modele lingwistyczne

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 System Mamdaniego System Mamdaniego z wykorzystujący realizacje min oraz max jako operatory t – normy i t - konormy Podejście 1

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 System Mamdaniego – c.d. System Mamdaniego z wykorzystujący realizacje prod oraz max jako operatory t – normy i t - konormy Podejście 2

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 System Mamdaniego – aproksymacja Przykład 2 Jeżeli X jest MAŁY I Y jest MAŁY TO Z jest UJEMNY DUŻY Jeżeli X jest MAŁY I Y jest DUŻY TO Z jest UJEMNY MAŁY Jeżeli X jest DUŻY I Y jest MAŁY TO Z jest DODATNI MAŁY Jeżeli X jest DUŻY I Y jest DUŻY TO Z jest DODATNI DUŻY Realizacja: max – min, środek ciężkości

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Zbiór reguł przy koniunkcyjnej formie przesłanek bazy reguł dzieli dziedzinę wejścia na kratownicę rozmytych hiperskrzynek. Każda hiperskrzynka jest przecięciem odpowiednich jednowymiarowych zbiorów rozmytych wejścia systemu Liczba reguł w koniunkcyjnej formie, potrzebna do pokrycia całego obszaru wejścia określona jest wzorem gdzie p jest wymiarem przestrzeni wejścia a N i jest liczbą wartości lingwistycznych przypisywanych i-tej zmiennej wejścia (przesłanki)

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Składając koniunkcje, dysjunkcje i negacje można uzyskać różny podział przestrzeni wejścia (przesłanek) – zawsze będzie to jednak prostopadłościenna kratownica zdefiniowana przez zbiory rozmyte związane z poszczególnymi zmiennymi Przykład Przesłanka reguły pokrywająca lewy dolny narożnik przestrzeni przesłanki

Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu