BADANIA OPERACYJNE – pojęcia wstępne

Termin „badania operacyjne” powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii angielskiej używa się terminu „Badania operacyjne” – „Operational Research” W terminologii amerykańskiej używa się terminu „Nauka o Zarządzaniu” – „Management Science” Definicja: Badania operacyjne to naukowa metoda rozwiązywania problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych (wg Harveya Wagnera)

;-)

Ogół prac związanych z wykorzystaniem metod programowania matematycznego w procesie podejmowania decyzji podzielić można na cztery etapy: I budowa modelu (zadania) PM, II rozwiązanie zadania PM III weryfikacja modelu i rozwiązania IV opracowanie systemu kontroli W etapie I powinno się sformułować: co jest celem działania o czym mamy decydować jakie są warunki w jakich działamy jakie środki wchodzą w grę kryterium umożliwiające ocenę decyzji

Przykład Zakład wytwarza dwa produkty A i B o cenie 3 i 4 zł. Należy opracować dzienny plan produkcji tak, aby wartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie największa. Produkcja jest limitowana przez surowiec podstawowy i czas pracy maszyn. Max. dzienny czas pracy maszyn - 500 minut. Dzienny limit surowca 350 kg. Sztuka wyrobu A wymaga 1 min pracy maszyny, natomiast sztuka wyrobu B - 2 minuty. Zużycie / sztukę wyrobu A i B - 1 kg. Jednostkowy zysk za wyrób A - 2 zł, wyrób B - 1 zł. Zysk min. - 600 zł.

1. Co jest celem działania? - produkcja wyrobów A i B 2. O czym chcemy decydować? - o rozmiarach dziennej produkcji wyrobów A i B. 3. Jakie są warunki - patrz opis 4. Jakie mamy środki? - surowiec podstawowy, praca maszyn 5. Jakie jest kryterium oceny planu? - maksymalna wartość produkcji w cenach zbytu

Sytuacja decyzyjna... W wielu sytuacjach życia codziennego jesteśmy zmuszeni do podejmowania decyzji. Stajemy wówczas przed dylematem: co jest dla nas lepsze, co jest bardziej opłacalne? Sytuacje takie nazywamy sytuacjami decyzyjnymi, a osobę podejmującą decyzję nazywamy decydentem Warunki, w jakich działa decydent nie pozwalają na wybór dowolnej decyzji, gdyż każdy decydent podlega pewnym ograniczeniom. Taką decyzję, która jest zgodna z warunkami ograniczającymi nazywamy decyzją dopuszczalną Jednak...

Decyzja optymalna, kryterium wyboru... Nie każda decyzja dopuszczalna jest jednakowo dobra dla decydenta! W zależności od powziętych celów, jedne sytuacje mogą być lepsze  inne gorsze  W taki sposób pojawia się problem wyboru decyzji najlepszej, zwanej decyzją optymalną. Wybór decyzji optymalnej wymaga przyjęcia określonego kryterium, według którego możliwa jest ocena decyzji jako lepszych lub gorszych. Takie kryterium umożliwiające ocenę decyzji w kategorii lepsza/gorsza nazywamy kryterium wyboru.

Problem decyzyjny, model decyzyjny... Opis określonej sytuacji decyzyjnej nazywamy problemem decyzyjnym. Nasze zainteresowanie ograniczymy do sytuacji, w których warunki ograniczające, kryterium wyboru i decyzje można opisać językiem matematyki. Powiemy wówczas, że formułujemy matematyczny model problemu decyzyjnego W matematycznym modelu problemu decyzyjnego warunki ograniczające opisywane są za pomocą układów równań lub układów nierówności.

Warunek brzegowy, funkcja celu... W układach tych występować będą wielkości dane, zwane parametrami modelu, oraz zmienne, zwane zmiennymi decyzyjnymi. Oprócz warunków ograniczających występować mogą warunki dotyczące znaku zmiennych (np. nieujemności) lub typu zmiennych (np. zalecenie, że mają to być liczby całkowite); te dodatkowe warunki określamy pojedynczym sformułowaniem warunek brzegowy. W modelu rolę kryterium wyboru pełni pewna funkcja zmiennych decyzyjnych, mierząca cel, jaki chce osiągnąć decydent. Funkcję tę nazywamy funkcją celu.

Liniowy model decyzyjny... Opisanie sytuacji decyzyjnej językiem matematyki ma na celu sprowadzenie problemu wyboru najlepszej decyzji do rozwiązania pewnego zagadnienia. W tym celu należy: zdefiniować zmienne decyzyjne (oraz ustalić sposób ich notacji) określić wielkości dane, czyli określić parametry modelu zidentyfikować warunki ograniczające określić cel decydenta i zapisać go w postaci funkcji celu

Liniowy model decyzyjny... Jeżeli dla danej sytuacji decyzyjnej warunki ograniczające i funkcja celu mogą przyjąć postać funkcji liniowych, to mówimy, że wyboru najlepszej decyzji dokonamy poprzez rozwiązanie zagadnienia programowania liniowego lub inaczej, że sytuacja decyzyjna może zostać opisana (przybliżona, uproszczona) liniowym modelem decyzyjnym.

Postać standardowa liniowego modelu decyzyjnego Postać standardowa liniowego modelu decyzyjnego... (maksymalizacja funkcji celu)

Postać standardowa liniowego modelu decyzyjnego Postać standardowa liniowego modelu decyzyjnego... (minimalizacja funkcji celu)

Która decyzja (z tych możliwych do podjęcia) jest najlepsza? Problem decyzyjny Która decyzja (z tych możliwych do podjęcia) jest najlepsza? co to znaczy „najlepsza”? co to znaczy „decyzja”? kiedy decyzja jest dopuszczalna? postanowienie będące wynikiem dokonania wyboru zmienne decyzyjne X1, X2, ..., Xn decyzja: x*=(x1*, x2*, ..., xn*) warunki ograniczające funkcja celu max min kryterium optymalizacji zbiór decyzji dopuszczalnych

BADANIA OPERACYJNE – metoda geometryczna Można ją stosować tylko wtedy, gdy mamy DWIE zmienne decyzyjne

Problem decyzyjny Kubuś Puchatek lubi miód i chce go jeść jak najwięcej. Niestety, musi sobie na tę przyjemność zapracować. Są dwie możliwości: hodowanie pszczółek w ulu w ogródku lub zakup miodu w sklepie za pieniądze otrzymane za brawurową rolę w kreskówce. Za każdą godzinę opieki dziennie pszczoły odwdzięczają mu się 0,2 l miodu. Praca pozwala Kubusiowi zarobić 5 zł za godzinę, a miód w sklepie kosztuje 10 zł za litr. Kubuś jest leniwym misiem i nie może pracować (czy to zarobkowo, czy przy ulu) dłużej niż 8 godzin dziennie. Kubuś nie spędzi jednak na planie dłużej niż 5 godzin dziennie, bo będzie tęsknił za Prosiaczkiem i zechce wrócić do domu. Pszczoły po 7 godzinach z Kubusiem mają go dość i zaczynają go atakować. Jak zachowa się Kubuś, by mieć jak najwięcej miodu do dyspozycji?

Decyzja Zmienne decyzyjne x*=(x1*,x2*) x1 – czas pracy w serialu x2 – czas pracy przy ulu Decyzja x*=(x1*,x2*)

Funkcja celu cel: maksymalizacja konsumpcji miodu f(x)=f(x1,x2)=Z(X) → max Jak czas pracy przekłada się na ilość miodu do dyspozycji? 1 h z pszczołami to 0,2 l miodu 1 h na planie serialu to 5 zł, a 1 l miodu kosztuje 10 zł. Czyli za 1 godz. pracy zarobi na pół litra miodu. stąd ilość miodu do dyspozycji Kubusia (w litrach) zależy od jego decyzji w następujący sposób: 0,5 *x1 + 0,2*x2 funkcja celu: f(x1,x2)=Z(X)=0,5x1+0,2x2

Warunki ograniczające x1 + x2 ≤ 8 x1 ≤ 5 x2 ≤ 7 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 warunki nieujemności funkcja celu: f(x1,x2)=Z(X)=0,5x1+0,2x2‎ → max

Ilustracja graficzna x1 x2 8 7 5 8 zbiór decyzji dopuszczalnych (D)

Gdzie jest decyzja optymalna? f(x1,x2) Z(X)= 0,5 x1 + 0,2 x2 x2 10 Gradient funkcji celu: kierunek najszybszego wzrostu jej wartości 7 5 2 4 5 10 x1 Zobacz też: http://kbo.ue.poznan.pl/koralewski/LZD.pdf

Warunki luźne i napięte x2 8 warunki napięte 7 x1 + x2 ≤ 8 x1 ≤ 5 x2 ≤ 7 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 warunki luźne 5 8 x1

Decyzja optymalna Decyzja x* jest optymalna, jeżeli: jest decyzją dopuszczalną, tzn. f(x*) ≥f(x) dla dowolnej decyzji przy maksymalizacji funkcji celu ALBO f(x*) ≤ f(x) dla dowolnej decyzji przy minimalizacji funkcji celu

Zadanie programowania liniowego (PL) szczególny przypadek zadania programowania matematycznego wszystkie zmienne decyzyjne ciągłe wszystkie warunki ograniczające w postaci równań lub nierówności liniowych funkcja celu liniową funkcją zmiennych decyzyjnych

Możliwe wyniki – rozwiązanie optymalne istnieje x2 x2 x1 x1 jedno rozwiązanie optymalne alternatywne rozwiązania optymalne

Możliwe wyniki – rozwiązanie optymalne nie istnieje x2 zadanie sprzeczne x2 x1 x1 funkcja celu nieograniczona z góry (z dołu)

Własności zadań PL (1) Jeżeli zbiór D jest niepusty i ograniczony, to istnieje rozwiązanie optymalne. W zadaniu PL o nieujemnych zmiennych decyzyjnych i niepustym zbiorze rozwiązań optymalnych przynajmniej jeden wierzchołek zbioru D jest rozwiązaniem optymalnym. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych i rozwiązań optymalnych zadania PL są zbiorami wypukłymi. Wynik procesu rozwiązywania zadania PL nie ulega zmianie przy zastąpieniu funkcji celu f(x) funkcją af(x) (gdy a jest dowolną liczbą dodatnią) lub f(x)+b (gdy b jest ustaloną liczbą rzeczywistą).

Własności zadań PL (2) Wynik procesu rozwiązywania zadania PL nie ulega zmianie przy zastąpieniu funkcji celu f(x) funkcją -f(x) i jednoczesnej zmianie kryterium optymalizacji na przeciwne. Wierzchołek x* niepustego zbioru rozwiązań dopuszczalnych D jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL z maksymalizacją funkcji celu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego rozwiązania dopuszczalnego x na prostej warunku napiętego w x* zachodzi f(x*) ≥ f(x). Wierzchołek x* niepustego i ograniczonego zbioru rozwiązań dopuszczalnych D jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL z maksymalizacją funkcji celu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego sąsiedniego wierzchołka zbioru rozwiązań dopuszczalnych zachodzi f(x*) ≥ f(x).

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego (1) Przedsiębiorstwo produkuje dwa rodzaje wyrobów A i B W procesie produkcji wykorzystywane są trzy środki produkcji S1, S2, S3 dane w ograniczonych ilościach 2000, 4200, 1200 jednostek (odpowiednio). Do wytworzenia jednego wyrobu A należy zużyć 4, 6 i 3 jednostki środków produkcji S1,S2,S3 Do wytworzenia jednego wyrobu B zużywa się 2 i 6 jednostek środków S1 i S2 Jednostkowe zyski ze sprzedaży wyrobów A i B wynoszą odpowiednio 70 i 50 jednostek pieniężnych Zapisać i rozwiązać odpowiedni model decyzyjny (czyli ustalić optymalną strukturę produkcji maksymalizującą zysk).

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego (1)

Przykład zastosowania... (1)

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego (2) Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W1 i W2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I – 96000 jedn., natomiast środek II – 80000 jedn. Nakłady limitowanych środków na jednostkę wyrobów W1 i W2 podano w tabeli. Środki produkcji Jednostkowe nakłady W1 W2 I 16 24 II 10

Wiadomo, że zdolności produkcyjne jednego z wydziałów, stanowiącego wąskie gardło procesu produkcyjnego, nie pozwalają produkować więcej niż 3000 szt. wyrobów W1 oraz 4000 szt. wyrobów W2. Optymalne proporcje produkcji kształtują się odpowiednio jak 3:2. Cena sprzedaży (w zł) jednostki wyrobu W1 wynosi 30, a wyrobu W2 – 40. Ustalić optymalne rozmiary produkcji wyrobów gwarantujące maksymalizację przychodu ze sprzedaży przy istniejących ograniczeniach. W rozwiązaniu możemy zastosować metodę geometryczną.

Na początek należy zbudować model matematyczny opisujący przedstawioną powyżej sytuację. Niech x1 oznacza ilość produkcji wyrobu W1, a x2 – ilość produkcji wyrobu W2. Biorąc pod uwagę limity środków produkcji I i II, mamy dwa pierwsze ograniczenia. (1) (2)

Trzeci warunek opisujący optymalne proporcje przybierze postać: Warunki brzegowe przybiorą postać: Funkcja celu

Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W1 i W2 Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W1 i W2. Ograniczeniem w procesie produkcji są zapasy trzech surowców: S1, S2, S3. Ustalić rozmiary produkcji wyrobów W1 i W2, które zagwarantują maksymalny przychód ze sprzedaży przy istniejących zapasach. Surowce Zużycie surowca (w kg) Na 1 sztukę wyrobu Zapas surowca (w kg) W1 W2 S1 S2 S3 2 3 1,5 1 - 1000 2400 600 Cena (zł) 30 20

W modelu występują dwie zmienne decyzyjne x1, x2 określające wielkość produkcji odpowiednio wyrobu W1 i W2. Ponieważ w modelu występują tylko dwie zmienne decyzyjne, można go rozwiązać metodą geometryczną.

ZAGADNIENIE DIETY wyróżnione są składniki diety oraz ich maksymalne i minimalne dawki składniki dostępne są w produktach; dla każdego produktu znana jest jego cena i zawartość składnika należy znaleźć najtańszą mieszankę produktów zawierającą odpowiednie ilości składników klasyczne zagadnienie diety – jedynie dawki minimalne, nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych, ale przy dodatnich cenach i kryterium minimalizacji – istnieje rozw. opt.

Dla chętnych – na poważnie: Załóżmy, że dieta składa się z trzech składników odżywczych: białka, tłuszczu i węglowodanów W celu dostarczenia organizmowi tych składników kupujemy dwa produkty: chleb i mięso W jednostce chleba są 2 j. białka, 1 j. tłuszczu i 4 j. węglowodanów, a dla mięsa odpowiednio 3, 5 i 1 Minimalne dzienne ilości białka, tłuszczu i węglowodanów, jakie powinien otrzymać organizm wynoszą 6, 5 i 4j. Cena jednostki chleba wynosi 1, a mięsa 2. Jakie ilości chleba i mięsa należy kupować dziennie, by koszt diety był najniższy?

;-) Dla chętnych – na wesoło: Proszę obejrzeć filmik pod podanym linkiem i spróbować: zdefiniować zmienne decyzyjne zidentyfikować warunki ograniczające określić cel propozycje rozwiązań wrzucamy na AFD (serio!) http://www.youtube.com/watch?v=6Hz_q0ANGWU&feature=related Poniższy filmik – żeby zrozumieć złożoność procesu podejmowania decyzji… ;-) http://www.youtube.com/watch?v=1mBlfj3cKoo

Szczęśliwy koniec  Dziękuję za uwagę